1、2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc 0（a0） ，用配方法可以将其变形为 24()bax因为 a0，所以，4a 20于是（1）当 b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2 ；24bac（2）当 b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1x 2 ；（3）当 b24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边 一定大2()bxa于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程 ax2bxc 0（a0）的根的情况可以由 b24ac 来判定，我们把 b24ac 叫做一元二次方程 a
2、x2bx c0（a0）的 根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，有（1） 当 0 时，方程有两个不相等的实数根x1，2 ；4b（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根x1x 2 ；a（3）当 0 时，方程没有实数根例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数） ，如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x 23x30； （2）x 2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x 22xa0解：（1）3 241330，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式 a 241(1) a 240，所以方程一定有两个不等的实数根， 21x2
3、x（3）由于该方程的根的判别式为 a241(a 1) a 24a 4(a 2)2，所以，当 a2 时，0，所以方程有两个相等的实数根x1x 21；当 a2 时，0， 所以方程有两个不相等的实数根x11，x 2a 1（3）由于该方程的根的判别式为 2241a44a4(1 a)，所以当 0，即 4(1 a) 0，即 a1 时，方程有两个不相等的实数根， ；1x2x当 0 ，即 a1 时，方程有两个相等的实数根x1x 21；当 0，即 a1 时，方程没有实数根说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫
4、做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程 ax2bxc 0（a0）有两个实数根， ，14bx224bacx则有；212acba2 2244(4)bbccx a 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 ax2bxc0（a0）的两根分别是 x1，x 2，那么 x1x 2 ，x 1x2 这bc一关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2pxq0，若 x1，x 2 是其两根，由韦达定理可知 x1x 2p，x 1x2q，即 p(x 1x 2)，q
5、x 1x2，所以，方程 x2px q0 可化为 x2( x1x 2)xx 1x20，由于 x1，x 2 是一元二次方程x2pxq0 的两根，所以，x 1，x 2 也是一元二次方程 x2(x 1x 2)xx 1x20因此有以两个数 x1，x 2 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是x2(x 1x 2)xx 1x20例 2 已知方程 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值56k分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出
6、方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值解法一：2 是方程的一个根，52 2k260，k7所以，方程就为 5x27x 60，解得 x12，x 2 35所以，方程的另一个根为 ，k 的值为73解法二：设方程的另一个根为 x1，则 2x1 ，x 1 653由 （ ）2 ，得 k735所以，方程的另一个根为 ，k 的值为735例 3 已知关于 x 的方程 x22(m 2)xm 240 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m的方程，从而解得 m 的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的
7、方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设 x1，x 2 是方程的两根，由韦达定理，得x1x 22(m 2)，x 1x2m 24x 12x 22x 1x221，(x 1x 2)23 x 1x221，即 2( m 2)23(m 24)21，化简，得 m216m170， 解得 m1，或 m17当 m1 时，方程为 x26x50，0，满足题意；当 m17 时，方程为 x230x2930，30 2412930，不合题意，舍去综上，m17说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件
8、的m 的值即可（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例 4 已知两个数的和为 4，积为12，求这两个数分析：我们可以设出这两个数分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法一：设这两个数分别是 x，y，则 xy4， xy12 由，得 y4x ， 代入，得x(4x)12，即 x24x 120，x 12，x 26 或,y2,.y因此，这两个数是2 和 6解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x24x 120的两个根解这个方程，得x12，x 26所以，这两个数
9、是2 和 6说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x25x30 的两根（1）求| x 1x 2|的值； （2）求 的值；（3）x 13x 23解：x 1 和 x2 分别是一元二次方程 2x25x30 的两根， ， 512（1）| x 1x 2|2x 12+ x222 x 1x2(x 1x 2)24 x 1x2 253()4() 6 ，49| x 1x 2| 7（2） 22211121 5325()()() 3749xx（3）x 13x 23(x 1x 2)( x12x 1x2x 22)( x1x 2)
10、 ( x1x 2) 23x 1x2( )( )23( ) 5358说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，则， ，4bac4bx| x 1x 2|2224baca4|bac于是有下面的结论：若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，则| x1x 2| （其中|ab 24ac） 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2x a40 的一根大于零、另一根小于零
11、，求实数 a 的取值范围解：设 x1，x 2 是方程的两根，则x1x2a40， 且 (1) 24( a4)0 由得 a4，由得 a 174a 的取值范围是 a4练 习1选择题：（1）方程 的根的情况是 （ ）2230xk（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根（2）若关于 x 的方程 mx2 (2m1) xm 0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 （ ）（A）m （B）m 1414（C）m ，且 m0 （D ）m ，且 m0 2填空:（1）若方程 x23x 10 的两根分别是 x1 和 x2，则 12（2）方程 mx2x2m0（m0
12、）的根的情况是 （3）以3 和 1 为根的一元二次方程是 3已知 ，当 k 取何值时，方程 kx2axb0 有两个不相等的86|ab实数根？4已知方程 x23x 10 的两根为 x1 和 x2，求(x 13)( x23) 的值习题 2.1A 组1选择题:（1）已知关于 x 的方程 x2kx20 的一个根是 1，则它的另一个根是（ ）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四个说法：方程 x22x 70 的两根之和为2，两根之积为7；方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为 7；方程 3 x270 的两根之和为 0，两根之积为 ；3方程 3 x22x 0 的两根之和为2，两根之积为
13、 0其中正确说法的个数是 （ ） （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个（3）关于 x 的一元二次方程 ax25x a 2a0 的一个根是 0，则 a 的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程 kx24x10 的两根之和为2，则 k （2）方程 2x2x 40 的两根为 ，则 2 2 （3）已知关于 x 的方程 x2ax 3a0 的一个根是2，则它的另一个根是（4）方程 2x22x 10 的两根为 x1 和 x2，则| x 1x 2| 3试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2(2m1) x10 有两个不相等的实数根？有两个相
14、等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x27x10 各根的相反数B 组1选择题:若关于 x 的方程 x2(k 21) xk10 的两根互为相反数，则 k 的值为 （ ）（A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若 m，n 是方程 x22005x10 的两个实数根，则 m2nmn 2mn 的值等于 （2）如果 a，b 是方程 x2x10 的两个实数根，那么代数式 a3a 2bab 2b 3 的值是 3已知关于 x 的方程 x2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为 x1 和 x2，如果 2(x1x 2)x 1x2，求实数
15、k 的取值范围4一元二次方程 ax2bx c0（a0）的两根为 x1 和 x2求：（1）| x 1x 2|和 ；（2）x 13x 235关于 x 的方程 x24x m0 的两根为 x1，x 2 满足| x 1 x2|2，求实数 m 的值C 组1选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x28x70 的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ）（A） （B）3 （C）6 （D）93（2）若 x1，x 2 是方程 2x24 x10 的两个根，则 的值为 （ ）12x（A）6 （B）4 （C）3 （D） 32（3）如果关于 x 的方程 x22(1m) xm 20 有两实数根 ，则
16、的取值范围为 （ ）（A） （B） （C ）1 （D ）1 11（4）已知 a，b，c 是 ABC 的三边长，那么方程 cx2( ab)x 0 的根的情况是 4c（ ）（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根2填空：若方程 x28xm0 的两根为 x1，x 2，且 3x12x 218，则 m 3 已知 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 4kx24kxk 10 的两个实数根（1）是否存在实数 k，使(2 x1x 2)( x12 x2) 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由；（2）求使 2 的值为整数的实数 k 的整数值；1x
17、（3）若 k2， ，试求 的值124已知关于 x 的方程 2()04mx（1）求证：无论 m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根 x1，x 2 满足| x2| x1|2，求 m 的值及相应的 x1，x 25若关于 x 的方程 x2x a 0 的一个大于 1、零一根小于 1，求实数 a 的取值范围2.1 一元二次方程练习1 （1）C （2）D 2 （1）3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x 22x 303k4，且 k041 提示：(x 13)( x23) x 1 x23(x 1x 2)9习题 21A 组1 （1）C （2）B 提示：和是错的，对于 ，由于方
18、程的根的判别式 0，所以方程没有实数根；对于，其两根之和应为 23（3）C 提示：当 a0 时，方程不是一元二次方程，不合题意2 （1）2 （2） （3）6 （3）1743当 m ，且 m0 时，方程有两个不相等的实数根；当 m 时，方14程有两个相等的实数根；当 m 时，方程没有实数根144设已知方程的两根分别是 x1 和 x2，则所求的方程的两根分别是x 1 和x 2，x 1x 27，x 1x21，(x 1)( x 2)7，(x 1)(x 2)x 1x21，所求的方程为 y27y 10B 组1C 提示：由于 k=1 时，方程为 x220，没有实数根，所以 k12 （1）2006 提示：mn
19、2005，mn 1，m 2nmn 2mnmn (mn1)1(20051)2006（2）3 提示；ab1，ab1， a 3a 2bab 2b 3a 2(ab)b 2(ab) (ab)( a2b 2)(ab)( ab) 22ab(1)(1)22(1)33 （1） (k) 241( 2)k 280，方程一定有两个不相等的实数根（2）x 1 x2k，x 1x22，2k 2，即 k14 （1）| x 1x 2| ， ；（2）x 13x 23 4|bacba3abc5| x 1x 2| ，m3把 m3 代入方程， 0，满足题意，6m3C 组1 （1）B （2）A （3）C 提示：由 0，得 m ， 2(1
20、m )112（4）B 提示：a，b，c 是 ABC 的三边长，abc，(ab)2c 202 （1）12 提示：x 1x 28，3x 12x 22(x 1x 2)x 128x 118，x 12，x 26，mx 1x2123 （1）假设存在实数 k，使(2x 1x 2)( x12 x 2) 成立3一元二次方程 4kx24kxk10 有两个实数根，k0，且 16k 216k (k+1)=16k 0，k0x 1x 21，x 1x2 ， (2x 1 x2)( x12 x 2)2 x 125 1x22 x 222(x 1x 2)29 x 1x22 ， ()4k3即 ，解得 k ，与 k0 相矛盾，所以，不
21、存在实数 k，使(2 x1x 2)(4k7( x12 x2) 成立3（2） 212221111()()4xxx ，44()4kk要使 2 的值为整数，只须 k1 能整除 4而 k 为整数，1xk1 只能取1 ，2，4又k 0，k11， k1 只能取1，2，4，k2，3，5能使 2 的值为整数的实数 k 的整数值为2，3 和51x（3）当 k2 时，x 1x 2 1， x1x2 ， 8 2，得 28，即 ， ，16210 4 （1） ；2()0m（2）x 1x2 0， x10，x 20，或 x10，x 204若 x10，x 20，则 x2x 12，x 1x 22，m22，m4此时，方程为 x22x 40， ， 55若 x10，x 20，则 x2x 12，x 1x 22，m22，m0此时，方程为 x220，x 10，x 225设方程的两根为 x1，x 2，则 x1x 21，x 1x2a，由一根大于 1、另一根小于 1，得(x11)( x 21)0， 即 x1x2(x 1x 2)+10， a(1)10，a2此时，1 24(2) 0，实数 a 的取值范围是 a2
