1、课时规范练 22 解三角形基础巩固组1.(2018 山西吕梁一模,4)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a= ,c=3,cos A=,则 b= ( )6A.3 B.1C.1 或 3 D.无解2.在ABC 中,已知 acos A=bcos B,则ABC 的形状是 ( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形3.(2018 湖南长郡中学四模,11)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= ,则角 C=( )2A. B.56 6C. D.4 3
2、4.在ABC 中,B= ,BC 边上的高等于 BC,则 cos A= ( )4A. B.31010 1010C.- D.-1010 310105.(2018 湖南长郡中学五模,11)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 =- ,则角 A 的 3最大值为( )A. B.6 4C. D.3 26.(2018 河北衡水中学三模,14)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 asin B=bcos A,则sin B-cos C 的最大值是 . 27.(2018 北京,文 14)若ABC 的面积为 (a2+c2-b2),且C 为钝角,则B= ;的取值范围是
3、 34. 8.如图所示,长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上,另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上,石堤的倾斜角为 ,则坡度值 tan = .9.(2018 河北唐山一模,16)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 SABC = ,则 的最大值24 +是 . 10.在ABC 中,A=60,c=a.(1)求 sin C 的值;(2)若 a=7,求ABC 的面积.综合提升组11.(2018 河北衡水中学考前仿真 ,11)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=5,ABC
4、的面积 SABC = ,且 b2+c2-a2=accos C+c2cos A,则 sin B+sin C=( )2534A.3 B. C. D.3932 3 312.(2018 河北衡水中学月考,12)已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且(a 2+b2-c2)(acos B+bcos A)=abc,若 a+b=2,则 c 的取值范围为( )A.(0,2) B.1,2)C. D.(1,212,213.(2018 河北衡水中学九模,14)如图,为了测量河对岸 A、B 两点之间的距离,观察者找到一个点 C,从点 C 可以观察到点 A、B; 找到一个点 D,从点 D 可以观察到
5、点 A、C;找到一个点 E,从点 E 可以观察到点 B、C; 并测量得到一些数据:CD=2,CE=2 ,D=45,ACD=105,ACB=48.19,BCE=75, 3E=60,则 A、 B 两点之间的距离为 . 其中 cos 48.19取近似值 14.(2018 湖南长郡中学三模,17)在ABC 中,B= ,BC=2,3(1)若 AC=3,求 AB 的长;(2)若点 D 在边 AB 上,AD=DC,DEAC,E 为垂足,ED= ,求角 A 的值.62创新应用组15.(2018 江苏,13)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,ABC=120,ABC 的平分线交 AC于点
6、D,且 BD=1,则 4a+c 的最小值为 . 16.已知岛 A 南偏西 38方向,距岛 A 3 n mile 的 B 处有一艘缉私艇.岛 A 处的一艘走私船正以 10 n mile/h 的速度向岛北偏西 22方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用 0.5 h 能截住该走私船?(参考数据: 38=5314,22=3314)课时规范练 22 解三角形1.C 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A,即 b2-4b+3=0,解得 b=1 或 b=3.故选 C.2.D acos A=bcos B, sin Acos A=sin Bcos B, sin 2A=sin 2B, A=B
7、,或 2A+2B=180,即 A+B=90, ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选 D.3.B sin B+sin A(sin C-cos C)=0, sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=0cos Asin C+sin Asin C=0cos A+sin A=0A= ,34由正弦定理得 sin C= ,C C= ,选 B.2= 234 12 (0,2) 64.C (方法一)设 BC 边上的高为 AD,则 BC=3AD.结合题意知 BD=AD,DC=2AD,所以 AC= AD,AB= AD.由余弦定理,得 cos BAC=2+2=5 2=- .2+2-22 =22+5
8、2-92225 1010故选 C.(方法二) 如图,在ABC 中,AD 为 BC 边上的高,由题意知BAD= .4设DAC=,则 BAC=+ .4 BC=3AD,BD=AD. DC=2AD,AC= AD.5 sin = ,cos = ,25=255 15=55 cosBAC=cos =cos cos -sin sin (cos -sin )= =- ,故选 C.(+4) 4 4=22 22( 55-255) 10105.A 由题意结合正弦定理得 =- , 3所以 tan C=-3tan B,因此 B,C 中有一钝角,角 A 必为锐角, tan A=-tan(B+C)=- 0,+1-= 21+3
9、2 tan B0,tan A 0, 03233+12 8. 在ABC 中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2. 8 m,且 +ACB=.2315由余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即 3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得 cos = ,则 sin = ,516 23116所以 tan = .=23159.2 SABC = (a2+b2-2abcos C)= absin C,224=14 a2+b2=2ab(sin C+cos C).=2(sin C+cos C)=2 sin 2 ,当且仅当 C= 时取等号.+=2+2 2 (+4
10、) 2 410.解 (1)在ABC 中,因为 A=60,c=a,所以由正弦定理得 sin C= . =3732=3314(2)因为 a=7,所以 c= 7=3.37由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A 得 72=b2+32-2b3 ,解得 b=8 或 b=-5(舍).12所以ABC 的面积 S= bcsin A= 83 =6 .12 12 32 311.C (方法一) b2+c2-a2=accos C+c2cos A, cos A= ,+22 =+2 cos A= ,A= .+2 =(+)2 =12 3 SABC = bcsin A= , bc=25.12 2534 a2=b2+c2
11、-2bccos A, b2+c2=a2+bc=50,则(b+c) 2=100,b+c=10, b=c=5, ABC 为等边三角形, sin B+sin C= .3(方法二) b2+c2-a2=accos C+c2cos A, b2+c2-a2=ac +c22+2-22 2+2-22= =bc,(2+2-2+2+2-2)2 =222 cos A= , A= .2+2-22 =12 3 SABC = bcsin A= , bc=25.12 2534 a2=b2+c2-2bccos A, b2+c2=a2+bc=50,则(b+c) 2=100,b+c=10, b=c=5, ABC 为等边三角形, s
12、in B+sin C= .312.B 由题意可得 ,且 cos C=2+2-22 + =12=1,2+2-22 ,+ =+ =据此可得 cos C= ,12即 ,a2+b2-c2=ab,2+2-22 =12据此有 c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=4-3ab4-3 =1,当且仅当 a=b=1 时等号成立.(+2 )2三角形满足两边之和大于第三边,则 ca+b=2,综上可得,c 的取值范围为1,2).13. 依题意知,在ACD 中,A=30,由正弦定理得 AC= =2 .104530 2在BCE 中, CBE=45,由正弦定理得 BC= =3 .6045 2在ABC 中,由余弦定理
13、AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=10,故 AB= .1014.解 (1)设 AB=x,则由余弦定理有 AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即 32=x2+22-2x2cos ,3解得 x= +1,所以 AB= +1.6 6(2)因为 ED= ,62所以 AD=DC= .= 62在BCD 中,由正弦定理可得 ,=因为BDC=2A,所以 .22= 623所以 cos A= ,所以 A= .22 415.9 由题意可知,S ABC =SABD +SBCD .由角平分线的性质和三角形面积公式得 acsin 120=a1sin 60+c1sin 60,化简得 ac=a+c, =
14、1.因此 4a+c=(4a+c) =5+ 5+2 =9,1+1 (1+1) +4 4当且仅当 c=2a=3 时取等号,故 4a+c 的最小值为 9.16.解 设缉私艇在 C 处截住走私船 ,D 为岛 A 正南方向上的一点,缉私艇的速度为 x n mile/h,则 BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意,BAC=180-38-22=120,由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120,解得 BC2=49,BC=0.5x=7,解得 x=14.又由正弦定理得 sinABC= ,5327 =5314所以ABC=38.又BAD=38,所以 BCAD.故缉私艇以 14 n mile/h 的速度向正北方向行驶 ,恰好用 0.5 h 截住该走私船.
