1、宜昌市人文艺术高中 2018 秋季学期十月阶段性检测高三数学（文）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1. 已知集合 ， ，则 是 A. B. C. D. 2. 已知复数 z 满足 ，则 z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 某中学有高中生 3000 人，初中生 2000 人，男、女生所占的比例如图所示 为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取女生 21 人，则从初中生中抽取的男生人数是 A. 12 B. 15 C. 20 D. 214. 已知 ，则 A. B. C. D. 5.
2、 设函数 若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为 A. B. C. D. 6. 如图所示，向量 在一条直线上，且 则 A. B. C. D. 7. 已知抛物线 C： 的焦点为 F，过点 F 作斜率为 1 的直线 l 交抛物线 C 与 P、Q两点，则 的值为 A. B. C. 1 D. 28. 已知函数 ，以下命题中假命题是 A. 函数 的图象关于直线 对称B. 是函数 的一个零点C. 函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到D. 函数 在 上是增函数9. 已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是( ) A. B. C. D. 10. 在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b
3、，c，若 ，且则 的面积的最大值为 A. B. C. D. 11. 已知函数 在区间 上是增函数，则实数 a 的取值范围是 A. B. C. D. 12. 已知定义在 R 上的函数 是奇函数，且满足 ， ，数列满足 且 ，则 A. B. C. 2 D. 3二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知 的图象过点 ，则实数 _ 14. 若 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为_15. 直线 与圆 相交于 A，B 两点，若 ，则_16. 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， 已知 ，则 的面积为_三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分）17. 为数列 前 n 项和，
4、已知 ， ，求 的通项公式；设 ，求数列 的前 n 项和18. 已知 的内角 A，B，C 的对边 a，b，c 分别满足 ，又点 D 满足 求 a 及角 A 的大小；求 的值19. 如图 1，在高为 2 的梯形 ABCD 中， ， ， ，过 A、B 分别作 ，垂足分别为 E、 已知 ，将梯形 ABCD 沿 AE、BF 同侧折起，使得， ，得空间几何体 ，如图 2 证明： 面 ACD； 求三棱锥 的体积20. 某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间” ，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了 100 位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间” 单位：小时 ，活动时间按照 、
5、 、 、 从少到多分成 9 组，制成样本的频率分布直方图如图所示求图中 a 的值；估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间 ”的中位数；在 、 这两组中采用分层抽样抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 2 人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率21. 已知函数 求曲线 在点 处的切线方程；求 的单调区间；若对于任意 ，都有 ，求实数 a 的取值范围(请从 22 和 23 小题中选择一题作答。)22. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 为参数 ，在极坐标系 与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位 ，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴 中，圆 C 的方程为
6、求圆 C 的直角坐标方程；若点 ，设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，求 的最小值23. 已知函数 若 ，求实数 a 的取值范围； 若不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围宜昌市人文艺术高中 2018 秋季学期十月阶段性检测高三数学（文）题号 一 二 三 总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）24. 已知集合 ， ，则 是 A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：集合 ，则 故选：C解不等式求出集合 A、B，根据交集的定义写出 本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题25. 已知复数 z 满足 ，则 z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三
7、象限 D. 第四象限【答案】D【解析】解：由 ，得 ，对应的点的坐标为 ，位于第四象限故选：D把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题26. 某中学有高中生 3000 人，初中生 2000 人，男、女生所占的比例如图所示 为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取女生 21 人，则从初中生中抽取的男生人数是 A. 12 B. 15 C. 20 D. 21【答案】A【解析】【分析】利用扇形图和分层抽样的性质能求出从初中生中抽取的男生人数
8、本题考查扇形图和分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题【解答】解：由扇形图得：中学有高中生 3000 人，其中男生 ，女生 ，初中生 2000 人，其中男生 ，女生 ，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取女生 21 人，则 ，解得 ，从初中生中抽取的男生人数是： 故选 A27. 已知 ，则 A. B. C. D. 【答案】B【解析】解： ，可得 ，故选：B由诱导公式化简已知可得 ，由诱导公式和二倍角的余弦函数公式即可求值本题主要考查了诱导公式和二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题28. 设函数 若 为奇函数，则曲线 在点
9、 处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性求出 a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力【解答】解：函数 ，若 为奇函数，可得 ，所以函数 ，可得 ，曲线 在点 处的切线的斜率为：1，则曲线 在点 处的切线方程为： 故选 D29. 如图所示，向量 在一条直线上，且 则 A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：由 得 ， ，故选：D由 得 ，即可，本题考查平面向量基本定理及其意义、线性运算，属于中档题30. 已知抛物线 C： 的焦点为 F，过点 F 作斜率为 1 的直线 l 交抛物
10、线 C 与 P、Q两点，则 的值为 A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】解：抛物线 C： 的焦点为 ，过点 F 作斜率为 1 的直线 l： ，可得 ，消去 y 可得： ，可得 ， ， ，则 故选：C求出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求解即可本题考查直线与抛物线的简单性质位置关系，以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力31. 已知函数 ，以下命题中假命题是 A. 函数 的图象关于直线 对称B. 是函数 的一个零点C. 函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到D. 函数 在 上是增函数【答案】C【解析】解：对于 A，当 时，函数 为最大值，的图象关于直线 对称，A
11、正确；对于 B，当 时，函数 ，是函数 的一个零点，B 正确；对于 C，函数 ，其图象可由 的图象向左平移 个单位得到， C 错误；对于 D， 时， ，函数 在 上是增函数，D 正确故选：C根据正弦函数的图象与性质，对选项中的命题分析、判断真假性即可本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题32. 已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：根据三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，高为 2 的直三棱柱，画出几何体的直观图，如图所示，结合图中数据，计算它的表面积是故选：C根据三视图知该几何体是底面为等腰三角形，高为 2 的直三棱
12、柱，画出几何体的直观图，结合图中数据计算它的表面积即可本题考查了根据几何体三视图求表面积的应用问题，是基础题目33. 在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，且则 的面积的最大值为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：根据正弦定理可得 ， ，可得： ，当且仅当 时，等号成立 ，解得 ，故选：C由正弦定理和余弦定理即可求出 ，再由余弦定理可得： ，利用基本不等式可求 ，根据三角形面积公式即可得解本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题34. 已知函数 在区间 上是增函数，则实数 a 的取值范围是 A
13、. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查分段函数的单调性及余弦函数一次函数的性质，分段函数单调递增，需要两段都要递增，且分段点处左边的图象不能在右边图象的上方【解答】解： 因为 在 单调递增，所以若 单调递增，所以 ，解得 故选 D35. 已知定义在 R 上的函数 是奇函数，且满足 ， ，数列满足 且 ，则 A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的周期性，以及由数列的递推公式求数列的递推公式，属于难题根据 是奇函数， ，可知 为周期为 6 的周期函数，根据，可知 ，可由累乘法求出 的通项公式，进而求出 ，从而可求结果【解答】解：
14、因为函数 是奇函数， ， ，为周期函数，且周期为 6，因为 ，且 ， ， ，又因为 ， ，故选 A二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）36. 已知 的图象过点 ，则实数 _【答案】2【解析】解： 已知 的图象过点 ，故有 ，求得 ，故答案为：2由题意利用对数函数的图象的特殊点，求得实数 a 的值本题主要考查对数函数的图象的特殊点，属于基础题37. 若 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为_【答案】2【解析】解：由 ，得作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当直线 过点 A 时，直线的在 y 轴的截距最小，此时 z 最小，由 ，得 ，即 ，此时 ，故答案为：2作出不等式组对应
15、的平面区域，利用 z 的几何意义即可得到结论本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法38. 直线 与圆 相交于 A，B 两点，若 ，则_【答案】【解析】【分析】本题考查了向量的数量积，圆的弦有关的综合题和点到直线的距离，利用向量的数量积得，再利用圆的弦有关的综合题得圆心 到直线 的距离为1，最后利用点到直线的距离计算得结论【解答】解 由题意 由 得 即 所以圆心 到直线 的距离为 1，因此 ，解得 故答案为 39. 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， 已知 ，则 的面积为_【答案】【解析】解： 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，利用正弦定理可得
16、，由于 ， ，所以 ，所以 ，则由于 ，则： ，当 时， ，解得 ，所以 当 时， ，解得 不合题意 ，舍去故： 故答案为： 直接利用正弦定理求出 A 的值，进一步利用余弦定理求出 bc 的值，最后求出三角形的面积本体考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分）40. 为数列 前 n 项和，已知 ， ，求 的通项公式；设 ，求数列 的前 n 项和【答案】解： ， ，时， ，相减可得： ，化为： ， ，即 ，又 ， ，解得 数列 是等差数列，首项为 3，公差为 2，数列 的前 n 项和【解析】 ， ，
17、时， ， ，相减可得， ，利用等差数列的通项公式可得 ，利用裂项求和方法即可得出本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题41. 已知 的内角 A，B，C 的对边 a，b，c 分别满足 ，又点 D 满足 求 a 及角 A 的大小；求 的值【答案】解： 由 及正弦定理得，即 ，在 中， ，所以 又 ，所以 在 中， ，由余弦定理得 ，所以 由 ，得 ，所以 【解析】 运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式，化简可得角 A 的值，再由余弦定理，可得 a；运用向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值本题考查三角形中的正弦
18、定理和余弦定理的运用，考查向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查化简整理的运算能力，属于中档题42. 如图 1，在高为 2 的梯形 ABCD 中， ， ， ，过 A、B 分别作 ，垂足分别为 E、 已知 ，将梯形 ABCD 沿 AE、BF 同侧折起，使得， ，得空间几何体 ，如图 2 证明： 面 ACD； 求三棱锥 的体积【答案】 证明：证法一、连接 BE 交 AF 于 O，取 AC 的中点 H，连接 OH，则 OH 是 的中位线， ， 由已知得 ， ， ， ，连接 DH，则四边形 DHOE 是平行四边形， ，又 面 ADC， 面 ADC，面 ACD，即 面 ACD；证法二、延长
19、 FE，CD 交于点 K，连接 AK，则面 面 ，由已知得 ， ， 是 的中位线，则 ， ，则四边形 ABEK 是平行四边形，得 又 面 ADC， 面 ADC， 面 ACD；证法三、取 CF 的中点 G，连接 BG，EG ，得 ， ，即四边形 CDEG 是平行四边形，则 ，又 面 ADC， 面 ADC， 面 ADC，又 ， ，四边形 DGFE 是平行四边形，得 ， ，又 ABFE 是平行四边形， ， ，得 ， ，四边形 ABGD 是平行四边形，则 ，又 面 ADC， 面 ADC， 面 ADC，又 ， 面 面 ADC，又 面 GBE， 面 ACD； 解： 面 ADC， ，由已知得，四边形 ABF
20、E 为正方形，且边长为 2，则在图 2 中， ，由已知 ，且 ，可得 平面 BDE，又 平面 BDE， ，又 ， ， 平面 ABFE，且 ， 面 CDE，是三棱锥 的高，四边形 DEFC 是直角梯形且 ， ， ，【解析】 法一、连接 BE 交 AF 于 O，取 AC 的中点 H，连接 OH，由三角形中位线定理可得 ， 由已知得 ， ，则四边形 DHOE 是平行四边形，得到 ，再由线面平行的判定可得 面 ACD；法二、延长 FE，CD 交于点 K，连接 AK，则面 面 ，由已知得 ，由三角形中位线定理可得 得到 ， ，则四边形 ABEK 是平行四边形，得 再由线面平行的判定可得 面 ACD；证法
21、三、取 CF 的中点 G，连接 BG，EG ，可证明面 面 ADC，进一步得到 面ACD； 由 面 ADC，可得 ，由已知结合等积法即可求得三棱锥 的体积本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题43. 某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了 100 位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”单位：小时 ，活动时间按照 、 、 、 从少到多分成 9 组，制成样本的频率分布直方图如图所示求图中 a 的值；估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；在 、 这
22、两组中采用分层抽样抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 2 人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率【答案】 本小题满分 12 分解： 由频率分布直方图，可知，平均户外“活动时间”在 的频率为同理，在 ， ， ， ， ， 等组的频率分别为 ， ， ， ， ，由 解得 设中位数为 m 小时因为前 5 组的频率之和为 ，而前 4 组的频率之和为 ，所以 由 ，解得 故可估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数为 小时由题意得平均户外活动时间在 ， 中的人数分别有 15 人、20 人，按分层抽样的方法分别抽取 3 人、4 人，记作 A，B，C 及 a，b，c，d，从 7 人中随机
23、抽取 2 人，共有 21 种，分别为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，同时在同一组的有：， ， ， ， ， ， ， ， 共 9 种，故抽取的两人恰好都在同一个组的概率 【解析】 由频率分布直方图，可知，平均户外“活动时间”在 的频率为 在， ， ， ， ， 等组的频率分别为 ， ， ， ， ，由，能求出 a 的值设中位数为 m 小时，前 5 组的频率之和为 ，前 4 组的频率之和为 ，从而 由，能估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数由题意得平均户外活动时间在 ， 中的人数分别有 15 人、20 人，按分层抽样的方法分别抽取
24、3 人、4 人，记作 A，B，C 及 a，b，c，d，从 7 人中随机抽取 2 人，利用列举法能出抽取的两人恰好都在同一个组的概率本题考查频率分布直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题44. 已知函数 求曲线 在点 处的切线方程；求 的单调区间；若对于任意 ，都有 ，求实数 a 的取值范围【答案】解： 因为函数 ，所以 ， 又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 函数 定义域为 ，由 可知， 令 ，解得 与 在区间 上的情况如下：x0减 极小值 增所以， 的单调递增区间是 ， 的单调递减区间是 当 时，“ ”等价
25、于“ ”令 ， ， 当 时， ，所以以 在区间 单调递减当 时， 0/，所以 在区间 单调递增而 ，所以 在区间 上的最大值为 所以当 时，对于任意 ，都有 【解析】 求出函数的导数，计算 ， 的值，求出切线方程即可；求出函数的导数，根据导数和函数单调的关系，求出函数的单调区间即可；问题等价于“ ”构造函数，利用导数求出函数的最值，从而求出 a 的范围即可本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，属于中档题45. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 为参数 ，在极坐标系 与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位 ，且以原点
26、O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴 中，圆 C 的方程为 求圆 C 的直角坐标方程；若点 ，设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，求 的最小值【答案】解： 由 得 ，化为直角坐标方程为 ，即 将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 由 ，故可设 ， 是上述方程的两根，所以 ，又直线 l 过点 ，故结合 t 的几何意义得所以 的最小值为 【解析】 利用 ， 可将圆 C 极坐标方程化为直角坐标方程；先根据 得出圆 C 的普通方程，再根据直线与交与交于 A，B 两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出 ，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值此
27、题主要考查参数方程的优越性，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度46. 已知函数 若 ，求实数 a 的取值范围； 若不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围【答案】解： 函数 ， ，即 ，或 ，或 解 求得 ；解 求得 ；解 可得 综上可得， ，综上所述，实数 a 的取值范围是 函数 ，它表示数轴上的 x 对应点到 对应点距离的 2 倍加上它到 2a 对应点的距离，根据绝对值的几何意义知，当 时， 的值最小，即 ， 或 ，求得 或 ，实数 a 的取值范围是 【解析】 把不等式 ，等价转化为与之等价的 3 个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，记得实数 a 的取值范围 利用绝对值的几何意义求得 的最小值，让此最小值大于或等于 2，即可求得实数 a的取值范围本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解 函数的恒成立问题，绝对值的几何意义，体现了转化的数学思想，属于中档题
