1、高考大题增分专项四 高考中的立体几何,-2-,从近五年的高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,约占整个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.三视图、简单几何体的表面积与体积、点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式加以考查.着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.,-3-,题型一,题型二,题型三,题型四,1.在解决线线平行、线面平行问题,若题目中已出现了中点,则可考虑在图形中取中点,构成中位线进行证明. 2.要证线面平行,先在平面内
2、找一条直线与已知直线平行,再利用线面平行的判定定理证明. 3.要证线线平行,可考虑公理4或转化为线面平行. 4.要证线面垂直可转化为证明线线垂直,应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化. 5.用向量方法证明线线、线面平行或垂直的方法:设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为e1,e2,A,B,C分别为平面内相异三点(其中,l1与l2不重合,与不重合,l1不在内),则,-4-,题型一,题型二,题型三,题型四,(1)l1l2ab存在实数,使b=a(a0);l1l2abab=0. (2)l1ae1存在实数,使e1=a(a0);l1ae1=0存在非零实数1,2,使,-5-,题型一
3、,题型二,题型三,题型四,例1(2016山东,理17)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O的直径,FB是圆台的一条母线.(1)已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:GH平面ABC;,-6-,题型一,题型二,题型三,题型四,(1)证明设FC中点为I,连接GI,HI. 在CEF中,因为点G是CE的中点,所以GIEF. 又EFOB,所以GIOB. 在CFB中,因为H是FB的中点, 所以HIBC. 又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC. 因为GH平面GHI,所以GH平面ABC.,-7-,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)解法一连接OO,则OO平面ABC.又AB=BC,
4、且AC是圆O的直径,所以BOAC.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.,-8-,题型一,题型二,题型三,题型四,-9-,题型一,题型二,题型三,题型四,-10-,题型一,题型二,题型三,题型四,对点训练1如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,D是B1C1的中点. (1)证明:A1D平面A1BC; (2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.,-11-,题型一,题型二,题型三,题型四,答案：(1)证明 设E为BC的中点,由题意得A1E平面ABC,所以A1EAE. 因为AB=AC,所以AEBC.
5、 故AE平面A1BC. 由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DEB1B,且DE=B1B,从而DEA1A,且DE=A1A,所以A1AED为平行四边形. 故A1DAE. 又因为AE平面A1BC, 所以A1D平面A1BC.,-12-,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)解 (方法一)作A1FBD,且A1FBD=F,连接B1F. 由AE=EB= ,A1EA=A1EB=90,得A1B=A1A=4. 由A1D=B1D,A1B=B1B,得A1DB与B1DB全等. 由A1FBD,得B1FBD,因此A1FB1为二面角A1-BD-B1的平面角.,-13-,题型一,题型二,题型三,题型四,(方法二)以CB的中点
6、E为原点,分别以射线EA,EB,EA1为x轴,y轴,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Exyz,如图所示.,-14-,题型一,题型二,题型三,题型四,-15-,题型一,题型二,题型三,题型四,1.判定面面平行的四个方法: (1)利用定义:判断两个平面没有公共点. (2)利用面面平行的判定定理. (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行. 2.面面垂直的证明方法: (1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线. (2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角.,-16-,题型一,
7、题型二,题型三,题型四,-17-,题型一,题型二,题型三,题型四,例2如图,在几何体ABCDEF中,ABCD,AD=DC=CB=1,ABC=60, 四边形ACFE为矩形,平面ACFE平面ABCD,CF=1. (1)求证:平面FBC平面ACFE; (2)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90),试求cos 的取值范围.,-18-,题型一,题型二,题型三,题型四,(1)证明在四边形ABCD中,ABCD,AD=DC=CB=1,ABC=60,AB=2. AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 60=3. AB2=AC2+BC2,BCAC. 平面ACFE平面ABCD,
8、平面ACFE平面ABCD=AC,BC平面ABCD,BC平面ACFE. 又BC平面FBC,平面FBC平面ACFE.,-19-,题型一,题型二,题型三,题型四,-20-,题型一,题型二,题型三,题型四,-21-,题型一,题型二,题型三,题型四,对点训练2如图,已知在矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD的中点,沿AO将三角形AOD折起,使DB= ,如图.(1)求证:平面AOD平面ABCO; (2)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.,-22-,题型一,题型二,题型三,题型四,答案：(1)证明 在矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD的中点, AOD,BOC为等腰直角三角形,AOB=90,
9、即OBOA. 取AO中点H,连接DH,BH,又DB2=3,DH2+BH2=DB2,DHBH. 又DHOA,OABH=H,DH平面ABCO. 而DH平面AOD,平面AOD平面ABCO.,-23-,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)解 分别以OA,OB所在直线为x轴,y轴,O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,-24-,题型一,题型二,题型三,题型四,即x=y,x=z,令x=1,则y=z=1,n=(1,1,1). 设为直线BC与平面ABD所成的角,-25-,题型一,题型二,题型三,题型四,1.对命题条件的探索有三种途径: (1)先猜后证,即先观察与尝试给出探索条件再证明; (2)先通过命
10、题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性; (3)将几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件. 2.对命题结论的探索方法. 从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论.,-26-,题型一,题型二,题型三,题型四,例3已知正三角形ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B. (1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由. (2)求二面角E-DF-C的余弦值. (3)在线段BC上是否存在一点P,使APDE?如果存在,求出 的值;如果不存在
11、,请说明理由.,-27-,题型一,题型二,题型三,题型四,解(1)在ABC中,由E,F分别是AC,BC的中点,得EFAB,又AB平面DEF,EF平面DEF,所以AB平面DEF.(2)以点D为坐标原点,以直线DB,DC,DA分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,-28-,题型一,题型二,题型三,题型四,-29-,题型一,题型二,题型三,题型四,-30-,题型一,题型二,题型三,题型四,对点训练3如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.ABCD,ABBC,AB=2CD=2BC,EAEB. (1)求证:ABDE. (2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值.
12、(3)线段EA上是否存在点F,使EC平面FBD?若存在,求出 ;若不存在,请说明理由.,-31-,题型一,题型二,题型三,题型四,答案：(1)证明 取AB的中点O,连接EO,DO.因为EB=EA,所以EOAB. 因为四边形ABCD为直角梯形, AB=2CD=2BC,ABBC, 所以四边形OBCD为正方形, 所以ABOD.因为EODO=O, 所以AB平面EOD,所以ABED.,-32-,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)解 因为平面ABE平面ABCD,且EOAB,所以EO平面ABCD,所以EOOD. 故OB,OD,OE两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.因为三角形EAB为等腰直
13、角三角形, 所以OA=OB=OD=OE,设OB=1, 所以O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1).,-33-,题型一,题型二,题型三,题型四,-34-,题型一,题型二,题型三,题型四,-35-,题型一,题型二,题型三,题型四,-36-,题型一,题型二,题型三,题型四,例4如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,直线PD与底面ABCD所成的角等于30,PF=FB, EBC,EF平面PAC.(2)求二面角P-DE-A的余弦值; (3)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值.,-37-,
14、题型一,题型二,题型三,题型四,解(1)平面PBC平面PAC=PC,EF平面PBC, EF平面PAC,EFPC. 又F是PB的中点,(2)以A为坐标原点,分别以AD,AB,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, PA=AB=1,PA底面ABCD, 直线PD与底面ABCD所成的角为PDA=30,-38-,题型一,题型二,题型三,题型四,-39-,题型一,题型二,题型三,题型四,-40-,题型一,题型二,题型三,题型四,对点训练4如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(1)证明:BEDC; (2)求直线B
15、E与平面PBD所成角的正弦值; (3)若F为棱PC上一点,满足BFAC,求二面角F-AB-P的余弦值.,-41-,题型一,题型二,题型三,题型四,解 由题意易知AP,AB,AD两两垂直,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).,-42-,题型一,题型二,题型三,题型四,-43-,题型一,题型二,题型三,题型四,-44-,1.线面、线线垂直与平行的位置关系在面面平行与垂直位置关系的证明中起着承上启下的桥梁作用,依据线面、面面位置关系的判定定理与性质定理进行转化是解决这类问题的关键.证明面面平行主要依据判定定理,证明面面垂直时,关键是从现有直线中找一条直线与其中一个平面垂直,若图中不存在这样的直线应借助添加中线、高线等方法解决. 2.用空间向量解决立体几何问题时,要根据情况建立空间直角坐标系,建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征,尽量寻找三条互相垂直且交于一点的直线,若找不到,要想法去构造.用空间向量解决的主要立体几何问题有平行、垂直、求角、求距离等.,
