1、概率论总结目 录一、 前五章总结第一章 随机事件和概率 1第二章 随机变量及其分布.5第三章 多维随机变量及其分布10第四章 随机变量的数字特征13第五章 极限定理.18二、 学习概率论这门课的心得体会20一、前五章总结第一章 随机事件和概率第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（ 1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E 表示。在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为 。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为 S 或 。2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作 e
2、或 . 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用 S 或 表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件单点集，复合事件多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。3、定义：事件的包含与相等 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称 B 包含 A，记为 BA或 AB。若 AB 且 AB 则称事件 A 与事件 B 相等，记为 AB。定义：和事件“事件 A 与事件 B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件 B 的和事件。记为 AB 。 用集合表示为: AB=e|eA，或 eB。定义：积事件称事件“事件 A 与事
3、件 B 都发生”为 A 与 B 的积事件，记为AB 或 AB，用集合表示为 AB=e|eA 且 eB 。定义：差事件称“事件 A 发生而事件 B 不发生, 这一事件为事件 A 与事件 B 的差事件, 记为 AB,用集合表示为 A-B=e|eA，eB 。定义：互不相容事件或互斥事件如果 A，B 两事件不能同时发生，即 AB ，则称事件 A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。定义 6：逆事件/对立事件称事件“A 不发生”为事件 A 的逆事件，记为 。A 与 满足：A= S,且 A=。运算律：设 A，B ，C 为事件，则有（1）交换律：AB=BA，AB=BA （2）结合律：A(BC)=(AB)C=
4、ABC A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC)= ABAC（4）德摩根律：小结：事件的关系、运算和运算法则可概括为四种关系：包含、相等、对立、互不相容；四种运算：和、积、差、逆；四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。第二节：1、 设试验 E 是古典概型 , 其样本空间 S 由 n 个样本点组成 , 事件A 由 k 个样本点组成 . 则定义事件 A 的概率为： P(A) k/nA 包含的样本点数/S 中的样本点数。2、 几何概率：设事件 A 是 S 的某个区域，它的面积为 (A)，则向区域 S 上随机投掷一点，该点落在区域 A
5、 的概率为：BAP（A）=（A）/（S） 假如样本空间 S 可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向 S 上随机投掷一点的含义如前述，则事件 A 的概率仍可用（* ）式确定，只不过把 理解为长度或体积即可.概率的性质：（1） P()=0,（2）（3）（4） 若 AB，则 P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) P(A).第四节：条件概率：在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率称为 A 对 B 的条件概率，记作 P(A|B).而条件概率 P(A|B)是在原条件下又添加“ B 发生”这个条件时 A 发生的可能性大小，即 P(A|B)仍是概率 .乘法公式： 若 P(B)0,则 P(AB
6、)=P(B)P(A|B) P(A)0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)全概率公式：设 A1,A2,An是试验 E 的样本空间 的一个划分，且P(Ai)0， i =1,2,n, B 是任一事件, 则 贝叶斯公式：设 A1,A2,An是试验 E 的样本空间 的一个划分，且P(Ai)0， i =1,2,n, B 是任一事件且 P(B)0, 则 11mPP;,2,11nknkji AjiA则 两 两 互 不 相 容 ，),()(P)|( ni iiABP1)()(nj jjiii AP1)()|( 第五节 ：若两事件 A、 B 满足P(AB)= P(A) P(B) 则称 A、 B 独立，或称 A、
7、 B 相互独立.将两事件独立的定义推广到三个事件：对于三个事件 A、 B、 C，若P(AC)= P(A)P(C) P(AB)= P(A)P(B) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) P(BC)= P(B)P(C) 四个等式同时 成立,则称事件 A、 B、 C 相互独立 . 第六节：定理 对于 n 重贝努利试验，事件 A 在 n 次试验中出现 k次的概率为 总结：1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，请牢固掌握。3. 独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有
8、的概念，应正确理解并应用于概率的计算。4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广泛。第二章：随机变量及其分布1 、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。分布函数：设 X 是一个 r.v，x 为一个任意实数，称函数pqkqpkPnk 1,1,0)( F(X)=P（Xx）为 X 的分布函数。 X 的分布函数是 F(x)记作 X F(x) 或 FX(x).如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X 落在区间 （xX）。3、 离散型随机变量及其分布定义 1 ：设 xk(k=1,2, )是离散型随机变量 X 所取的一切可能值，称等式 P(X=xk
9、)=PK, 为离散型随机变量 X 的概率函数或分布律，也称概率分布. 其中 PK,0； Pk=1分布律与分布函数的关系：（1）已知随机变量 X 的分布律，可求出 X 的分布函数： 设一离散型随机变量 X 的分布律为 PX=xk=pk (k=1，2 ，)由概率的可列可加性可得 X 的分布函数为 已知随机变量 X 的分布律 , 亦可求任意随机事件的概率。（2）已知随机变量 X 的分布函数，可求出 X 的分布律：xkxkkpFXPXP)( 即一、 三种常用离散型随机变量的分布. 1（01 ）分布：设随机变量 X 只可能取 0 与 1 两个值，它的分布律为PX=k=pk(1-p)1-k , k=0，1
10、. (00 是常数, 则称 X 服从参数为 入 的泊松分布,记作XP(入). 、连续型随机变量1 概率密度 f(x)的性质 （1）f(x)0（2）,32,1)0()( kxFxXPkkk 10)(xpxFnkqCkXPn,01,!)( 210keP1)(dtf(3).X 落在区间(x 1，x 2)的概率 几何意义：X 落在区间(x 1，x 2)的概率 Px10则称 X 服从参数为 入的指数分布. 常简记为 XE( 入 )指数分布的分布函数为21)()(21 xdfFxXP dtfxF)()(其 他0)(bxaxf bxaF10)(001)(xexF指数分布的一个重要特性是”无记忆性”.设随机变
11、量 X 满足：对于任意的 so，t0,有 则称随机变量 X 具有无记忆性。3. 正态分布若 r.v X 的概率密度为其中 和 2都是常数， 任意， 0，则称 X 服从参数为 和 2 的正态分布. 记作),(2Nf (x)所确定的曲线叫作正态曲线.1,0的正态分布称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. 随机变量函数的分布设 X 为连续型随机变量，具有概率密度 fx(x)，求 Y=g(X) （g 连续）的概率密度。1一般方法分布函数法 可先求出 Y 的分布函数 FY(y)：因为 FY(y)=PYy=Pg(X)y，设 ly=x|g(x
12、)y则tXPstsXP|xexfx,)()(21yxgXlXyY dfdfPyy )()(再由 FY(y)进一步求出 Y 的概率密度 2. 设连续型随机变量 X 的密度函数为 X(x), y=f(x)连续, 求 Y= f(X)的密度函数的方法有三种：（1）分布函数法；（2）若 y=f(x)严格单调，其反函数有连续导函数，则可用公式法；（3）若 y=g(x)在不相重叠的区间 I1,I2,上逐段严格单调，其反函数分别为 h1(y), h2(y), ,且 h1(y), h 2(y),均为连续函数，则 Y= g(X)是连续型随机变量，其密度函数为对于连续型随机变量，在求 Y=g(X) 的分布时，关键的
13、一步是把事件 g(X) y 转化为 X 在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P g(X) y .。第三章 、多维随机变量. 分布函数的性质)(yFfY yhyyhyyXXY 2211.,),(),( : , YyxxyF),(,)(11212o yF对于任意固定的 y，对于任意固定的 x，离散型随机变量的分布、连续型随机变量及其概率密度性质边缘分布 1 离散型随机变量的边缘分布律,1)(02oF,0)(lim),(yxF0,li,y .1y.,),( ,)()3o ,(42121.0, 2 xFxF . ,),(,)( YXjipyPji .10ijjp.0),(xf,d,2
14、F(3) (,)GOy XY设 是 平 面 上 的 一 个 区 域 点 落 在内 的 概 率 为 .Gyxf,42 .),(21),(.,)(1 YXXjpiyPixjjij 连续型随机变量的边缘分布随机变量的独立性：两个随机变量函数的分布一、 离散型随机变量函数的分布 .),(,d) ,d)(,(,)( ,的 边 缘 概 率 密 度关 于称 其 为 随 机 变 量记 由 于度 为 设 它 的 概 率 密对 于 连 续 型 随 机 变 量 XYvxff uvfFxyf YXXx.,)(,(, 相 互 独 立yxPyxYX则 有边 缘 概 率 密 度 分 别 为 的 概 率 密 度 为设 连 续
15、 型 随 机 变 量 ,)(, ,)()3( yfxyxfYX .Y ,21,jipyxPji),(gZ)(kkzXgZ二、 连续型随机变量函数的分布第四章.、随机变量的数字特征随机变量的数学期望E(X)是一个实数, 而非变量, 它是一种加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值.2.连续型随机变量数学期望的定义数学期望的本质 定积分 它是一个数不再是随机变量3.数学期望的性质E (C ) = C .),(,), )(212 21NZYXYN .,),121 ninii .)(,.,211kkkpxP d)()(fXfE (CX ) =
16、CE (X )E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 当 X ,Y 独立时， E (X Y ) = E (X )E (Y )若存在数 a 使 P(X a) = 1, 则 E (X ) a ；若存在数 b 使 P(X b) = 1, 则 E (X ) b.第二节：随机变量的方差方差的定义D(X ) 描述 r.v. X 的取值偏离平均值的平均偏离程度5. 随机变量方差的计算 利用公式计算方差的性质 1. D (C) = 0 2.D (CX ) = C2D(X)D(aX+b ) = a2D(X)YEY特别地，若 X ,Y 相互独立，则若 Xi， Xj均相互独立， bn,21 均为常
17、数，则Cniini 11,)(22 .)()Var(, .)(niiniiXDab121)(2 若 X ,Y 相互独立可得逆命题不成立；3 若 X ,Y 相互独立可得逆命题不成立。4. 对任意常数 C, D (X ) E(X C)2 ,当且仅当 C = E(X )时等号成立5. D (X ) = 0 等价于 P (X = E(X)=1 称为 X 依概率 1 等于常数 E(X)。切比雪夫不等式 设随机变量 X 有期望 E(X)和方差 ，则对于任给 0,Y2| P 21|)(| XEP第三节、协方差与相关系数若 ,0XY则称 x，y 不相关。注：（1）X 和 Y 的相关系数又成为标准协方差，它是一
18、个无量纲的量。2、若随机变量 X 和 Y 相互独立.)()ov(C,.EXE .)()(,Cov的 相 关 系 数与为 随 机 变 量 YDXX )(),(.0)(2 )(E),(Cov2)(YXD协方差的计算公式1、 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)2、 D(X+_Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)协方差的性质：相关系数：1、 二维正态分布密度函数中，参数 p 代表了与 Y 的相关系数。2、 二维正态随机变量 X 和 Y 相关系数为零等价于 X 和 Y 相互独立。即 XY 相互独立 等价于 XY 不相关不相关的充要条件.);,ov(,)(Y;, baXba).Cov(
19、C32121)(,D ;0,1oXY ),Cov(2.3E相关系数的性质：第五章：极限定理大数定理：设Xn为一随机变量序列,E(Xn)存在，记 则称Xn服从（弱）大数定律。 切比雪夫大数定律： 设 X1,X2, 是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) K， i=1,2, ，则对任意的 0马尔科夫条件：在切比雪夫大数定理的证明过程中可以看出只要 () ， 则大数定理就能成立。切比雪夫大数定律的特殊情况：设 X1,X2, 是独立随机变量序列，且 E(Xi)= ， D(Xi)= 2 ， i=1,2,则对任给 0,辛钦大数定律：设随机变量序列 X1,X2,
20、独立同分布，具有有限的数学期 E(Xi)=, i=1,2,， 则对任给 0 ，.1)(XY.,:2baPba ,211nXEnYi ii,limlim1 ni iinnn PP若 niniiinEP111|lim01lim2niin |1|limniinP 1|1|limniinXP辛钦大数不要求随机变量的方差存在.它为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.中心极限定理：独立同分布下的中心极限定理：设 X1,X2, 是独立同分布的随机变量序列，且 E(Xi)= ， D(Xi)= ， i=1,2,，则注：参考资料概率论 数理统计 随机过程 作者：胡细宝 孙洪祥 王丽霞郭永江老师的教学课件 lim1xnPiinx-2t-de1
