1、读书报告近期,我阅读了一些有关于分形方面的文献，大致的了解了一下分形以及分形的量度分数维，下面就是一些我对于分形的理解。在经典的欧几里德几何中, 可以用直线、圆、球等这一类规则的形状去描述诸如墙、车轮、卫星等人造物体, 因为这些物体本来就是根据欧氏几何的规则图形生成的。然而自然界中, 却存在着许许多多极其复杂的形状, 如: 山不是锥体 , 云不是球体, 闪电不是折线, 雪花边缘也不是圆等等, 再如宇宙中点点繁星所构成的集合更非经典几何所能描述的, 它们不再具有人们早已熟知的数学分析中的连续、光滑(可导)这一基本性质了, 而是非线性的。为了描述这些问题, 哈佛大学数学系教授曼德布罗特(Benoi
2、tB.Mandelbort) 在 1975 年首次提出分形(Fractal) 概念。 1982 年 Mandelbrot 著作The FractalGeometry of Nature的出版, 标志着分形理论的产生。分形理论的建立为研究无序结构和探索复杂事物提供了一极有力的工具。分形理论与耗散结构理论、协同学、混沌理论都是同一时期在非线性科学研究中取得的重要成果。所谓分形就是事物组成部分以某种方式与整体相似的形, 其整体具有自相似性。分形研究的对象是具有自相似性的无序系统, 其维数的变化是连续的, 而非欧氏几何中的整数维, 如空间的欧氏维数是 3。(琚正挺,2006)从 Mandelbrot
3、在英国的海岸线有多长一文中提出分数维概念以后,分形几何学逐渐发展成为专门研究复杂、非规则现象的新理论,并已被证实在研究过去常被认为的无规律体,如地质体的内在规律方面行之有效,分形能够对自然世界和表面的复杂性作出更精确的表达。分形具有自相似性和无标度性。（1）自相似性：一个分形的某种结构或过程从不同的空间或时间尺度来看都是自相似的。事实上,在标度区内具有对称性,即表征自相似系统或结构的定量性质,如分维数,并不会因为放大或缩小等而变化,所改变的只是系统的外部形式,即系统的部分和整体之间存在自相似性。虽然这种定义不完备,但抓住了分形的本质特征自相似性。通常所说的自相似可以分为两类:一类是完全相似,由
4、数学模型生成,如图 1 所示科赫曲线的构造:设 E0 为一单位线段,将其三等分,中间的 1/3 用边长为 1/3 的等边三角形向上指的另两条边代替,得到的集记为 E1,它包含四条线段。对 E1 的每条线段重复这一过程得到 E2。归纳得到 Ek 和 Ek+1。当 k 充分大时,E k+1 与 Ek 只在精细的细节上不同。当 时,极限曲k线称为科契曲线,被人们用来做典型的海岸线模型,它可以刻画出真实海岸线的复杂性和粗糙程度。又如谢尔宾斯基垫的构造,数学过程简单描述为:在每步构造中都将前次的正三角形等分成 4 个小正三角形并去掉中间的一个,这一构造过程的极限图形是一曲线,称为谢尔宾斯基垫,如图 2
5、所示。另外一类就是自然界中的分形,如蜿蜒曲折的海岸线、云彩的形状等,其相似性并不是严格的,只是在一定的标度内才具有自相似性,它们具有统计意义下的自相似性,通常称为随机分形或无规则分形。因这种随机分形有比较复杂的表现形式,所以将其局部放大一定倍数不一定会简单地和整体完全重合。图 1 Koch 曲线 （李伯奎等 ,2004） 图 2 谢尔宾斯基垫片（李伯奎等,2004）（2）无标度性：在具有分形性质的物体上任选一局部区域,由于其自身具有自相似性,对它进行放大后,得到的放大图形会显示出原图的形态特性,即它的形态、内在的复杂程度、不规则形等各种特性,与原图相比均不会发生变化,如上面讨论的科契曲线的性质
6、,这种特性称为无标度性,又称为伸缩对称性。(李伯奎等,2004)分形维作为分形的标准量度，必然有它作为标准的经典模型维数自相似维数(Sel-f similar Dimension),豪斯道夫维数 (Hausdorff Dimension)，盒计数维数(Box-counting Dimension)，功率谱维数(Power spectrum Dimension)，结构函数法维数(Structure function Dimen-sion)。1）自相似维数(Sel-f similar Dimension)自相似维数的引入受到规则形体如线段、正方形、立方体的启发。如果把线段、正方形和立方体的边分成两
7、等份,这时线段是原来一半长度的两个线段,正方形被分成四个全等的小正方形,立方体则被分成八个全等的小立方体。也就是说,线段、正方形和立方体可被看成是由 2、4、8 个与整体相似的图形组成。2、4、8 个这些数字可以改写成 21、2 2、2 3,这里出现的指数分别与图形的欧氏维数与拓扑维数一致。一般地,若把某个图形的长度(或标度)缩小 1/r 时得到 N 个和原图形相似的图形 ,有 N=r-D,这里的指数 D 就具有维数的意义,称为自相似维数,用数学语言描述如下：如果一个集 F 由 m 个相等的且与 F 相似的部分组成,则称 F 为自相似集。若部分与F 的相似比为 r,则定义自相似维数为: D=-
8、log m/log r自相似维数只对严格自相似的均匀一致的线性分形集有意义,为了刻画更广泛的集类,需要引入更一般的维数 Hausdorff 维数。2）豪斯道夫维数(Hausdorff Dimension)其计算的基本原理为:分形集都遵循一定的标度律 000,即测度 M()随测量尺度 按照一种幂指数规律而变化,即M()正比 k将 M()和 在双对数坐标中作图,并进行最小二乘拟合得一直线,其斜率 K 与分形维数 D 之间有如下关系:D=f(K)采用不同的测度,对应的函数也不同,在后面将分别进行说明。3）盒计数维数(Box-counting Dimension)对于分形集 F,N()是覆盖 F 的直
9、径至多为 的集的个数,N()和 之间有幂律关系 :N()正比 k在双对数坐标中拟合的 log N()-log 直线的斜率 K 与分形维数 D 的关系为 D= 1-K盒维数是最简单也最明了的分形维数。在不同的标度下,用盒计数法来分析实际分形集的方法适用范围广,无论分形集是不连通的点集,还是曲线、曲面或立体都可用这一方法,除了自仿射分形。4）功率谱维数(Power spectrum Dimension)分形曲线若以功率谱 P()为测度,以频率 为尺度,则有P（) 正比 k 那么,所拟合的 log P()-log 直线的斜率 K 与 D 的关系为 D=(5+K)/2 功率谱法适合于自仿射分形曲线,但
10、在用于工程表面轮廓曲线的分维计算时,其幂律关系不很明显,误差较大,使用场合受到很大的限制。5）结构函数法维数(Structure function Dimen-sion)自相关函数(ACF)已经成为描述空间变量的最流行的方法。它毫无疑问地包含了有用的空间信息,然而当我们用 ACF 来研究已知形貌在磨损、变形或者某些类似过程中的变化时,许多变化由于集合平均而被掩盖着。如图 3 表示某一表面在磨损前后的轮廓形貌。图 4表示该表面未磨损轮廓和已磨损轮廓的自相关函数曲线,图中磨损几乎在整波长上出现,因而在自相关函数图中二者变化甚微是显然的。图 3 磨损前后的表面形貌比较（李伯奎等,2004）另外当从轮
11、廓扩展到表面时,尤其是要求三维描述各向异性结构时,自相关函数(ACF)也会出现问题了。标准化的自相关函数必须利用轮廓方差,但是对各个角度上的轮廓来说轮廓方差是不同的,而且在自协方差函数上出现奇异点。如果用表面方差标准化 ACF,那么在坐标原点会有奇异点,只有在相对于同一个中位面测量各轮廓时才会消除。以结构函数或者方差函数(SF)的方式来描述时就会消除这些问题,Sayles 和 Thomas( 1977)对于轮廓结构函数定义为CtdweSxZtEtSDjt )24(2)1()() 这个函数是描述任意空间距离 S 上高度差均方的期望值。对平稳结构来说它含有与 ACF 相同的信息,该函数的两个主要优
12、点是:它的意义不局限于平稳的情况,其次它不依赖于中位面。因此与中线有关的任何轮廓结构函数 SF 是表面结构函数 SF 的一个部分,这一性质 ACF 是不具备的。图 5 表示图 3 中的磨损和未磨损轮廓的结构函数 SF 曲线,从图中可以清晰地看到磨损和未磨损表面变化明显,表明了这种描述方法优于图 4 的自相关函数 ACF 方法。同时,拟合的 log S()-log 直线,其斜率 K 与 D 有关系为 D=(4-K)/2很多的研究表明,对于自仿射轮廓曲线,最具有意义的量就是结构函数,因此结构函数法特别适用于具有统计自仿射分形特征的工程表面轮廓曲线的分形维数计算,而机加工表面大多都具有自仿射分形的特
13、征。 （李伯奎等,2004）图 4 磨损(I) 和未磨损(II)轮廓的自相关函数（ 李伯奎等,2004）图 5 磨损和未磨损轮廓的结构函数（李伯奎等,2004）然而,理论只有与实践联系在一起才具有真实的意义,则在观察自然界中的具有统计自相似性的景象时,我们需要一些方法去计算它们的分数维,经过许多科学家研究与努力,大致总结出了以下的几种方法:1）量规法量规法的思路是使用不同长度的尺子去度量同一段曲线（以海岸线为例,海岸线的长度L(r)由尺子长度 r 和尺子测量的次数 N(r)来决定:L(r) = N(r)r当海岸线的弯曲程度、复杂程度不同,且尺子长度 r 也出现变化,那么被测海岸线的长度也必然出
14、现相应的变化,尺子长度越小,则所测得的海岸线长度值越接近被测海岸线长度的真实值。然而，随着尺子尺度的缩小，海岸线边上的各种小岛屿也就被纳入了测量的范围，所以,分形理论告诉人们,与传统的认知不一样的是,海岸线的长度更确切地来说是一个变量,它并不是描绘海岸线的一个完好的量度,而必须找到一个表征海岸线性质的客观量度,这就是分维数。根据 Mandelbrot 的研究,有下式成立:L(r) = Mr1-D式中,L(r)为被测海岸线的长度 ;r 为标度;M 为待定常数 ;D 为被测海岸线的分维数。对式(2)两边同取双对数,可得:Lg L(r) = (1-D)lg r+C式中,C 为待定常数;该式斜率值等于
15、 1-D,即分维数 D=1-K(该式的斜率值) 。 （朱晓华，2002）2）盒维数法将曲线用一边长等于 1 的方盒子覆盖,将此方盒分割成含有 2n 个小方盒的网格集,小方盒的边长为 2-n,用这个网格集覆曲线,统计出与相交的小盒子数量 M(n),则曲线的分形维数为(王东升等,1995)2log)(imnMD3）含量面积法如果把地球化学元素的数据记为x i, yi , zi , 其中x i , yi 代表地理位置, zi 代表元素含量, 则x i , yi , zi构成的曲面称为含量曲面. 先将含量曲面的投影平面用矩形网络分割为边长为 xy的矩形, 第k 个矩形记为a b c d , 这 4 个
16、点的投影高度为h ak , hbk , hck , hdk ( 即 4个点处元素的含量) , 选取含量尺度r , 当h ak ,hbk , hck , hdk均大于或等于r 时, 计算该投影网格对应的小曲面面积, 近似面积公式为 22222)(1 bkackbckddkak hyhxhyhxS 则整个投影网络对应在曲面上的覆盖总面积可近似为NkkrSrS1)(式中,N 是小矩形数目。当取不同的 r 值,将得到不同的 S（r） 。为了求出分维数D, 将观测数据 S( r1) , S(r 2)， ， ，S ( rn ) 和r 1, r2, , rn 绘在双对数坐标图上, 用最小二乘法进行分段拟合,
17、 求出斜率D 的估计量, 即为分维数。 （陈聆等，2004）为使含量-面积分形法所计算的结果更加精确,在估计的拐点两侧可适当加密分类的面积数。4）三角棱柱表面积法三角棱柱表面积法是通过比较在采用不同尺度观测图像“表面”时表面积的大小的变化情况来计算曲面的分形维数的一种方法。此方法利用栅格的4个角点(A、B、C、D )像素值来计算, 而中心点的像素值为这4 个角点像素平均值。中心点将栅格正方形分成4个三角形,分别计算这4个三角形的面积,4个三角形的面积之和即为栅格的表面积(图6)。改变栅格尺寸, 重复上述计算, 从而得到图像表面积与栅格尺度之间的关系, 即可计算出图像的分维。 （陈文凯等，201
18、0）图6 三角棱柱表面积法示意图（陈文凯等，2010）5)结构函数法将表面轮廓曲线视为一个时间序列z(x),则具有分形特征的时间序列能使其采样数据的结构函数满足(1D2)DCxZE242式中,EZ(x+)-Z(x) 2表示方差的算术平均值，t是数据间隔的任意选择值，即尺度标准。针对若干尺度t对轮廓曲线的离散信号计算出相应的差方的算术平均值,然后在对数坐标中得log EZ(x+)-Z（x) 2-logt 直线的斜率k,则分形维数D与斜率k的转换关系为D=2-k/2也就是说得到k值，就可以得到分形维数D。 （王建军等，2006）具有分形特征的是复杂系统,复杂程度可以用非整数维分数维来描述。各种不同
19、的分形维数是集合划分不同层次的层次标号,它们从不同的角度对集合进行层次的划分。分形维数 D 度量了系统填充空间的能力 ,它从测度论和对称理论方面刻画了系统的无序性,是描述复杂对象的最基本特征。比如豪斯道夫维数是描述点集规则与不规则的几何尺度,同时其整数部分反映出图形的空间状态。对于动力学系统,豪斯道夫维数大体上表示了独立变量的数目。在工程表面评价中已经证明分形维数是不受仪器精度和测量基准影响的重要指标;在材料科学中已经发现分形维数与材料的某些性质参数有关; 在化学领域,分形维数同催化剂的催化作用和选择性相关。在信号处理、地震的预报、石油的开采、生物生态学、经济因素的分析等方面,分形维数都有其独
20、特的含义。 （李伯奎等，2004）以上就是对于分形的一些了解,经过探讨,我们发现对于本次我们的课题长石环带中的微量元素的分析可以运用到分形中的盒维数法,通过盒维数法我们可以计算出北京周口店地区的房山岩体中的分数维,并推测出各种元素的大致分布,从而为后来者对于房山岩体的研究提供帮助。主要通过两种的盒维数法来计算分数维。1）剖面曲线的盒维数计算方法：通过我们已经获得的房山岩体的长石环带薄片上的各种元素的含量，我们将其制作成元素含量剖面曲线（如图7） ，并将元素含量剖面曲线嵌入平面空间，再将平面空间划分成边长为 a 的盒子，数出曲线所占据的盒子数Na，则曲线的长度L a可以近似表示为：L a=Na
21、a，然后改变盒子的边长为 b，数出曲线所占据的盒子数Nb，获得曲线的长度 Lb，如此改变盒子的边长计算下去。若将盒子的边长记为 r，则获得的结果满足如下关系：Lr=Nr r正比r 1-D式中D即为剖面曲线的分形维数，若将上式两边取对数，则有：lg N r=-D lg（r）+C（常数），则上述剖面曲线所获得的盒子数与所采用的盒子尺度在双对数坐标中将呈线性分布，从拟合直线的斜率（slope）即可获得剖面曲线的分维值（D = -slope） 。图7 湖南某地坞含量剖面曲线（龚庆杰等，2002）2)空间曲面的盒维数计算方法：将我们已知的各种元素的含量制作成元素含量空间曲面（如图8） ，再将曲面嵌入立体
22、空间，并将立体空间划分为边长为 a 的立方体盒子，数出曲面所占据的盒子数 N a，则曲面的面积A a可以近似表示为：A a=Naa2然后改变盒子的边长为 b，数出曲面所占据的盒子数 Nb，获得曲面的面积 Ab；如此类推计算下去。若将盒子的边长记为 r，则获得的结果满足如下关系：Ar=Nrr2正比（ r2） 2-D 式中 D 即为曲面的分形维数。上式两边取对数有：Lg A=lg（N rr2）=（2-D）lg（r 2）+C （常数）lg（N r）=（1-D）lg（r 2）+C（常数）则由上述曲面所获得的盒子数或面积与所采用的盒子面积在双对数坐标中将呈线性分布，从拟合直线的斜率（slope）即可获得
23、曲面的分维值（D） 。图 8 湖南某地钴含量空间曲面（龚庆杰等，2002）以上就是本阶段我的学习与阅读成果。参考文献龚庆杰，向运川，张荣华，韩东昱. 地球化学场分形维数的计算方法及其 C+函数实现.矿床地质 .2002.第 21 卷 增刊吴敏金. 关于分形的定义与分维的计算.华东师范大学学报( 自然科学版).1992.N0.3朱晓华. 海岸线分维数计算方法及其比较研究.黄渤海 海洋.2002.20(2) pp.3136周厚云,刁桂仪,郭国章.用海岸线分形计算方法对气候变化复杂性的初步研究.地球化学.1999.Vol.28, No.1李伯奎,杨 凯,刘远伟.分形理论及分形参数计算方法.2004王
24、建军,魏宗信.粗糙表面轮廓分形维数的计算方法.2006胡青华,肖晓林,曹圣华,吴明仁,冯国圣,熊伟.地球化学异常下限的含量-面积分形计算方法.东华理工大学学报(自然科学版).2011.Vol .34 No.12彭瑞东,谢和平,鞠杨.二维数字图像分形维数的计算方法.中国矿业大学学报.2004.Vol.33No.1琚正挺, 宣天鹏.分形计算方法及在材料表界面中的应用.稀有金属快报.2006.25 卷第 3 期聂笃宪,曾文曲,文有为.分形维数计算方法的研究.微机 发展.2004.第 14 卷 第 9 期陈瑜,张大千,尹健.分形在混凝土损伤表面的应用及其分数维的计算方法探讨.混凝土.2004.第 10 期(总第 180 期)孙忠军.矿产勘查中化探异常下限的多重分形计算方法.物探化探计算技术 .2007.第 29 卷 第 1 期陈云浩,郭达志,陶康华.热图象场的分形测量方法研究.中国图象图形学报.2000.第 5 卷(A 版) 第 1 期
