1、育仁中学高二理科数学试卷出题人：胡晓利学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1. 下列说法中正确的是( )A.棱柱的侧面可以是三角形 B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形 D.棱柱的各条棱都相等2.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( )A. B. C. 8342D. 43. 已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是 ,则该球的表面积为( 3)A.4 B.8 C.12 D.164. 水平放置的 的斜二测直观图如图所示,已知 ,则 中ABC4,3BCABC边上的中线的长度为( )A. B. C. D.
2、73273555. 已知三条不重合的直线 和两个不重合的平面 ,下列命题正确的是( ),mnlA.若 ,则 B.若 ,且 ,则/,mn/ mnC.若 ,则 D.若 ,且 ,ll llm则 6. 点 分别是正方体 的棱 和 的中点,则 和 所成,MN1ABCD1BCMN1CD角的大小为( )A. B. C. 30 60 90D. 1207. 定义:底面是正三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱叫做正三棱柱.将正三棱柱截去一个角(如图 1 所示, 分别是 的中点)得到几何体(如图 2),则该几何体按图 2 所示,MN,ABC方向的侧视图为( )A. B . C. D.8. 如图,在大小为 的二面角 中,四
3、边形45AEFD都是边长为 的正方形,则 两点间的距离是( )ABFECD1BA. B. C. D. 32329.已知三棱柱 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边长为 的正三角形. 1AB943若 为底面 的中心,则 与平面 的所成角的大小为( )P1CPABCA. B. C. D. 523610. 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )A. B. C. 4325183D. 1011. 在长方体 中, , .点 为对角线 上的动1ABCD2AB1CAP1AC点,点 为底面 上的动点(点 , 可以重合),则 的最小值为( )QPQQA. B. C. 2332D. 12. 如图,在
4、正方形 中,点 , 分别是 , 的中点,将 沿 所在直线ABCDEFBCADBF进行翻折,将 沿 所在直线进行翻折,在翻折过程中( )A.点 与点 在某一位置可能重合 B.点 与点 的最大距离为ACAC3BC.直线 与直线 可能垂直 D.直线 与直线 可能垂直DFE二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13. 下图是一个正方体的表面展开图,图中的 、 、 和BD在原正方体中相互异面的有_对.GH14. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆堡蹤,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡蹤就是圆柱
5、体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堡蹤(圆柱体)的体积 (底面圆的周长的平方 高),12V则该问题中圆周率 取值为_.15. 正三棱锥 高为 , 侧棱与底面 成 角, 则点 到侧面 的距离PABC2ABC45APBC为_.16. 如下图,平面 平面 , , ,D90是正三角形,则二面角 的平面角的正切值为ABDCBA_.三、解答题17. 如图,在四棱锥 中,底面 是矩形,侧棱PABCD底面 , , 是 的中点,作PDEP交 于点 .EFBF1.证明: 平面 ;/2.证明: 平面 .18. 如图,在边长为 的菱形 中, , 分别是 和aABCD60,PCABD.EFPA的
6、中点。AB1.求证: | 平面 ;EFP2.求 到平面 的距离.19. 如图,边长为 的正方形 中.2ABCD1.点 是 的中点,点 是 的中点,将 , 分别沿 , 折起,使 ,EABFBC AEDCFEDFA两点重合于点 .求证: ;CA2.当 时,求三棱锥 的体积.1420. 如图,四棱锥 中,侧面 为等比三角形且垂直于底面 ,PABCDPAABCD, , 是 的中点.12ABCD90BACEPD1.证明:直线 平面 ./CEPAB2.点 在棱 上,且直线 与底面 所成锐角为 ,求二面角 的MMCD45MABD余弦值.21. 如图, 是圆锥底面圆的圆心,圆锥的轴截面 为等腰直角三角形, 为
7、底面圆周OPABC上一点1.若弧 的中点为 .求证: 平面 ;BCDACO2.如果 面积是 ,求此圆锥的表面积PA922. 如图,在四棱锥 中,平面 平面 为 的中点,且PABCDPA,BCDEA/, 2,1PADEE1.求证:平面 平面PADC2.求二面角 的余弦值;BE3.在线段 上是否存在点 ,使得 平面 ?若存在,求出点 的位置;若不存M/DPBCM在,请说明理由。参考答案一、选择题1.答案：B解析：棱柱的侧面都是四边形,A 不正确;正方体和长方体都是特殊的四棱柱,正确;所有的几何体的表面都能展成平面图形,球不能展开为平面图形,C 不正确;棱柱的各条棱都相等,应该为侧棱相等,所以 D
8、不正确;故选 B2.答案：B解析：试题分析:由三视图可知此几何体为有一侧面和底面垂直的三棱锥,体积为.3.答案：D解析：设球的半径为 .由 得 , .R342R2416R4.答案：A解析：由斜二测画法规则知 ,即 为直角三角形,其中 ,所ACB3,8ACB以 , 边上的中线长度为 .73B7325.答案：D解析：选项 A 中,还有 的可能;选项 B 中,还有 的可能;选项 C 中,还有 及与 异面的可能;由线面垂直的性质定理可判断 D 选面正确.故正确答案为 D.考点:直线与平面的平行、垂直关系.6.答案：B解析：7.答案：D解析： ,CE由题图 2 侧视的方向可知, 点的投影是棱 的中点,
9、点的投影为点的投影为 ,故MACNF应选 D.8.答案：D解析：因为 22, 232BFEBDFEDBFEDBE所以 39.答案：B解析：如图所示,过 作 平面 于 ,则 为平面 的中心,连接 ,PABCPABCAP延长交 于点 ,则 即为 与平面 所成的角.由 ,得BCMVSh, 即 .又 , 943132VhS321M , ,故选 .tanPAPAB10.答案：D解析：11.答案：C解析：由题意易得: ,作 平面 于 ,由对称性可知 ,PQAC1ABQ1PQ因此 ,问题转化为在平面 内,体对角线 上找一111minminBB1CA点 使得 最小,如下图所示,过点 作它关于直线 的对称点 ,
10、交直线P1 1B与点 , 再过点 作 于点 ,交 于点 ,则 的长度即为所求的1ACO11QA1P1Q最小值,易得 , , ,故选 C.130B131132B 考点:立体几何中的最值问题.12.答案：D解析：A 不正确,点 , 恒不重合;B 不成立,点 和点 的最大距离是正方形 的对ACACABCD角线 ;2BC 不正确,不可能垂直,D 选项,当平面 平面 时,ABF ED平面 平面 ,直线 与直线 垂直,DE BFC故选 D.二、填空题13.答案： 65解析： 分析:在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距
11、离.本题采用的是“找垂面法”:即找(作)出一个过该点的平面与已知平面垂直,然后过该点作其交线的垂线,则得点到平面的垂线段.设 在底面 上的射影为 ,则 ,且 是三角形 的中心,设底面边长为 ,PABCO2PABCa23a23设侧棱为 ,则 ,斜高 .由面积法求 到侧面 的距离b5hP.3265h解:如图所示:设 在底面 上的射影为 ,PABCO则 平面 , ,且 是三角形 的中心,O2ABC BCM 平面又 平面 ,平面 平面 ,AP又平面 平面 , 到侧面 的距离即为 的高BCAM设底面边长为 ,a则 2323设侧棱为 ,则 ,斜高 .b5h由面积法求 到侧面 的距离APBC3265故答案为
12、: 65点评:本小题主要考查棱锥,线面关系、直线与平面所成的角、点到面的距离等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.14.答案：3解析：由题意知圆柱体积 (底面圆的周长的平方 高) ,12V221rh化简得 .15.答案： 23解析：如图所示,作 于 .CHAB因为平面 平面 , ABCD所以 平面 .H作 于 ,连结 ,所以 ,EEHB所以 为二面角 的平面角.A在 中,因为 , 设 ,RtCa所以 , ,且 为 中点, .BCa22a在正三角形 中,因为 为 的中点, ,ADHBEBD所以 .31624HEa在 中, .RtC2tan364CEHa16.答案：3解析：还原后的图形
13、如图所示,相互异面的有 与 、 与 、 与 ，共ABCDEFGHAB对.三、解答题17.答案：1.以点 为坐标原点,射线 分别为 轴的正方向D,ADCPx,yz建立空间直角坐标系.设 .=a证明:连接 交 于 ,连接 .AC,BDGE依题意得 .0,0,0,2aaP因为底面 是正方形,所以 是此正方形的中心.故点 的坐标为 ,且 ,G2,AaEG所以 ,这表明 ,而 平面 ,PAE/PDB且 平面 ,所以 平面 .DB2.依题意得 ,所以 .(0)a(,)a又 ,故 .,2E200PE所以 ,由已知得 ,PBDFB所以 平面 .解析：18.答案：1.证明:因为 ,AEP所以 EFPBA因为所以
14、2.在面 内作过 作 ABCDFHBC故点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离EPBCFPBCFH在直角三角形 中, ,FH60,2a3sinsin24a故点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离,等于 。EPBCFPBC34a解析：19.答案：1. 为正方形 , , ADAEDF又 , 两点重合于 , 则 , , 则 平面 ,得 . EF2. , , 14BC2B则 , 0.5则 . 2EF, , , 1.5A222AHF17AH, . 728AEFS382AEFDV解析：20.答案：1.取 中点 ,连接 , ,PAFEB 是 中点ED , ./F12由 得 ,90BC/AD又 ,所以 ,
15、A/EFB四边形 是平行四边形,/E又 平面 ,FP平面 ,C故 平面 ./AB2. 由已知得 ,以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向, 为单位长,DABxAB建立如图所示的空间直角坐标系 ,xyz则 , , , , , .0A10BC013P1,03C(1,0)设 ,则 , .MxyzxMxyzxyz因为 与底面 所成的角为 ,D45而 是底面 的法向量,(0,1)nABC所以 , ,cos,45221zxy即 .2210xyz又 在棱 上,设 ,则 , , .MPCPCx1y3z由,解得 (舍去), 21,6.2xyz2,6.2yz所以 ,从而 .1,M1,AM设 是平面 的法向量,则0,
16、mxyzB即0,mAMB0026,xyz所以可取 .于是 .,6 10cos,5mn因此二面角 的余弦值为 .ABD105解析：21.答案：1.证明:设 BCODE 是弧 的中点,D 是 的中点,又 是 的中点,EA,A又 平面 平面,PEP平面 . COD2.设圆锥底面半径为 ,高为 ,母线长为 ,rhl圆锥的轴截面 为等腰直角三角形AB,2hrl由 ,得 ,219ABCShr3.22(1)rl解析：22.答案：1.证明:由已知平面 平面 ,PAD,BCPAD且平面 平面 ,PADBC所以 平面 .所以 .又因为 ,/E所以 .C所以 平面 .CDPA因为 平面 ,所以平面 平面 C2.如图所示建立空间直角坐标系 ,Exyz则点 0,2,020,1,0,2.EPABCD所以 1,BP设平面 的法向量为Cnxyz所以 即0nPB02令 ,解得1y,13.设平面 的法向量为PE,mabc所以 即0B0令 ,解得1b,1所以 .20327cos,4mn由图可知,二面角 的余弦值为 .CPBE73.“线段 上存在点 ,使得 平面 ”等价于“ ”.PEM/DPBC0DMn因为 ,设0,20,2,1E则 .0,2,0,24,MDM由 知平面 的法向量为PBC13n所以 .解得 .46n 2所以线段 上存在点 ,E即 中点,使得 平面 ./DPB解析：
