1、第一节 数列的概念与简单表示法,三年2考 高考指数: 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)； 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.,1.根据数列的递推关系求通项公式和已知前n项和Sn求an是高考考查的重点. 2.多在客观题中出现，属中档题目.,1.数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义 数列：按照_排列的一列数. 数列的项：数列中的_.,一定顺序,每一个数,(2)数列的分类,分类标准,类型,满足条件,项数,项与项间 的大小关系,有穷数列,无穷数列,递增数列,递减数列,常数列,项数_,项数_,an+1_an,an+1_an,an+1=an,其中 nN*,有限,
2、无限,(3)数列的通项公式 如果数列an的第n项与_之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.,序号n,【即时应用】 (1)思考：数列的通项公式是唯一的吗？是否每个数列都有通 项公式？ 提示:不唯一，如数列-1,1,-1,1，的通项公式可以是 an=(-1)n(nN*)，也可以是an= 有的数列没有通项 公式.,(2)判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“”或“”) 数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7.( ) 数列1,0，1，2与数列2，1,0,1是相同的数列.( ) 数列 的第k项为 .( ) 数列0,2,4,6,可记为2n.( ),【解析】由数列的定义可知
3、、错误；数列 的第k项为，故正确；数列0,2,4,6，的通项公式为an2n 2，故错.综上知，正确；,错误. 答案： ,(3)若数列an的通项公式为an= ,那么这个数列的最小项为_.,【解析】方法一：令f(x)= ,则f(x)= 在(0，+)上 是增函数，则数列an是递增数列. 故最小项为a1= . 方法二： an+1an. 数列an是递增数列，故a1= 为所求. 答案：,(4)数列9，99，999，的通项公式an=_. 【解析】9=10-1，99=102-1，999=103-1，, an=10n-1. 答案：10n-1,2.数列的递推公式 如果已知数列an的_(或_)，且任何一项an与它的
4、前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an=f(an-1)或an=f(an-1,an-2)，那么这个式子叫做数列an的递推公式.,第一项,前几项,【即时应用】 (1)已知数列an中，a11，an1 ，则a5_. (2)数列an满足a10，an+1an2n，则an的通项公式 an_. 【解析】(1)a11，,(2)由已知，an+1an2n， 故ana1(a2a1)(a3a2)(anan-1) 0242(n1)n(n1). 答案:(1) (2)n(n1),3.an与Sn的关系 若数列an的前n项和为Sn，则an=,S1,Sn-Sn-1,【即时应用】 (1)数列an的前n项和Sn
5、=n2+1,则an=_. (2)数列an的前n项和为Sn，且a1=1,Sn=nan,则an=_.,【解析】(1)当n=1时，a1=S1=2; 当n2时，an=Sn-Sn-1=(n2+1)-(n-1)2+1 =n2-(n-1)2=2n-1, 将n=1代入an=2n-1得a1=12. ,(2)当n2时，an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1, an=an-1(n2)，又a1=1, an=1 答案：(1) (2)1,由数列的前几项归纳数列的通项公式 【方法点睛】 求数列的通项时，要抓住以下几个特征 (1)拆项后的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)分式中分子、分母的特征； (4)各项符
6、号特征等，并对此进行归纳、联想.,【例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式. (1)-1,7,-13,19, (2)0.8,0.88,0.888, (3) 【解题指南】(1)从各项符号和各项绝对值的关系两方面考虑. (2)从考虑数列0.8,0.88,0.888,和数列0.9,0.99,0.999,的关系着手. (3)分子规律不明显，从考虑分子与分母的关系着手.,【规范解答】(1)符号可通过(-1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为 an=(-1)n(6n-5). (2)数列变为,(3)各项的分母分别为21，22，23，24，易看出第2，3，4项 的分子
7、分别比分母少3.因此把第1项变为原数列化为an=(-1)n,【反思感悟】1.解答本题(3)时有两处难点：一是项的符号，二是各项分子规律不明显.解答时从分子与分母的关系入手，是求解的关键.,2.归纳通项公式应从以下四个方面着手： (1)观察项与项之间的关系； (2)符号与绝对值分别考虑； (3)分开看分子、分母，再综合看分子、分母的关系； (4)规律不明显时适当变形.,【变式训练】根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式. (1)3,5,7,9，.(2)(3),【解析】(1)各项减去1后为正偶数, an=2n+1 (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23， 24，.(3)各
8、项负正相间，故通项公式中含有因式(-1)n，各项绝对值的 分母组成数列n,分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3. 即奇数项为2-1，偶数项为2+1.,【变式备选】根据数列的前4项，写出数列的一个通项公式. (1)2，5，8，11； (2)1，4，9，16. 【解析】(1)a1=31-1=2 a2=32-1=5 a3=33-1=8 a4=34-1=11 an=3n-1.,(2)a1=12=1 a2=22=4 a3=32=9 a4=42=16.an=n2.,已知Sn求an 【方法点睛】 已知Sn求an时应注意的问题 (1)应重视分类讨论思想的应用，分n=1和n2两种情况讨论；特别注意an=Sn
9、-Sn-1中需n2. (2)由Sn-Sn-1=an推得an,当n=1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”.,(3)由Sn-Sn-1=an推得an，当n=1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an=,【例2】已知数列an的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an. (1)Sn=2n2+3n；(2)Sn=3n+1. 【解题指南】解决本题的关键是明确通项公式an与前n项和Sn的关系，利用an= 进行求解.,【规范解答】(1)由题可知，当n=1时，a1=S1=212+31=5， 当n2时，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-2(n-1)2+3(n-1)=4n+1
10、. 当n=1时，41+1=5=a1,an=4n+1. (2)当n=1时，a1=S1=3+1=4， 当n2时， an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=23n-1. 当n=1时，231-1=2a1， an=,【反思感悟】解答此类题目易犯的错误是没有分n=1和n2两种情况求解，而是直接根据an=Sn-Sn-1求得an.,【变式训练】已知数列an的前n项和为Sn，求下列条件下数列的通项公式. (1)Sn=25n-2; (2)Sn=23n-1-1.,【解析】(1)当n=1时， a1=S1=25-2=8. 当n2时，an=Sn-Sn-1=25n-2-25n-1+2 =85n-1. 当n=1
11、时,851-1=8=a1，故an=85n-1.,(2)当n=1时，a1=S1=1, 当n2时，an=Sn-Sn-1=23n-1-1-(23n-2-1) =23n-1-23n-2=23n-2(3-1) =43n-2. 当n=1时，431-2= a1,故数列an的通项公式为：an=,由递推公式求数列的通项公式 【方法点睛】 1.“累加法”求an 已知a1且an-an-1=f(n)(n2)，可以用“累加法”，即an-an-1 =f(n),an-1-an-2=f(n-1),a3-a2=f(3),a2-a1=f(2). 所有等式左右两边分别相加，代入a1得an.,2.“累乘法”求an 已知a1且 ,可以
12、用“累乘法”， 即 所有等式左右两边分别相乘，代入a1得an. 【提醒】在求解出通项公式后，记得验证a1是否满足公式.,【例3】根据下列条件，确定数列an的通项公式. (1) (2)a1=1,nan+1=(n+1)an. 【解题指南】(1)求an-an-1，累加求和并验证n=1的情形. (2)求 ，累乘求积并验证n=1的情形.,【规范解答】(1)又a1=2适合上式，故an=2+lnn(nN*).,(2)a1=1,nan+1=(n+1)an,又a1=1适合上式,故an=n(nN*).,【互动探究】将本例(1)中“ ”改为 “ ”,如何求解？,【解析】当n=1时，a1=2也适合上式，故,【反思感悟
13、】解答此类题目应注意两个方面的问题：一是何时应用“累加”或“累乘”法，可从所给递推公式的结构上分析.二是如何“累加”或“累乘”，这是求通项公式an的关键，应注意对“累加”式或“累乘”式的变形.,【变式备选】求出满足条件a1=0,an+1=an+(2n-1)(nN*)的数列的通项公式. 【解析】由题意得，an-an-1=2n-3(n2),an=a1+(a2-a1)+ (an-an-1)=0+1+3+(2n-5)+(2n-3)=(n-1)2，又a1=0适合上式，所以数列的通项公式为an=(n-1)2.,【易错误区】忽视数列的项数n的范围致误 【典例】(2012大连模拟)已知数列an满足a1=33,
14、an+1-an=2n, 则 的最小值为_. 【解题指南】先用“累加法”求出an，再根据 的单调性求最 小值.,【规范解答】an+1-an=2n，an-an-1=2(n-1)， an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =(2n-2)+(2n-4)+2+33=n2-n+33(n2)， 又a1=33适合上式，an=n2-n+33， 令f(x)=x+ -1(x0),则f(x)=1- ， 令f(x)=0得x= .,当0 时，f(x)0， 即f(x)在区间(0， )上递减； 在区间( ，+)上递增.又5f(6)，当n=6时， 有最小值 答案：,【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析
15、与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：,1.(2012珠海模拟)设数列an的前n项和Sn=n2+n,则a7的值 为( ) (A)13 (B)14 (C)15 (D)16 【解析】选B.a7=S7-S6=(72+7)-(62+6)=14.,2.(2012清远模拟)数列 的第10项是( )【解析】选C.由已知得数列的通项公式 ,3.(2012梅州模拟)已知数列an，若a1=b(b0),an+1=,则能使an=b成立的n的值可能是( ) (A)14 (B)15 (C)16 (D)17 【解析】选C.a2= a4= ，故数列an是以3为周期的数列. a16=a1=b.,4.(2011浙江高考)若数列n(n+4)( )n中的最大项是第k项，则k=_.,【解析】由题意得不等式组解得 答案：4,
