1、2019 届湖南省邵阳市高三上学期 10 月大联考高三数学试卷(理科)一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据集合的补集的概念得到结果即可.【详解】 = , ,根据集合的补集的概念得到故答案为：C.【点睛】本题考查了集合的补集的概念，属于基础题. 与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集（2）看这些元素满足什么限制条件（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满
2、足元素的互异性2.过点 且与直线 垂直的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设要求的直线方程为： ，把点（2，1）代入解得 m 即可得出【详解】设要求的直线方程为： ， ，把点（2，1）代入可得：4+3+m=0，解得 m=-7可得要求的直线方程为： ，故选：B 【点睛】本题考查了直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数 f（x）的定义域为 求出函数 f（2x）的定义域，再由分式的分母不等于 0，则函数 的定义域可求【详解】：函数 f（x）的
3、定义域为 ,由 02x6，解得 0x3又 x-30，函数 的定义域为 故选 D【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，给出函数 f（x）的定义域为a，b，求解函数fg（x）的定义域，直接求解不等式 ag（x）b 即可，是基础题4.已知数列 满足 ， ， ，那么 成立的 的最大值为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】【分析】由于数列a n满足 a1=1， ，利用“累加求和”可得，即可得出【详解】数列a n满足 a1=1， , a nn 2则使 an32 成立的 n 的最大值是 5故故选 B.【点睛】本题考查了“累加求和”方法，属于基础题5.若命题“ ， ”为假命题，则
4、的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题干的到命题等价于 恒成立，故只需要判别式小于等于 0 即可.【详解】若命题“ ， ”为假命题,则命题等价于恒成立，故只需要 故答案为：C.【点睛】这个题目考查了由命题的真假求参数的范围问题，是基础题.6.将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象，则“ ”是“ 是偶函数”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据图像的平移得到函数 的表达式，当 是偶函数时， ，根据范围的大小得到两者的关系.【详解】函数 的图象沿 轴向左
5、平移 个单位长度后，得到函数 ,当 是偶函数时， ，则“ ”是“ 是偶函数”的充分不必要条件.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了三角函数的图像的平移，满足左加右减，需要保证将 x 的系数提出来，还考查到了充分必要条件的判断，判断充要条件的方法是：若 pq 为真命题且 qp为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件；若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件；若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题q 的充要条件；若 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件判断命题 p 与命题 q 所表示的范围
6、，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系7.函数 的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题中表达式得到当 时，分母趋向于 0，分子趋向于 4，整个分式趋向于 ，故排除 BC，当 时，分母趋向于 0，但是小于 0，分子趋向于 4，整个分式趋向于 ，故排除 A.进而得到选项.【详解】根据题干中的表达式得到 x 不能等于 2，故图中必有渐近线，x=2 或-2，当 时，分母趋向于 0，分子趋向于 4，整个分式趋向于 ，故排除 BC，当 时，分母趋向于0，但是小于 0，分子趋向于 4，整个分式趋向于 ，故排除 A.故答案为：D.【点睛】
7、这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.8.已知三棱锥 底面的 3 个顶点 在球 的同一个大圆上，且 为正三角形，为该球面上的点，若三棱锥 体积的最大值为 ，则球 的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意正三棱锥 PABC 的四个顶点都在同一球面上，从而三角形 ABC 的中心就是球心 O，PO是球的半径，也是正三棱锥的高，利用正三棱锥 PABC 求得球的半径，即可求出球 O 的表面积【详解】正三棱锥 PABC 的四个顶点都在同一球面
8、上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上因为题目中涉及到体积最大值，故 ABC 的中心就是球心 O，PO 是球的半径，也是正三棱锥的高，设为 R，底面三角形的边长设为 a，由正弦定理得到 ，三角形的面积为，椎体的体积为 则球 O 的表面积是 4R 2=44=16故答案为：B【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.9.已知过抛物线 的焦点 且斜率为 1 的
9、直线交抛物线于 两点， ，则 ( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】B【解析】【分析】设直线 AB 的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可 x1+x2=3p，x 1x2= ，由抛物线的定义可知，|AF|=x 1+ ，|BF|=x 2+ ，即可得到 p【详解】抛物线 y2=2px 的焦点 F（ ，0） ，准线方程为 x= ，设 A（x 1，y 2） ，B（x 2，y 2）直线 AB 的方程为 y=x ，代入 y2=2px 可得 x23px+ =0x 1+x2=3p，x 1x2= ，由抛物线的定义可知，|AF|=x 1+ ，|BF|=x 2+ ，|AF|BF|=（x 1+ ）
10、 （x 2+ ）=x 1x2+ （x 1+x2）+ = + p2+ =2p2=8，解得 p=2故选：B【点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。10.一副扑克牌去掉大小王，从剩余的 52 张牌中任意取出 3 张，花色相同的概率、数相连的概率分别是 ， ，则 ， 的大小关系是( )A. B. C. D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】扑克牌中有 4 种
11、花色，每种花色是 13 张牌，花色相同的概率为 ,即三个数字连起来有 10种连续的方式，再由花色不同，再选花色, 故此概率为 进而得到大小.【详解】扑克牌中有 4 种花色，每种花色是 13 张牌，花色相同的概率为 ，数字相联的概率，即三个数字连起来有 10 种连续的方式，再由花色不同，再选花色，有种方法，故此概率为 ，两个概率的分母相同，只需要比较分子即可，得到 .故答案为：A.【点睛】这个题目考查了概率的实际应用，涉及到古典概型的公式，即让满足条件的事件个数除以总的事件个数.11.已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则下列命题错误的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析
12、】，则 ，两式相减得到 A 正确；由 A 选项得到 = 进而得到 B 正确；同理可得到 C 错误；由得到 进而 D 正确.【详解】已知 ，则 ，两式相减得到 ，故 A 正确；根据 A 选项得到 = =，故 B 正确； = = ，故 C 不正确；根据故 D 正确.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.12.已知函数 的导函数为 ，若 ， ，则不等式 的解集为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数 ,通过题干得到函数的
13、单调性，进而得到不等式等价于 g(x) g(0)，进而得到最值.【详解】构造函数 因为 ，故 ，故函数 g(x)单调递增，不等式 变形，因为 ，故 g(0)=4,故原不等式等价于 g(x) g(0),根据函数的单调性得到解集为 .故答案为：A.【点睛】这个题目考查了导数在处理函数单调性和解不等式中的应用，也考查了构造函数的应用，对于解不等式的问题，如果直接通过解析式解不等式比较麻烦，则考虑构造函数，研究函数的单调性，进而得到不等式的解集.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.在 中，点 满足 ， ，则 _【答案】【解析】【分析】直接利用三角形法则和向量的线性运算求
14、出结果【详解】OAB 中，点 C 满足 ，设，则： ，所以： 所以： ，故答案为【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，三角形法则的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型14.已知 ，则 _.【答案】【解析】【分析】根据正切函数和正余弦函数的关系得到 ，结合 得到.【详解】已知 ，结合 ，两个方程结合得到 .故答案为： .【点睛】这个题目考查了三角函数的化简及求值，利用 sin2 cos 2 1 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用 tan 可以实现角 的弦切互化；2.注意公式逆用及变形应用：1sin 2 cos 2 ，sin 2 1cos 2 ，cos 2 1sin
15、2 .15.若对任意的 ，均有 ，则 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】构造函数 根据幂函数的性质得到该函数为增函数,原不等式等价于 x -a 对任意的恒成立.【详解】构造函数 根据幂函数的性质得到该函数为增函数，故 等价于对任意的 恒成立，即 x -a,代入得到 的取值范围是 .故答案为： .【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若 恒成立 ；（3）若 恒成立，可转化为 （需在同一处取得最值）16.已知关于 的方程 恰好有两个不同解，其中 为方程中较大的解，则
16、_【答案】 【解析】【分析】由题意可知直线 与 相切，求导另一些率相等可求 ，进而得到【详解】 如图所示，直线 与有两个交点，则 则即 答案为-1.【点睛】本题考查由导数求直线的斜率，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，属中档题.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在 中，角 的对边分别为 ，已知 .（1）若 ， ，求 的面积 ；（2）若 ，求 .【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）由 ，得 ， ，由三角形面积公式可求 的面积 ；（2） ， ， ，故可设 ， ， ， ，则 ，化简 即可得到答案.【详解】 （1）由
17、，得 ， ， ， ， .（2） ， ， ，故可设 ， ， ， ，则 ， .【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查了二倍角公式以及同角三角函数济南郭先生，属中档题.18.已知 ， ， ， .(1)若 为真命题，求 的取值范围；(2)若 为真命题，且 为假命题，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】(1)分 a=0 和 两种情况讨论即可；（2）因为 为真命题，且 为假命题，所以 真假或 假 真，当 真 假，有 解出即可，当 假 真，有 解出即可.【详解】(1)当 时， 不恒成立，不符合题意；当 时， ，解得 .综上所述： .(2) ， ，则 .因为 为
18、真命题，且 为假命题，所以 真 假或 假 真，当 真 假，有 ，即 ；当 假 真，有 ，则 无解.综上所述， .【点睛】由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假假若 p 且 q 真，则 p 真，q 也真；若 p 或 q 真，则 p，q 至少有一个真；若 p 且 q 假，则 p，q 至少有一个假 （2）可把“p 或 q”为真命题转化为并集的运算；把“p 且 q”为真命题转化为交集的运算19.设单调递增的等比数列 的前 项和 ，已知 ， .（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ； （2） .
19、【解析】【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，则 ，解得： .，解得 ，可求数列 的通项公式；（2）由（1）及题设可得： ， ，由裂项相消法可求数列 的前 项和 .【详解】 （1）设等比数列 的公比为 ，则 ，解得： .，解得 ，所以 .（2）由（1）及题设可得： ，所以 .【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，考查裂项相消法求和，属中档题.20.如图，菱形 的边长为 4， ，矩形 的面积为 ，且平面 平面.(1)证明： ；(2)求二面角 的正弦值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】(1) 因为四边形 是矩形，所以 ,再由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直；（2）建立坐标系得到
20、各个面的法向量，进而得到夹角的余弦值，再求正弦值.【详解】(1)证明：因为四边形 是矩形，所以 .因为平面 平面 ，且平面 平面 ，所以 平面 .又 平面 ，所以 .(2)解：设 与 的交点为 ，建立如图所示的空间直角坐标系 .因为菱形 的边长为 4，且 ，所以 .因为矩形 的面积为 8，所以 .则 ， ， ， ，所以 ， ， .设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以 .设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以 .所以 ，所以 .所以二面角 的正弦值为 .【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距
21、离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，或者建系来做。21.已知函数 是 上的奇函数， .(1)若函数 与 有相同的零点，求 的值；(2)若 ， ，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）根据题干得到 ， ，解得 ， 是函数 的零点，所以 ，进而求得 t 值；（2） ， 等价于 ,根据函数的单调性得到函数的最值，即可求出结果.【详解】(1)因为 是 上的奇函数，所以 ，即 ，解得 .因为 是函数 的零点，所以 ，则 .
22、(2)由(1)可得 ，因为奇函数 ，所以 在 上是减函数，则 在 上的最大值为 .因为 ，所以 在 上是增函数，在 上是减函数.则 的最小值为 和 中的较小的一个.因为 ， .所以 .因为 ， ，所以 .解得 .故 的取值范围为 .【点睛】恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若 恒成立 ；（3）若 恒成立，可转化为 （需在同一处取得最值） .22.已知函数 ，其中 .(1)讨论函数 的单调性；(2)已知 ， ， 是函数 图象上的两点，证明：存在，使得 .【答案】 （1）见解析；（2）见解析【
23、解析】【分析】(1)对函数求导，分 ，和 两种情况讨论导函数的正负进而得到函数的单调性；（2），通过研究函数 的函数值得到函数有正有负，再者函数是连续函数，进而得证.【详解】(1)解：因为 ，所以 .当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减.当 时，令 ，得 .当 时， ， 在 上单调递减.当 时， ， 在 上单调递增.(2)证明： ， .令 ，则 ，令 ，则 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.从而 ， ，又 ， ，所以 ， .因为函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在 ，使得 ，即存在 使得 .【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
