1、 1聚智堂学科教师辅导讲义年 级： 课 时 数： 学科教师：学员姓名： 辅导科目： 数学 辅导时间：课 题 勾股定理教学目的1、勾股定理：直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。 （即：a 2+b2=c2）2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c 有关系 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。3、满足 的三个正整数，称为勾股数。22c教学内容一、日校回顾二、知识回顾1. 勾股定理如图所示，在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、发现正方形面积之间存在这样的关系：即 C 的面积B 的面积+A 的面积，现将面积问题转化
2、为直角三角形边的问题，于是得到直角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理。勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么22cba即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。说明：（1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系了。2（2）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。在没有特殊说明的情况下，直角三角形中，a，b 是直角边，c 是斜边，但有时也要考虑特殊情况。（3）除了利用 a，b，c 表示三边的关系外，还应会利用 AB，BC，CA 表示三边的关系，在ABC 中，B90，利用勾股定理有 。 22
3、ACB2. 利用勾股定理的变式进行计算由 ，可推出如下变形公式：22cba（1） ；（2） 2ac（3） b（4） 2c（5） （平方根将在下一章学到）a说明：上述几个公式用哪一个，取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。三、知识梳理1、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、如何判定一个三角形是直角三角形（1） 先确定最大边（如 c）（2） 验证 与 是否具有相等关系2c2ba（3） 若
4、 = ，则ABC 是以C 为直角的直角三角形；若 2c2ba则ABC 不是直角三角形。33、勾股数 满足 = 的三个正整数，称为勾股数2bac如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17（5）7，24，25 （6）9, 40, 41四、例题讲解（一）基本知识勾股定理求边长例 1、如图所示，已知 RtABC 中，ACB90， CDAB，若 AC4，BC3，求 CD 的长。例 2、 如图所示，一棵 36 米高的树被风刮断了，树顶落在离树根 24 米处，求折断处的高度 AB。例 3 、如图所示，在高为 3 米，斜坡长为 5 米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至
5、少需要多少米？若楼梯宽 2 米，每平、方米地毯需 50 元，那么这块地毯需花多少元？4例 4、如图，在ABC 中，ACB=90， CDAB，D 为垂足，AC=6cm,BC=8cm.求 ABC 的面积； 斜边 AB 的长；斜边 AB 上的高 CD 的长。练习 C1. 若一直角三角形两边长分别为 12 和 5，则第三边长的平方为（ ）A. 169 B. 169 或 119 C. 169 或 225 D.2252. 直角三角形的周长为 12，斜边长为 5，则面积为（ ）A. 12 B. 10 C. 8 D. 63. 如果一个等腰直角三角形的面积是 2，则斜边长的平方为（ ）A. 2 B. 4 C.
6、8 D. 424. 若直角三角形两条直角边长分别为 5，12，则斜边上的高为（ ）A. 6 B. 1380 C. 8 D. 13605. 等腰三角形底边长 10，腰长为 13，则此三角形的面积为（ ）A. 40 B. 50 C. 60 D. 706.直角三角形中两条直角边之比为 3：4，且斜边为 20cm，求（1）两直角边的长（2）斜边上的高线长直角三角形的判定例 1、 满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是（ ）A. b2=c2a 2 B. abc=345C. C=AB D. ABC=121315例 2、三角形的三边长为 abcba2)(2，则这个三角形是（ ）A. 等边三角形 B. 钝角
7、三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形DAB5例 3、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的A 和BDC 都应为直角，将量得的这个零件的各边尺寸标注在图中，由此可知（ ）A. A 符合要求B. BDC 符合要求C. A 和 BDC 都符合要求D. A 和BDC 都不符合要求例 4、如图己知 求四边形 ABCD 的面积13,2,4,3, ADCBACB练习1下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）A2，3，4 B3，4，6 C5，12，13 D4，6，72. 三角形的三边为 a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）Aa:b:c=81617 B a 2-b2=c2 Ca 2
8、=(b+c)(b-c) D a:b:c =13512 3. 三角形的三边长为 ,则这个三角形是( )bcb)(2A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.4、已知：如图，四边形 ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，B=90，求证：A+C=180。简单应用A BCD6CA BED例 1、一根旗杆在离地面 4.5 米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部 6 米处，则旗杆折断前高（ ） A. 10.5 米 B. 7.5 米 C. 12 米 D. 8 米 例 2、如图，一架 25 分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子距墙底端 7 分米，如果梯子的
9、顶端沿墙下滑 4 分米，那么梯子将平滑（ ）A. 9 分米 B. 15 分米 C. 5 分米 D. 8 分米 例 3.、一根旗杆在离地 9 米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 12 米处，旗杆折断之前有多高为_。（一）类型题目题型 1、求最短距离。 （折叠与展开）例 1、如图，一只蚂蚁从点 A 沿圆柱表面爬到点 B，如果圆 B 柱的高为 8cm，圆柱的底面半径为 cm，那么最短 6的路线长是（ ） A. 6cm B. 8 cm C. 10 cm D. 10 cm A例 2、如图，已知长方体的三条棱 AB、BC、BD 分别为 4，5，2，蚂蚁从 A 点出发沿长方体的表面爬行到 M 的最短路程的平方
10、是 。练习1、一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 B点沿纸箱爬到 D 点，那么它所行的最短路线的长是_。2、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使其落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长为 。MA DCB第 19 题BCBACD73、如图，在矩形 中， 将矩形 折叠，使点 B 与点 D 重合， 落在 处，若 ，ABCD,6ABCDC 21： BEA则折痕 AD 的长为 。4、如图，CD 是 Rt ABC 的斜边 AB 上的高，若 AB17 ，AC15，求 CD的长（ ）A、 B、 C、17 D、7（二）主要数学思想。1
11、、方程思想例 3、如图，已知长方形 ABCD 中 AB=8 cm,BC=10 cm,在边 CD 上取一点 E，将ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点F，求 CE 的长.例 4、已知：如图，在ABC 中，AB 15，BC 14，AC13求ABC 的面积题2图8练习1、如图，把矩形 ABCD 纸片折叠，使点 B 落在点 D 处，点 C 落在 C处，折痕 EF 与 BD 交于点 O，已知AB=16，AD=12，求折痕 EF 的长。2、已知：如图，ABC 中，C90，AD 是角平分线，CD15，BD25求 AC 的长2、分类讨论思想（易错题）例题 5、 在 RtABC 中，已知两边长为 3、
12、4，则第三边的长为 例题 6、已知在ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于 8，则ABC 的周长为 CFEOD CBA9练习1、在 RtABC 中，已知两边长为 5、12，则第三边的长为 2、等腰三角形的两边长为 10 和 12，则周长为_，底边上的高是_，面积是_。（三）勾股定理的应用1、如图，将一根长 24cm 的筷子，置于底面直径为 5cm，高为 12cm 的圆形水杯中，设筷子露在外面的长度为hcm，则 h 的取值范围是 2、如图，四边形 ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且ABC=90，则四边形 ABCD 的面积是 cm2五、课
13、堂小结一、 知识结构A BCDh定理： 22cba直角三角形的性质:勾股定理10六、家庭作业一. 选择题1. 已知一个 Rt的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（ ）A. 25 B. 14 C. 7 D. 7 或 252. 若线段 a，b，c 组成 Rt，则它们的比为（ ）A. 234 B346 C. 51213 D. 4673. Rt一直角边的长为 11，另两边为自然数，则 Rt的周长为（ ）A. 121 B. 120 C. 132 D. 不能确定4. 如果 Rt的两直角边长分别为 n21，2n（n1） ，那么它的斜边长是（ ）A. 2n B. n+1 C. n21 D. n2+1
14、5. 已知 RtABC 中，C90，若 a+b14cm，c10cm，则 RtABC 的面积是（ ）A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm26. 三角形的三边长为（a+b） 2c 2+2ab，则这个三角形是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形C. 直角三角形 D. 锐角三角形7. 已知，如图长方形 ABCD 中，AB3cm，AD9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则ABE 的面积为（ ）A. 6cm2 B. 8cm2 C. 10cm2 D. 12cm28. 已知，如图，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另
15、一轮船以 12 海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相距（ ）A. 25 海里 B. 30 海里 C. 35 海里 D. 40 海里应用:主要用于计算直角三角形的判别方法:若三角形的三边满足 则22cba它是一个直角三角形.勾股定理11二. 填空题1. 在 RtABC 中，C90，若 a5，b12，则 c_；若 a15，c25，则b_；若 c61，b60，则 a_；若 ab34，c10，则 SRtABC _。2. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为_。3. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1 米，一阵风吹来，红莲被吹到一边
16、，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2 米，问这里水深是_m。4. 在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处。另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米。三. 解答题1. 如图，铁路上 A，B 两点相距 25km，C，D 为两村庄，DAAB 于 A，CBAB 于 B，已知 DA15km，CB10km，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E，使得 C，D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在离 A 站多少 km 处？122. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。3. 如图，在边长为 c 的正方形中，有四个斜边为 c 的全等直角三角形，已知其直角边长为 a，b。利用这个图试说明勾股定理?
