1、湖北省年元月高考模拟调研考试理科数学评分标准一.选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12D C A A A C C A B D B D二、填空题：13. .5 ; 14 :10 ; 15： 3 ; 16：(1，+ )三、解答题：( a q 4 )2 a q917【解析】(1)对于数列 an， 1 1 (a1q0，nN *)2( a1 q n 1 a1 q n 1 ) 5a1 qna1 q即 2 分q 12 或 2注意到a n为递增数列a1 2 则 q 2a n=2n3 分对于数列bn，由 bnbn14Sn1 得 bn 1bn4Sn 11相减得 bn(bn+1bn1)=4bn又
2、b n0bn+1bn1=4 为定值数列b 2n 和b 2n都是以为公差的等差数列5 分又b 11在 bnbn14Sn1 中令 n=1 得 b2=3 b 2n 1=1+(n 1)4=2(2n1) 1，b 2n=3+(n1) 4=2(2n)1a n=2n，b n=2n1 7 分(2)由( )得 T n=12+322+523+(2n1)2 n2T n= 122+323+(2n3)2 n+(2n1) 2n+1 T n=122 222 2322 n+(2n1) 2n+1=2 23 (1 2 n1 ) +(2n1) 2n+1不论对错，会用错位相减法就给 2 分9 分 1 2=(2n3)2 n+1+612
3、分18【解析】(1)在底面中， 且 2， 21 分又， 平面， 平面平面3 分又 平面， 24 分又， 平面，A 平面PA平面5 分(2)方法一：在线段D 上取点，使则又由() 得 PA平面平面又 平面BD6 分作于又， 平面， 平面AC平面又 平面AC又ACN是二面角的一个平面角8 分设 PMPD x2 2则(1x)AP=22x，ON= AN= xAD=x2 2这样，二面角的大小为即 tan =MN =2 2x =tan= 3ON x即 PMPD x=42 3满足要求的点存在，且 PMPD 42 3 12 分方法二：取的中点，则、三条直线两两垂直可以分别以直线、为 x、y、z 轴建立空间直角
4、坐标系6 分2且由() 知 AP (， )是平面的一个法向量7 分设 PMPD x(，)则(1x)AP=22x，AN=xAD= 2 x AM (， 2 x，22x)， AC ( 2 ， 2 ，0)设 AQ =(a ，b ，c) 是平面的一个法向量AQ AM 2 xb (2 2 x ) c 0则 AQ AC 2 a 2b 0a b 2xc b 2 x 2令 b=2x2，则 AQ =(x，2x2， 2 x)，它背向二面角9 分又平面的法向量 AP ( ，)，它指向二面角这样，二面角的大小为AP AQ 2 2x 1即 cos AP ， AQ = = cos | AP | | AQ | 2 ( 2 2
5、 x ) 2 (2 2 x ) 2 ( 2x)2 2即 x=42 3满足要求的点存在，且 PMPD 42 3 12 分19【解析】(1)由题得如下的列联表有兴趣 无兴趣男生 50 10 60女生 25 15 40总计 75 25 1001 分2 n ( ad bc)2 100(50 15 25 10)2 k=K =( a b )( c d )( a c )(b d ) = 60 40 75 25 5.5566.6353 分没有4 分(2)记事件 Ai=从这名学生中随机抽取的人中恰好有 i 人有兴趣，i=0，1，2，3则2+A3从这名学生中随机抽取的人中至少有人有兴趣3且2 与 A3 互斥6 分
6、C 2 C1 C 3 C 0 10 13 33 3所求概率(2+A3)(2)(A3) = 7 分C3 C3 20 26 6(3)由题意，可知 所有可能取值有 0， 1， 2， 38 分C 2 C2 93 4P( 0) C 2 C2 505 5C 1C 1C 2 C 2 C1 122 3 4 3 4P( 1) C 2 C2 255 5C 2 C 2 C 1C 1C1 32 4 3 2 4P( 2) C 2 C2 105 5C 2 C1 12 4P( 3) 10 分C 2 C2 255 5所以 的分布列是 0 1 2 39 24 15 2P50 50 50 5011 分E( )=0 509 +1
7、5024 +2 1550 +3 502 = 65 12 分c 1 1 2 bc 220【解析】(1)由题得 (a b0，ac0) 1 2b2 2 c 2 aa 2 b 2 c2a 2解得 b 1c 1椭圆 的方程为 x2 +y2=13 分2(2)方法一:由题知直线 m 的斜率存在4可设 m:y=kx+ty kx t由 消去 y 得 (2k2+1)x2+4ktx+(2t2 2)=04 分x 2 2 y2 2 0直线 m 与椭圆有且只有一个公共点 =(kt) 24(2k 2+1)(2t22)=0即 t 2=2k2+16 分直 ml:y=kx+t 与直线 x=交于M(1，k+t)8 分同理 N(2
8、，2k+t) 9 分| MF | (1 1)2 ( k t 0)2 k 2 2kt t 2 2 = = = 为定值 12 分| NF | (2 1)2 (2k t 0)2 1 (4k 2 4kt t 2 ) 2方法二:设切点为(x 0，y 0)(y00)x0 x则 m： +y0y=15 分22 x0 2 x0令 x=1 得 y= 即 M(1， )7 分2 y 2 y0 01 x0 1 x0令 x=2 得 y= 即 N(2， )8 分y y0 02 x0(1 1) 2 ( 0)2| MF | 2 y0 (2 x0 )2 (2 x0 )2 2 = = = = 为定值| NF | 2 1 x0 2
9、4(1 x ) 2 4 y2 x2 20 0 0(2 1) ( 0) 4(1 x0 ) 2 4(1 )y0 212 分21.【解析】(1)解法一 :由题得 f (x) a(ln x 1) 2x a a ln x 2x (x0)1 分a2( x )a 2 f (x)= 2= (x 0)x x1当 a0 时， f (x) a(ln x 1) 2x a a ln x 2x (x0)是减函数2 2 2 2且 f ( e a )=aln e a 2 e a =2(1 e a ) 0f(1)= 20此时 f(x)有且只有一个零点2 分 2当 a 0 时， f (x) 0 ，此时 f(x)没有零点3 分53
10、当 a0 时x a a a(0， ) ( ，+)2 2 2f(x) + 0 f(x) 极大值 a a f (x)max=f ( )=a(ln 1)2 2(i)若 0a2ea则f(x) max=a(ln 2 1)0此时，函数 f(x) 没有零点4 分(ii) 若 a=2ea则f(x) max=a(ln 2 1)=0a此时，函数 f(x) 有且只有 2 =e 一个零点5 分(iii)若 a2ea则f(x) max=a(ln 2 1)0且 f(1)= 20,下面证明存在 t （ a2 ，+ ）使 f (t)a+1 2下面证明 f(e a)=alnea2e a=a22e a0，证明：设 g(x)=x
11、22e x则 g(x)=2x2e x，g(x)=2(1e x) g (x)=2(1e x)在0，+)上恒负g (x)=2(xe x)在0，+ )上是减函数在0，+)上，恒有 g(x)=2(xe x) g(0)=20 g(x)= x22e x 在0，+)上是减函数f(e a)=alnea2e a=a22e a=g(a)g(0)=20，得证或取 t= a 2 a2 a2下面证明 f(a 2)=alna22a 2=2a(lnaa)0，证明:设 g(x)=lnxx(x 1)则 g(x)= 1x 10(x1)g(x)在(1 ，+ )上是减函数f(a 2)=2a(lnaa)=2ag(a)2ag(1)=2a
12、0，得证62（说明 1：此处的自变量 e a、a 2 和 1中的选点 e a 用来判断 g(x)的正负，这里给出两个不同自变量取值，就是例证自变量取值都不是唯一的,其它的取值只要讲明了道理,都给全分）此时，函数 f(x) 有且只有两个个零点0 0 a 2e 综上，函数 f (x) 的零点个数= 1a 0 或 a 2e 6 分2 a 2e解法二 由题得 f (x) a(ln x 1) 2x a a ln x 2x (x0) 1 分1当 a 0 时， f (x) 0 ，此时没有零点 3 分2当 a 0 时导函数 f (x) 的零点个数等于函数 y 1a 与函数 y ln2xx 图象的交点个数设 g
13、(x) ln x 2x则 g (x) 1 ln x (x0) 2x2当 0 x e 时， g (x) 0 ；当 xe 时， g ( x) 0 g(x) 在 (0, e) 上单调递增，在 (e ,) 上单调递减 g(x)max=g(e)= 21e又 当 x 0+时， g(x) ，当 x +时， g(x) 0(即 lim g ( x) = ， lim g ( x) =0)x0 x用极限说明,给全分（否则扣 1 分）图象如图当 1a 0 即 a 0 时，有 1 个交点；当 0 1a 21e 即 a 2e 时，有 2 个交点；当 1a 21e 即 a 2e 时，有 1 个交点；当 1a 21e 即 0
14、 a 2e 时，没有交点.0 0 a 2e 综上，函数 f (x) 的零点个数= 1a 0 或 a 2e 6 分2 a 2e（说明 2 ：关于（1）的两个解法解法一 推理论证严谨，说理充分。选取特定自变量判断函数值正负的方法对考生数学构造能7力提出较高要求。这是近年来高考试题的解答趋势。解法二 是流行的一个常规解法，其本质是借助函数变化趋势和图形几何直观。基于现阶段高中学生的实际，这个解法也给了满分。需要说明的是这个解法不严谨，也可能被扣分的）(2)设 h(x)=f(x) f (x) 2=( ax ln x x 2 ax a 2 1) ( a ln x 2 x) 2 ax ln x x2 (a
15、 2)x a2 1 a ln x (x1)h(x)=(alnx+ax 1x )-2x-(a-2)-a 1x =alnx-2x+2- ax (x1)1 a 1 1h(x)=a x -2+ x2 =a( x + x2 )-2(x1)1题设成立的一个必要条件是 h(1) a(a 1) 0 即 0 a 19 分2当 0 a 1 时1 1 1 1 x (1,+）， h (x)=a( +2 )-2a( + 2 )-20x x 1 1h(x)在 (1, ) 上单调递减又h(x)在 x=1 处连续(连续性在解题过程中可不作要求,下面第三行同) x(1,+），h(x)h (1)=-a0从而 h(x ) 在 (1
16、, ) 上单调递减 x1,+）， h(x ) h(1) 0实数 a 的取值范围为0,1 12 分22.解：(1)曲线：(x2) 2+y2=4 即 x 2+y2=4x 即 2=4 cos 即 =0 或 =4cos由于曲线 =4cos 过极点曲线的极坐标方程为 =4cos 3 分直线 l：(x+1)sin =ycos 即 xsin ycos +sin =0即 cos sin sin cos +sin =0 即 sin( )=sin直线 l 的极坐标方程为 sin( )=sin 5 分(2)由题得(，)设为线段的中点，圆心到直线 l 的距离为 d（0，2)6 分则=2 32 d 2 8 分它在 d(0，2)时是减函数的取值范围( 5 ，)10 分823 1 (2x 1) ( x 2) x 21解：(1)f(x)= (2x 1) ( x 2) x 2 2(2x 1) ( x 2) x 2 1 x 3 x 21= 3x 1 x 2 2x 3 x 23分 f(x)的 图 象 如图6 分 12 x 3 x 21(2)由( )得 f(x) x= 2x 1 x 2 23 x 2当 x= 12 时，f(x)x min=28 分题设等价于 2m+1 2 即 m 32 10 分9
