1、专题层级快练( 三十二)1设 a，b 是非零向量，若函数 f(x)(xab)(axb)的图像是一条直线，则必有( )Aab BabC|a| | b| D|a| b|答案 A解析 f(x) (xab)(axb)的图像是一条直线，即 f(x)的表达式是关于 x 的一次函数或常函数而(xab)(axb) x2ab(a 2b 2)xab，故 ab0，即 ab，故应选 A.2在平行四边形 ABCD 中， a， b，则当( a b)2(ab) 2 时，该平行四边形为( )AB AD A菱形 B矩形C正方形 D以上都不正确答案 B解析 在平行四边形中，ab ，AB AD AC ab ，| ab| ab|，|
2、 | |，对角线相等的平行四边形为矩形，AB AD DB AC DB 故选 B.3已知向量 a(1，sin)， b(1 ，cos) ，则| ab|的最大值为 ( )A1 B. 2C. D23答案 B解析 a(1，sin)，b (1，cos) ，ab(0，sincos )|a b | .02 （sin cos）2 1 sin2|a b |最大值为 .故选 B.24已知 A，B 是圆心为 C 半径为 的圆上两点，且| | ，则 等于( )5 AB 5 AC CB A B.52 52C0 D.532答案 A解析 由于弦长|AB| 与半径相同，则ACB60 | |5 AC CB CA CB CA |c
3、osACB cos60 .CB 5 5 525(2017保定模拟)若 O 是ABC 所在平面内一点，且满足| | 2 |，OB OC OB OC OA 则ABC 的形状是( )A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形答案 B解析 2 ， ，OB OC OA OB OA OC OA AB AC OB OC CB AB AC | | | |2| |2 0，AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC 三角形为直角三角形，故选 B.6(2015山东，理)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC 60，则 ( )BD CD A a2 B a232 34C. a2 D. a
4、234 32答案 D解析 在菱形 ABCD 中， ， ，所以 ( ) BA CD BD BA BC BD CD BA BC CD BA a 2a acos60a 2 a2 a2.CD BC CD 12 327(2017课标全国，理)已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 ( )的最小值是 ( )PA PB PC A2 B32C D143答案 B解析 如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以 BC的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0， )，B(1，0)，3C(1，0)，设 P(x，y)，则 (x， y)， ( 1x，y)
5、，PA 3 PB (1x，y)，所以 ( )( x， y)(2x，2y)PC PA PB PC 32x 22(y )2 ，当 x0，y 时， ( )取得最小值，32 32 32 PA PB PC 为 ，选 B.328在ABC 中， a， b， c，且 abbcca，则ABC 的形状是( )BC CA AB A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形答案 D解析 因 a，b，c 均为非零向量，且 abbc，得 b(a c)0b(ac) 又 abc0b( ac)， (ac)(ac) 0a 2c 2，得|a|c|.同理|b|a|，|a|b|c|.故ABC 为等边三角形9(2018天津模拟)
6、已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE2EF，则 的值为( )AF BC A B.58 18C. D.14 118答案 B解析 如图以直线 AC 为 x 轴，以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C(1， 0)，B( ， )，F(1， )，12 32 34 (1， )， ( ， )AF 34 BC 12 32 ，选 B.AF BC 12 38 1810(2018安徽师大附中月考) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 与 关于 y 轴对称，OA OB 向量 a(1，0)，则满足不等式 2a 0
7、的点 A(x， y)的集合用阴影表示为( )OA AB 答案 B解析 A(x ， y)，向量 与 关于 y 轴对称，B(x，y)，OA OB (2x，0) 2a 0，x 2y 22x(x 1) 2y 210，故满足要求的点AB OA AB 在以(1，0) 为圆心，1 为半径的圆上以及圆的内部故选 B.11(2016四川)在平面内，定点 A，B，C ，D 满足| | | |， 2，动点 P，M 满足| |1， DA DB DC DA DB DB DC DC DA AP PM ，则| |2 的最大值是( )MC BM A. B.434 494C. D.37 634 37 2334答案 B解析 由|
8、 | | | |知，D 为ABC 的外心由 知，DA DB DC DA DB DB DC DC DA D 为ABC 的垂心，所以 ABC 为正三角形，易知其边长为 2 .取 AC 的中点 E，因为3M 是 PC 的中点，所以 EM AP ，所以| |max|BE| ，则| |max2 ，选 B.12 12 BM 12 72 BM 49412(2015山东，文)过点 P(1， )作圆 x2y 21 的两条切线，切点分别为 A，B，3则 _PA PB 答案 32解析 在平面直角坐标系 xOy 中作出圆 x2y 21 及其切线PA，PB，如图所示连接 OA，OP，由图可得|OA|OB| 1，|OP|
9、2，| | | ，APO BPO ，则 ，PA PB 3 6 PA 的夹角为 ，所以 | | |cos .PB 3 PA PB PA PB 3 3213在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD60，E 为 CD 的中点若 1，AC BE 则 AB 的长为_答案 12解析 如图所示，在平行四边形 ABCD 中， ，AC AB AD .BE BC CE 12AB AD 所以 ( )( )AC BE AB AD 12AB AD | |2| |2 | |2 | |11，解方程得| | (舍去| |0)，12AB AD 12AB AD 12AB 14AB AB 12 AB 所以线段 AB 的长为 .1
10、214设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A、B 、C 为该抛物线上三点，若 0，则|FA FB FC | | |_FA FB FC 答案 6解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，又 F(1，0)，所以 (x 1x 2x 3 3，y 1y 2y 3)0，得 x1x 2x 33.又由抛物线定义可得FA FB FC | | | |(x 11) (x 21)(x 31)6.FA FB FC 15.如图，AB 是半圆 O 的直径，C ，D 是 的三等分点，M，N 是线AB 段 AB 的三等分点，若 OA6，则 _MC ND 答案 26解析 连接 OC、OD、MC 、
11、 ND，则 ( )( ) MC ND MO OC NO OD MO NO MO 4661826.OD NO OC OC OD 16(2014陕西)在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，1) ，B(2，3) ，C(3，2)，点 P(x，y)在ABC 三边围成的区域(含边界)上，且 m n (m，nR) OP AB AC (1)若 mn ，求| |；23 OP (2)用 x，y 表示 mn，并求 mn 的最大值答案 (1)2 (2)12解析 (1)mn ， (1，2) ， (2，1) ，23 AB AC (1，2) (2，1)(2，2) OP 23 23| | 2 .OP 22 22 2(2)
12、 m(1 ， 2)n(2，1)(m 2n，2mn)，OP x m 2n，y 2m n.)两式相减，得 mnyx.令 mnt，由图知，当直线 yxt 过点 B(2，3)时，t 取得最大值 1，故 mn 的最大值为 1.17(2017江西上饶中学调研) 已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量m(sinA，sinB)，n(cosB ，cosA)，m nsin2C.(1)求角 C 的大小；(2)若 sinA，sinC，sinB 成等差数列，且 ( )18，求 c 边的长CA AB AC 答案 (1) (2)6 3解析 (1)mnsinAcosB sinBcosAsin(A B)，对于ABC，A B C，00，只需再比较 I1 与 I3 的大小作AGBD 于 G，又 ABAD，OB ，即 I1I3，I 3I1I2，故选 C.OA OB OC OD
