1、章末复习,第3章 不等式,学习目标 1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识. 2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式. 3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用. 4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题. 5.会用基本不等式证明不等式，求解最值问题.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.“三个二次”之间的关系 所谓三个二次，指的是二次 图象与x轴的交点横坐标，即二次函数的零点；相应的一元二次 的实根；一元二次 的解集端点. 解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化. 2.规划问题 (1)规划问题的求解步骤 把问题要求转化
2、为约束条件； 根据约束条件作出可行域；,函数,不等式,方程,对目标函数变形并解释其几何意义； 移动目标函数寻找最优解； 解相关方程组求出最优解. (2)关注非线性 确定非线性约束条件表示的平面区域.可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域；,3.基本不等式 利用基本不等式证明不等式和求最值的区别 (1)利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件； (2)利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等.,思考辨析 判断正误,题型探究,例1 设不等式x22axa20的解集为M，如果M1,4，求实数a的取值范围.,类型一 “三个二次”之间的关系,解答,解 M1,4有两
3、种情况： 其一是M，此时0，下面分三种情况计算a的取值范围. 设f(x)x22axa2， 对方程x22axa20， 有(2a)24(a2)4(a2a2)， 当0时，1a2，M1,4，满足题意； 当0时，a1或a2. 当a1时，M1 1,4，不满足题意； 当a2时，M21,4，满足题意.,当0时，a2. 设方程f(x)0的两根为x1，x2，且x1x2， 那么Mx1，x2，M1,4等价于1x1x24，,反思与感悟 (1)“三个二次”之间要选择一个运算简单的方向进行转化. (2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想.,解析 因为ax26xa21，,跟踪训练1 若关于x的不等式ax26xa2
4、0的解集是(1，m)，则m_.,2,答案,解析,类型二 规划问题,解答,解 如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域.设l0：2xy0，l：2xyz，则z的几何意义是直线y2xz在y轴上的截距，显然，直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小. 上下平移直线l0，可得当l0过点A(5,2)时，zmax25212；当l0过点B(1,1)时，zmin2113.,反思与感悟 (1)因为最优解与可行域的边界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确. (2)线性目标函数的最值与纵截距不一定是增函数关系，所以要关注纵截距越大，z越大还是越小.,解答
5、,跟踪训练2 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小.,解 设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x2y)个，绘画标牌(2xy)个，总用料面积为z m2，所用原料的总面积为z3x2y，,作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.在一组平行直线3x2yz中， 经过可行域内的点A时，z取得最小值， 直线2xy5和直线x2y4的交点为A(2,1)， 即最优解为(2,1). 所以使用甲种规格原料2张，乙种规格
6、原料1张，可使总的用料面积最小.,类型三 利用基本不等式求最值,命题角度1 无附加条件型,解答,f(x)在0，)上的最大值是25.,(2)求f(x)在2，)上的最大值.,解答,当x2时，f(x)f(2)20. f(x)在2，)上的最大值为20.,反思与感悟 利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可.可以通过拼凑、换元等手段进行变形以求构造定值.如“相等”的条件不具备，可以考虑用函数的单调性求解.,解答,即x4时，y有最小值5.,命题角度2 有附加条件的最值问题 例4 函数ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10(mn0)上，则 的最小值为_.,4,答案
7、,解析,解析 ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A(1,1)， 点A在直线mxny10上， mn1，,反思与感悟 当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为命题角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值.,解答,达标检测,答案,解析,1,2,3,1,1,2,3,解析 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线ymxz(m0)与直线2x2y10重合，即m1时，目标函数zmxy取最大值的最优解有无穷多个.,答案,解析,1,2,3,13,答案,解析,1,2,3,4,当且仅当a(ab)1且ab1，,1.不等式的基本性质 不等式的性质是
8、不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的性质. 2.一元二次不等式的求解方法 对于一元二次不等式ax2bxc0(或0，0，0，0(或0，0)的解集.,规律与方法,3.二元一次不等式表示的平面区域的判定 对于在直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，实数AxByC的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0By0C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”.特别地，当C0时，常取原点作为特殊点. 4.求目标函数最优解的方法 通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在填空题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解.,5.运用基本不等式求最值时把握三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到.这三个条件缺一不可.,
