1、- 1 -22 二次函数2.2.1 二次函数 yax 2bxc 的图象和性质情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图（1） (2) 2xy(3) 教师可采用计算机绘图软件辅助教学 2xy32xy问题 1 函数 yax 2 与 yx 2 的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出 y2x 2，y x2，y2x 2 的图象，通过这些函1数图象与函数 yx 2 的图象之间的关系，推导出函数 yax 2 与 yx 2 的图象之间所存在的关系。先画出函数 yx 2，y 2x 2 的图象。先列表：x 3 2 1 0 1 2 3 x2 9 4 1 0 1 4 9 2x2 1
2、8 8 2 0 2 8 18从表中不难看出，要得到 2x2 的值，只要把相应的 x2 的值扩大到两倍就可以了。再描点、连线，就分别得到了函数 yx 2，y 2x 2 的图象（如图 21 所示） ，从图21 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y2x 2 的图象可以由函数 yx 2 的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到。同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y x2，y 2x2 的图象，并研究这两个图 2.2-2xyO1y2x 2y2(x1) 2y2(x1) 21yx 2y2x 2图 2.2-1xOy- 2 -函数图象与函数 yx 2 的图象之间的关系。通过上面的研究，我们可以得到以下
3、结论：二次函数 yax 2(a0)的图象可以由 yx 2 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到。在二次函数 y ax2(a0)中，二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小。问题 2 函数 ya( xh) 2k 与 yax 2 的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系。同学们可以作出函数 y2( x1) 2 1 与 y2x 2 的图象（如图 22 所示） ，从函数的图象我们不难发现，只要把函数 y2x 2 的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数 y2( x1) 21 的图象。这两个函数图象之间
4、具有“形状相同，位置不同”的特点。类似地，还可以通过画函数 y3x 2，y 3( x1) 21 的图象，研究它们图象之间的相互关系。通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 ya( xh )2k( a0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”。由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 yax 2bx c(a0)的图象的方法：由于 yax 2bx ca(x 2 )c a( x2 )c bb242b，24()bax所以，yax 2bx c(a0)的图象可以看作
5、是将函数 yax 2 的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数 yax 2bx c(a0)具有下列性质：（1）当 a0 时，函数 yax 2bxc 图象开口向上；顶点坐标为 ，24(,)bac对称轴为直线 x ；当 x 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x 时，y 随着bbax 的增大而增大；当 x 时，函数取最小值 y 。224acb（2）当 a0 时，函数 yax 2bxc 图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线 x ；当 x 时，y 随着 x 的增大而增大；当4(,)bcba2ax 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x 时，函数取最大值 y 。 2a24acb上述二次函数的性
6、质可以分别通过图 223 和图 224 直观地表示出来。因此，- 3 -在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题。例 1 求二次函数 y 3x26x 1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值） ，并指出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象。解：y 3x26x 13(x 1) 24，函数图象的开口向下；对称轴是直线 x1；顶点坐标为(1，4) ；当 x1 时，函数 y 取最大值 y4；当 x1 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x1 时，y 随着 x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点 A(1，4) ，与
7、 x 轴交于点 B 和 C23(,0)，与 y 轴的交点为 D(0，1)，过这五点画出图象（如图 25 所示） 。23(,0)说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确。函数 yax 2bxc 图象作图要领：确定开口方向：由二次项系数 a 决定。确定对称轴：对称轴方程为 bx2确定图象与 x 轴的交点情况，若0 则与 x 轴有两个交点，可由方程x2bxc=0 求出 若=0 则与 x 轴有一个交点，可由方程 x2bxc=0 求出若0 则与 x 轴有无交点。确定图象与 y 轴的交点情况,令 x=0 得出 y=c，所以
8、交点坐标为（0，c）由以上各要素出草图。练习：作出以下二次函数的草图：（1） (2) (3) 62xy12xyxyOx 2baA24(,)bac图 2.2-3xyOx 2baA24(,)bac图 2.2-4xOyx1A(1,4)D(0,1)BC图 2.25- 4 -12xy例 2 某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间关系如下表所示：若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润日销售量 y(销售价 x120)，日销售量 y 又是销售
9、价 x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价 x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值。解：由于 y 是 x 的一次函数，于是，设 ykxb，将 x 130，y70；x 150，y50代入方程，有 解得 。 yx200。7013,5kb201k设每天的利润为 z（元） ，则 z( x +200)(x120)x 2320x24000(x160) 21600，当 x160 时，z 取最大值 1600。答：当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为 1600 元。例 3 把二次函数 yx 2bx c 的图像向上平移 2 个单位，
10、再向左平移 4 个单位，得到函数 yx 2 的图像，求 b， c 的值。解法一：yx 2bx c(x+ )2 ，把它的图像向上平移 2 个单位，再向左平移4b4 个单位，得到 的图像，也就是函数 yx 2 的图像，所以，24by解得 b8，c14。20,4bc解法二：把二次函数 yx 2bx c 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 yx 2 的图像，等价于把二次函数 yx 2 的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4个单位，得到函数 yx 2bxc 的图像。由于把二次函数 yx 2 的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数y(x4) 22 的图像
11、，即为 yx 28x14 的图像，函数 yx 28x 14 与函数yx 2bxc 表示同一个函数，b8，c14。x /元 130 150 165y/件 70 50 35- 5 -说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律。这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点。今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题。例 4 已知函数 yx 2，2xa，其中 a2，求该函
12、数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值。 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对 a 的取值进行讨论。解：（1）当 a2 时，函数 yx 2 的图象仅仅对应着一个点( 2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是 4，此时 x2；（2）当2a0 时，由图 226可知，当 x2 时，函数取最大值 y4；当xa 时，函数取最小值 ya 2；（3）当 0a2 时，由图 226可知，当 x2 时，函数取最大值 y4；当x0 时，函数取最小值 y0 ；（4）当 a2 时，由图 226可知，当 xa 时，函数取最大值 ya 2；当 x0 时，函数取最小值 y0。
13、说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对 a 的所有可能情形进行讨论。此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题。练习 1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（ ）（A）y2x 2 （B）y 2x24x2 （C）y 2x 21 （D ）y2x 24x （2）函数 y2( x1) 22 是将函数 y2x 2（ ） （A）向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的xyO2 aa24图 2.26xyO a2 24a22 xyO aa24- 6 -（B）向右平移 2 个单位、再向上平
14、移 1 个单位得到的（C）向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的（D）向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的2填空题（1）二次函数 y2x 2mxn 图象的顶点坐标为(1，2)，则 m ，n 。（2）已知二次函数 yx 2+(m2)x2m，当 m 时，函数图象的顶点在 y 轴上；当 m 时，函数图象的顶点在 x 轴上；当 m 时，函数图象经过原点。（3）函数 y3( x2) 25 的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当 x 时，函数取最 值 y ；当 x 时，y 随着 x 的增大而减小。3求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及 y 随 x 的变
15、化情况，并画出其图象。 （1）yx 2 2x3； （2） y 16 x x 2。4已知函数 yx 22x 3 ，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值：； ； 。；）（ 2x.1.）（ 1.）（ 30.4）（- 7 -2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：yax 2bxc (a0)；2顶点式：ya( xh )2k (a0)，其中顶点坐标是(h ，k)。除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示。为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数 yax
16、 2bx c(a0)的图象与 x 轴交点个数。当抛物线 yax 2bx c(a0)与 x 轴相交时，其函数值为零，于是有 ax2bxc0。 ，并且方程的解就是抛物线 yax 2bx c(a0)与 x 轴交点的横坐标（纵坐标为零） ，于是，不难发现，抛物线 yax 2bx c(a0)与 x 轴交点个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式 b 24ac 有关，由此可知，抛物线yax 2bxc(a0)与 x 轴交点个数与根的判别式 b 2 4ac 存在下列关系：（1）当 0 时，抛物线 yax 2bxc(a0)与 x 轴有两个交点；反过来，若抛物线 yax 2bxc(a0)与
17、x 轴有两个交点，则 0 也成立。（2）当 0 时，抛物线 yax 2bxc(a0)与 x 轴有一个交点（抛物线的顶点） ；反过来，若抛物线 yax 2bxc(a0)与 x 轴有一个交点，则 0 也成立。（3）当 0 时，抛物线 yax 2bxc(a0)与 x 轴没有交点；反过来，若抛物线 yax 2bxc(a0)与 x 轴没有交点，则 0 也成立。于是，若抛物线 yax 2bx c(a0)与 x 轴有两个交点 A(x1，0) ，B(x 2，0) ，则 x1，x 2是方程 ax2bxc 0 的两根，所以 x1x 2 ，x 1x2 ，即 (x 1x 2)， bcabx 1x2。a所以，yax 2
18、bx ca( )= ax2(x 1x 2)xx 1x2a(x x 1)(xx 2)。2bcx由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线 yax 2bxc(a0)与 x 轴交于 A(x1，0)，B(x 2，0)两点，则其函数关系式可以表示为 ya(xx 1)(xx 2)(a0)。这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3交点式：ya( xx 1)(xx 2)(a0)，其中 x1，x 2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标。- 8 -今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题。例 1 已知某二次函数的最大值为 2，图像
19、的顶点在直线 yx 1 上，并且图象经过点（3，1） ，求二次函数的解析式。分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数 a。解：二次函数的最大值为 2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为 2。又顶点在直线 yx 1 上，所以，2x 1，x1。顶点坐标是（1，2） 。设该二次函数的解析式为 ，2()(0)ya二次函数的图像经过点（3，1） ， ，解得 a2。2()1a二次函数解析式为 ，即 y2x 28x7。()1yx说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函
20、数的顶点式，最终解决了问题。因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题。例 2 已知二次函数的图象过点 (3，0)，(1 ，0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2，求此二次函数的表达式。分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式。解法一：二次函数的图象过点(3，0) ，(1，0) ，可设二次函数为 ya( x3)(x1)(a0)，展开，得：yax 22ax 3a， 顶点的纵坐标为 ，214aa由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2，| 4a|2，即 a 。1所以，二次函数的
21、表达式为 y ，或 y 。1323x分析二：由于二次函数的图象过点(3，0) ，(1，0) ，所以，对称轴为直线 x1，又由顶点到 x 轴的距离为 2，可知顶点的纵坐标为 2，或2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0) ，或 (1，0)，就可以求得函数的表达式。- 9 -解法二：二次函数的图象过点(3，0) ，(1，0) ，对称轴为直线 x1。又顶点到 x 轴的距离为 2，顶点的纵坐标为 2，或2。于是可设二次函数为 ya( x1) 22，或 ya(x1) 22，由于函数图象过点(1，0)，0a(11) 22，或 0a(11) 22。a ，或 a 。1所以
22、，所求的二次函数为 y (x1) 22，或 y (x1) 22。11说明：上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题。例 3 已知二次函数的图象过点(1，22) ，(0，8) ，(2 ，8)，求此二次函数的表达式。解：设二次函数为 。）（ 0acbxay2由函数图象过点(1，22)，(0，8) ，(2，8)，可得 ，解得8c2ba4-8c12故所求二次函数为 y2x 212x 8。通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达
23、式？练习 1.选择题:（1）函数 yx 2x1 图象与 x 轴的交点个数是（ ）（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）无法确定（2）函数 y (x1) 22 的顶点坐标是（ ）12（A）(1，2) （B）(1，2) （C ）( 1，2) （D ）(1，2)2.填空：（1）已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(1，0) 和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为 ya (a0) 。（2）二次函数 yx 2+2 x1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 。33.据下列条件，求二次函数解析式。- 10 -（1）图象经过点(1，2)，(0，3) ，(1，6)；（2）当 x3 时，函数有最
24、小值 5，且经过点(1，11) ；（3）函数图象与 x 轴交于两点(1 ，0)和(1 ，0)，并与 y 轴交于(0，2)。2 2- 11 -2.2.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1平移变换问题 1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可。例 1 求把二次函数 yx 24x3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移
25、 2 个单位，向下平移 1 个单位；（2）向上平移 3 个单位，向左平移 2 个单位。分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数） ，所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项） ，所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式。解：二次函数 y2x 24x3 的解析式可变为 y2(x1) 21，其顶点坐标为(1 ，1)。（ 1）把函数 y2(x1) 21 的图象向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函
26、数表达式就为 y 2(x3) 22 。（ 2）把函数 y2(x1) 21 的图象向上平移 3 个单位，向左平移 2 个单位后，其函数图象的顶点坐标是(1， 2)，故平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y2( x1)- 12 -22。2对称变换问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题。
27、例 2 求把二次函数 y2x 24x 1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应函数解析式：（1）直线 x1； （2）直线 y1。解：（1）如图 227，把二次函数 y2x 24x1 的图象关于直线 x1 作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状。由于 y2x 24x12(x1) 21，可知，函数 y2x 24x1 图象的顶点为 A(1,1) ，所以，对称后所得到图象的顶点为 A1(3，1) ，所以，二次函数 y2x 24x1 的图象关于直线 x1 对称后所得到图象的函数解析式为 y2(x3) 21，即 y2x 212x17。（2）如图 228，把二次函数 y2x 24x1 的图象关于
28、直线 x1 作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状。由于 y2x 24x12(x1) 21，可知，函数 y2x 24x1 图象的顶点为 A(1,1) ，所以，对称后所得到图象的顶点为 B(1，3) ，且开口向下，所以，二次函数 y2x 24x1图象关于直线 y1 对称后所得到图象的函数解析式为 y2( x1) 23，即y2x 24x 1。练习1选择题：（1）把函数 y(x 1)24 的图象向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位，所得图象对应的解析式为（ ）xyOx1A(1,1)A1(3,1)图 2.27xyOy1A(1,1)B(1，3)图 2.28- 13 -（A）y
29、(x1) 21 （B ）y( x 1)21（C）y (x3) 24 （D）y( x 3)21二、分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数。例 3 在国内投递外埠平信，每封信不超过 20g 付邮资 80 分，超过 20g 不超过 40g付邮资 160 分，超过 40g 不超过 60g 付邮资 240 分，依此类推，每封 xg(0x 100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象。分析：由于当自变量 x 在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的。所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式。在解题时，需要注意的是，当 x 在
30、各个小范围内（如 20x40 ）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是 160 分） 。解：设每封信的邮资为 y（单位：分） ，则 y 是 x 的函数。这个函数的解析式为80,(,21640,9,83(40,1xyx由上述的函数解析式，可以得到其图象如图 229 所示。例 4 如图 92 所示，在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有一个动点 P，从点 A 出发沿折线 ABCD 移动一周后，回到 A 点。设点 A 移动的路程为 x， PAC 的面积为 y。（1）求函数 y 的解析式；（2）画出函数 y 的图像；（3）求函数 y 的取值范围。分析：要对点 P 所在的位置进行分类讨论。解：（1）当点 P 在线段 AB 上移动（如图 2210） ，x(克)y(分)O图 2.2920 40 60 80 10040032024016080- 14 -即 0x2 时， y 12APBCx；当点 P 在线段 BC 上移动（如图 2210） ，即 2x4 时，y 4x；12AB()当点 P 在线段 CD 上移动（如图 2210） ，即 4x6 时，y x4；12CAD()当点 P 在线段 DA 上移动（如图 2210） ，即 6x8 时，ACBDP图 2.210
