1、 试卷类型： A 20182019 学年度高 二 上学期期中考试 高二 数学 试题 本试卷 4 页， 22 小题，满分 150 分 . 考试用时 120 分钟 . 注意事项 ： （ 1）答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上 . （ 2）回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 .如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 回答非选择题时，将答案写在答题卡上 .写在本试卷上无效 . （ 3）考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合
2、题目要求的 1. 下列 短语在 逻辑中 是存在量词的是 A.存在 一个 B. 任意一个 C. 所有的 D 每一个 2. 已知 ab ，则下列不等关系正确的是 A. ab B.acbc+ C. 22ab D22ac bc 3. 已知 数列 na ,( )( )12nannn= +N ,则115是这个数列的 A. 第 3项 B. 第 4 项 C. 第 5项 D 第 6 项 4. 不等式24 4 10xx+ +的解集是 A.R B. 12xxC. D12xx高二 数学 试题 第 1 页（共 4 页） 5. 在等差数列 na 中 ,12a = ,3610aa+=,则8a = A. 5 B. 6 C.
3、8 D 10 6. 设 ( ), 0,ab + , ,M a bN a b=+=+,则 ,MN的大小关系是 A.MN B.MN ， 其第 17 项的平方等于第 24 项，则使 123123111 1nnaaa aaaa a+ + + + + + 成立的正整数 n 的最小值是 A 18 B 19 C 20 D 21 高二 数学 试题 第 2 页（共 4 页） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 命题 “20 00,0x xx R ”的否定是 14. 设数列 na 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则1234aaaa+ + = .15. 已知数列1231,
4、, , , 9aaa 是 等比 数列， 数列121, , , 9bb 是等差数列，则212abb=+ 16. 若 对任意 0,1x ，不等式222 3x mm 恒成立 ， 则实数 m 的取值范围 为 三、解答题 ： 共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.（ 10 分） 已知数列 na 是 各项 均 为正 数 的 等比数列，首 项为1a ，公比为 q . 证明 : 数列 na 是递增数列的充要条件是 1q . 18.（ 12 分） 已知 na 是等差数列， nb 是等 比 数列， 且11 2 21, 3.ab ab= = = =（） 求 数列 na ， nb 的 通
5、项公式； （ ） 设n nnc ab= + ，求数列 nc 的前 n 项和 . 19.（ 12 分） 已知2:2 1 0p xx +， :3 4qx ， ( )22: 12 0 0r x ax a a . （）判断是 p 是 q 什么条件； （ ）如果 q 是 r 的充要条件 ,求 a 的值 . 高二 数学 试题 第 3 页（共 4 页） 20.（ 12 分） （）已知函数( ) ( )4 0, 0afx x x ax=+ 在 3x = 时取得最小值， 求 a 的值及 ( )fx 的 最小值； （ ）若正实数 ,xy满足221x y xy+=，求 xy+ 的 最大值 . 21.（ 12 分）
6、某厂家拟在 2018 年举行促销活动 , 经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用 m 万元 ( )0m 满足231xm= +. 已知 2018 年生产该产品的总成本为 16 8x+ 万元 , 厂家将每件产品的销售价格定为每件 产品年平均成本的 1.5倍 .（产品成本不包括促销费用） （） 将 2018 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数；并求出若该产品的年利润不低于 12万元时， m 的取值范围； （ ） 该厂家 2018 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 22.（ 12 分） 设各项均为正数的数列 na 的前 n 项和为nS ,且
7、nS 满足 ( ) ( )22 23 3 0, .nnS nn S nn n + + = N （） 求1a 的值及 na 的通项公式； （ ） 证明：对任意的正整数 n ， 总 有 ( ) ( ) ( )11 2 21 1 111 1 13nnaa aa aa+ + R 14.15 15.31016.12m 三、解答题 :本大题共 6 个 大题，共 70 分 . 17.（本小题满分10分） 证明: （1）（先证充分性）即：先证“当1q 时，数列 na是递增数列”. 由等比数列的定义知：1nnaqa+=， 1分 因为已知0, 1naq,所以有11nnaa+ , 3分 整理得: ( )1nna a
8、n+N . 所以当1q 时，数列 na是递增数列. 5分（2）（再证必要性）即：再证“当数列 na是递增数列, 则有1q ”. 已知数列 na是递增数列， 所以有( )1nna an+N 6分 由于10, 0nnaa+,所以有11nnaa+ , 8分 由等比数列的定义知：1nnaqa+= ,所以1q 所以数列 na是递增数列时，有1q . 9分 高二数学参考答案 第1页 （共5页） 综上数列 na是递增数列的充要条件是1q . 10分 18.（12分） 解:（）设等差数列 na的公差为d ,等比数列nb的公比为q .1分 由题意得213 1 2,da a= = 2分 213.bqb= = 3分
9、 所以( ) ( )11 12 1 2 1naa n d n n=+ =+ = , 4分 1113nnnb bq= = . 5分 所以12 1, 3 .nnna nb= 6分 （）由于n nnc ab= + , 所以有( ) ( ) ( )1212nnnc ab ab ab= + + + + +( ) ( )1212 n naa a bb b= + + + + +8分( )( )111121nbqnnna dq=+( )11322 13nnnn=+ +11分 2312nn= + . 12分 19.（12分） 解:（）因为22 10xx +,整理得22 10xx, 解方程22 10xx=,得两根
10、121, 1.2xx=2分 高二数学参考答案 第2页 （共5页） 所以22 10xx +的解集为112xx. 4分 因为 1,1 3, 42 , 所以p是q的充分不必要条件. 6分 （）因为q是r的充要条件, 所以不等式( )2212 0 0x ax a a 的解集是 34xx . 8分 因此3, 4是方程( )2212 0 0x ax a a = 的两根, 由方程根与系数的关系(即韦达定理)得: ( )2343 4 12aa+ =, 10分 解得1a = . 12分 20.（12分） 解:（）因为0, 0xa, 所以有4 0, 0axx， 1分 由基本不等式得: 4 24 4aax xaxx
11、+ = . 3分 当且仅当4axx=时, 即24ax=时取得最小值4 a . 4分 已知3x =时取得最小值, 所以24 36ax= =，5分 最小值为4 24a = . 6分 （）由221x y xy+=，得：( )21x y xy+ =， 所以( )21xy x y=+， 8分 高二数学参考答案 第3页 （共5页） 因为( )24xyxy+，所以( )( )2214xyxy+ ， 整理得( )2 43xy+， 10分 因为,xy是正实数，所以2303xy ,所以12a = . 2分 由( ) ( )22 23 3 0, .nnS nn S nn n + + = N 得( ) ( )230n
12、nS nnS + +=. 又已知 na各项均为正数,故2nSnn= + . 4分 所以当2n 时, ( ) ( )2211 12n nna SS nnn n n= =+=. 又当1n =时, 12a =也满足上式. 所以2,na nn= N . 6分（）证明: ( ) ( )2 22,4 2 3 3 1 0k k k k k k k kk + + = = N . 所以224 23 3k kk k+ +. 8分 由于( ) ( )221 1 1 1 11 112214 2 3 3 3 1kkaa k k k k k k k k= =+ + +10分 所以( ) ( ) ( )11 2 211 111nnaa aa aa+ + +11 1 1 1 1 131 2 2 3 1nn + + +1 1113 13n=+, 不等式成立. 12分 高二数学参考答案 第5页 （共5页）
