1、3.4.1 基本不等式的证明,第3章 3.4 基本不等式 (a0，b0),学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明. 2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小. 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 算术平均数与几何平均数,思考 如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQa，BQb，过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P，连结AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？,算术,几何,知识点二 基本不等式及其常见推论,思考辨析 判断正误,题型探究,例1 证明不等式a2b22ab(a，bR).,类型一 常见推论的证明,证明
2、,证明 a2b22ab(ab)20， a2b22ab.,证明 由例1，得a2b22ab， 2(a2b2)a2b22ab，,证明,反思与感悟 作差法与不等式性质是证明中常用的方法.,跟踪训练1 已知a，b，c为任意的实数，求证：a2b2c2abbcca.,证明,证明 a2b22ab；b2c22bc；c2a22ca， 2(a2b2c2)2(abbcca)， 即a2b2c2abbcca， 当且仅当abc时，等号成立.,类型二 用基本不等式证明不等式,证明,证明 x，y都是正数，,当且仅当xy时，等号成立.,证明,证明 x，y都是正数，,(xy)(x2y2)(x3y3),(2)(xy)(x2y2)(x
3、3y3)8x3y3.,即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3， 当且仅当xy时，等号成立.,反思与感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项： (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2)注意事项：多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.,跟踪训练2 已知a，b，c都是正实数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc.,证明,证明 a
4、，b，c都是正实数，,即(ab)(bc)(ca)8abc， 当且仅当abc时，等号成立.,类型三 用基本不等式比较大小,例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则x与 的大小关系为_.,答案,解析,解析 第二年产量为AAaA(1a)， 第三年产量为A(1a)A(1a)bA(1a)(1b). 若平均增长率为x，则第三年产量为A(1x)2. 依题意有A(1x)2A(1a)(1b)， a0，b0，x0，,解析 ab1，lg alg b0，,即RQ. 综合，有PQR.,答案,解析,PQR,达标检测,答案,1,2,3
5、,4,5,解析,解析 0ab，,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 对于，当x0时，无意义，故不恒成立； 对于，当x1时，x212x，故不成立； 对于，当x0时，不成立； 对于，x211，,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 因为a，b，c，d成等差数列，则adbc， 又因为a，b，c，d均大于0且不相等，,答案,解析,1,2,3,4,5,4.lg 9lg 11与1的大小关系是_.,lg 9lg 111,解析 lg 90，lg 110，,即lg 9lg 111.,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,当a3时，a296a，故不恒成立. 综上，恒成立的是.,规律与方法,2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.,
