1、1FGGA BCDE CA BDE FDEB1 A1C1CAB FM立体几何平行的证明【例 1】如图，四棱锥 PABCD 的底面是平行四边形，点 E、F 分 别为棱 AB、 PD的中点求证：AF平面 PCE；分析：取 PC 的中点 G，连 EG.，FG，则易证 AEGF 是平行四边形【例 2】如图，已知直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，AB1，BC2，CD1 ，过 A 作 AECD，垂足为3E，G、F 分别为 AD、CE 的中点，现将ADE 沿 AE 折叠，使得 DEEC。（）求证：BC面 CDE； （）求证：FG 面 BCD；分析：取 DB 的中点 H，连 GH,HC 则易证 FG
2、HC 是平行四边形【例 3】已知直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D, E, F 分别为 AA1, CC1, AB 的中点，M 为 BE 的中点, ACBE. 求证：（）C 1DBC； （）C 1D平面 B1FM. 分析：连 EA，易证 C1EAD 是平行四边形，于是 MF/EAEFBACDP（第 1 题图）2【例 4】如图所示, 四棱锥 P ABCD 底面是直角梯形, CD=2AB, E ,ADCB为 PC 的中点, 证明: ;/EBAD平 面分析:：取 PD 的中点 F，连 EF,AF 则易证 ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质【例 5】如图，已知 、 、 、 分别是四
3、面体的棱 、 、 、 的中点，EFGMADCB求证： 平面 。AM分析：连 MD 交 GF 于 H，易证 EH 是AMD 的中位线【例 6】如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E是 PC 的中点。 求证： PA 平面 BDE 【例 7】如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中， D 为 AC 的中点.求证：AB 1/面 BDC1；分析：连 B1C 交 BC1 于点 E，易证 ED 是B 1AC 的中位线ABCDEFGM3PEDCBA【例 8】如图，平面 平面 ，四边形 与 都是直角梯形，ABEFCDABEFCD， ， 分别为 的中点09,BD/12/12,GH,A（）证明：四边形 是平行
4、四边形；HG（） 四点是否共面？为什么？,CFE（.3） 利用平行四边形的性质【例 9】正方体 ABCDA1B1C1D1中 O 为正方形 ABCD 的中心，M 为 BB1 的中点，求证： D1O/平面 A1BC1;分析：连 D1B1 交 A1C1 于 O1 点，易证四边形 OBB1O1是平行四边形【例 10】在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD，AB= DC， .21中 点为 PDE求证：AE平面 PBC；分析：取 PC 的中点 F，连 EF 则易证 ABFE是平行四边形【例 11】在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形， ACB= 90，平面，EF， ，.=。若是线段的中点，求
5、证：平面;4（I）证法一：因为 EF/AB， FG/BC，EG/AC ， 90ACB，所以 90,EGF .EFG由于 AB=2EF，因此，BC=2FC，连接 AF，由于 FG/BC， B21在 ABCD中， M 是线段 AD 的中点，则 AM/BC，且21因此 FG/AM 且 FG=AM，所以四边形 AFGM 为平行四边形，因此 GM/FA。又 FA平面 ABFE， G平面 ABFE，所以 GM/平面 AB。(4)利用对应线段成比例【例 12】如图：S 是平行四边形 ABCD 平面外一点，M、N 分别是 SA、BD 上的点，且 = ， SMANDB求证：MN 平面 SDC分析：过 M 作 M
6、E/AD，过 N 作 NF/AD利用相似比易证 MNFE 是平行四边形【例 13】如图正方形 ABCD 与 ABEF 交于 AB，M，N 分别为 AC 和 BF 上的点且AM=FN 求证：MN平面 BEC分析：过 M 作 MG/AB，过 N 作 NH/AB利用相似比易证 MNHG 是平行四边形A FAEABACADAMA NA5【例 14】如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直) 被削去上底后的直观图与三视图中的侧 (左)视图、俯视图，在直观图中，M 是 BD 的中点，侧( 左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示(1)求出该几何体的体积；(2)若 N 是 BC 的中点，求证： AN平面 CME；(3)求证：平面 BDE平面 BCD.【例 15】直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 是等腰梯形，ABDC，AB2AD2DC 2，E 为 BD1 的中点，F 为 AB 中点(1)求证 EF平面 ADD1A1；（2）求几何体 DD1AA1EF 的体积。
