1、高考大题增分专项三 高考中的数列,-2-,从近五年高考试题分析来看,高考数列解答题主要题型有:等差、等比数列的综合问题;证明一个数列为等差或等比数列;求数列的通项及非等差、等比数列的前n项和;证明数列型不等式.命题特点是试题题型规范、方法可循、难度稳定在中档.,-3-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,突破策略一 公式法 对于等差、等比数列,求其通项及求前n项的和时,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可.,-4-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,例1已知等差数列an的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列. (1
2、)求an的通项公式; (2)求a1+a4+a7+a3n-2. 解(1)设an的公差为d.由题意, =a1a13, 即(a1+10d)2=a1(a1+12d). 于是d(2a1+25d)=0. 又a1=25,d=-2(d=0舍去).故an=-2n+27. (2)令Sn=a1+a4+a7+a3n-2. 由(1)知a3n-2=-6n+31, 故a3n-2是首项为25,公差为-6的等差数列.,-5-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,对点训练1在等比数列an中,已知a1=2,a4=16. (1)求数列an的通项公式. (2)若a3,a5分别为等差数列bn的第4项和第16项,试求数
3、列bn的通项公式及前n项和Sn.,-6-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,突破策略二 转化法 无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形、整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.,-7-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,例2已知等比数列an的前n项和为Sn,a1=3,且3S1,2S2,S3成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=log3an,求T2n=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+b2n-1b2n-b2nb2n+1.,解(1)3S1,2S2,S3成等差数
4、列,4S2=3S1+S3. 4(a1+a2)=3a1+(a1+a2+a3),即a3=3a2. 公比q=3.an=a1qn-1=3n. (2)由(1)知,bn=log3an=log33n=n, b2n-1b2n-b2nb2n+1=(2n-1)2n-2n(2n+1)=-4n, T2n=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+(b2n-1b2n-b2nb2n+1),-8-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,对点训练2设an是公比大于1的等比数列,Sn为数列an的前n项和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)令bn=
5、ln a3n+1,n=1,2,求数列bn的前n项和Tn.,-9-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,-10-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,突破策略一 定义法用定义法证明一个数列是等差数列,常采用的两个式子an-an-1=d(n2)和an+1-an=d,前者必须加上“n2”,否则n=1时a0无意义;用定义法证明一个数列是等比数列也常采用两个式子,-11-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,(1)求a1,a2; (2)求数列an的通项公式,并证明数列an是等差数列; (3)若数列bn满足an=log2bn,试证明数列bn是等比
6、数列,并求其前n项和Tn.,(2)当n2时,an=Sn-Sn-1= 3 2 n2-(n-1)2+ 7 2 n-(n-1)= 3 2 (2n-1)+ 7 2 =3n+2. 又a1=5满足an=3n+2,故an=3n+2. 因为an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(nN*), 所以数列an是以5为首项,3为公差的等差数列.,-12-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,-13-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,对点训练3(2016河北衡水中学模拟)设数列an的前n项和为Sn,且首项a13,an+1=Sn+3n(nN*). (1)求证Sn-3
7、n是等比数列; (2)若an为递增数列,求a1的取值范围.,(1)证明 an+1=Sn+3n, Sn+1-Sn=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n. Sn+1-3n+1=2(Sn-3n). a13,数列Sn-3n是公比为2,首项为a1-3的等比数列.,-14-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,(2)解 由(1)得,Sn-3n=(a1-3)2n-1, 即Sn=(a1-3)2n-1+3n, 故当n2时,an=Sn-Sn-1=(a1-3)2n-2+23n-1. an为递增数列, 当n2时,an+1an,即(a1-3)2n-1+23n(a1-3)2n-2+23n-1. 当n2
8、时,a1-9. a2=a1+3a1, a1的取值范围是(-9,+).,-15-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,突破策略二 递推相减化归法 对已知数列an与Sn的关系,证明an为等差或等比数列的问题,解题思路为:由an与Sn的关系递推出n为n+1时的关系式,两关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.,-16-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,例4已知数列an的前n项和为Sn,Sn=(m+1)-man对任意的nN*都成立,其中m为常数,且m-1. (1)求证:数列an是等比数列; (2)记数列an的公比为q,设q=f(m),若数列bn
9、满足(3)在(2)的条件下,设cn=bnbn+1,数列cn的前n项和为Tn,求证:Tn1.,-17-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,证明(1)当n=1时,a1=S1=1. Sn=(m+1)-man, Sn-1=(m+1)-man-1(n2), 由-,得an=man-1-man(n2), 即(m+1)an=man-1. a10,m-1,an-10,m+10.,-18-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,-19-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,对点训练4设数列an的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(nN*)
10、,其中m为常数,且m-3. (1)求证:an是等比数列;,证明 (1)由(3-m)Sn+2man=m+3, 得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3, 两式相减,得(3+m)an+1=2man.an是等比数列.,-20-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,-21-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,突破策略一 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,即和式两边同乘以等比数列的公比,然后作差求解.,-22-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,例5
11、(2016山东,理18)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且an=bn+bn+1. (1)求数列bn的通项公式;解(1)由题意知当n2时,an=Sn-Sn-1=6n+5, 当n=1时,a1=S1=11,符合上式. 所以an=6n+5.设数列bn的公差为d.可解得b1=4,d=3,所以bn=3n+1.,-23-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,又Tn=c1+c2+cn, 得Tn=3222+323+(n+1)2n+1, 2Tn=3223+324+(n+1)2n+2, 两式作差,得 -Tn=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2所以Tn=3
12、n2n+2.,-24-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,对点训练5已知等差数列an的前3项和为6,前8项和为-4. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=(4-an)qn-1(q0,nN*),求数列bn的前n项和Sn.,(1)设等差数列an的公差为d.故an=3+(n-1)(-1)=4-n.,-25-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,-26-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,突破策略二 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.利用裂项相消法求和时,要注意抵消后所剩余的项是
13、前后对称的.,-27-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,-28-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,-29-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,对点训练6(2016山西忻州一中、临汾一中等四校联考)在等差数列an中,a2=5,a5=11,数列bn的前n项和Sn=n2+an. (1)求数列an,bn的通项公式;,-30-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,-31-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,策略一,策略二,-32-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,突破策略 放缩法 要证明关于一个数列的
14、前n项和的不等式,一般有两种思路:一是先求和再对和式放缩;二是先对数列的通项放缩再求数列的和,必要时对其和再放缩.,-33-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-34-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,对点训练7(2016山东潍坊二模)已知等比数列an满足an+1+an=104n-1,数列bn的前n项和为Sn,且bn=log2an. (1)求bn,Sn;,-35-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-36-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,突破策略 存在顺推法 求解数列中的存在性问题,先假设所探求对象存在,再以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假
15、设不成立,即不存在.若推不出矛盾,则得到存在的结果.,-37-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,例8已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数. (1)证明:an+2-an=; (2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由. 答案：(1)证明因为anan+1=Sn-1,所以an+1an+2=Sn+1-1. 两式相减,得an+1(an+2-an)=an+1. 因为an+10,所以an+2-an=.,-38-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(2)解：由题设,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1. 由(1)知,a3=+1. 令2a2
16、=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4. 由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,即an+1-an=2. 因此存在=4,使得数列an为等差数列.,-39-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,对点训练8若an是各项均不为零的等差数列,公差为d,Sn为其前的前n项和. (1)求an和Tn; (2)是否存在正整数m,n(1mn),使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出所有m,n的值;若不存在,请说明理由.,-40-,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,-41-,题型一,
17、题型二,题型三,题型四,题型五,-42-,1.解决等差、等比数列的综合问题时,重点在于读懂题意,灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题,求解这类问题要重视方程思想的应用;用好等差数列和等比数列的性质可以降低运算量,减少差错. 2.求数列的通项公式就是求出an与n的关系式,无论条件中的关系式含有哪些量,一般都需要通过消元、转化和化归的思想使之变为等差、等比数列. 3.高考对数列求和的考查主要是:等差、等比数列的公式求和;能通过错位相减法转化为等比数列求和;裂项相消法求和;分组或合并后转化为等差、等比数列求和.,-43-,4.证明数列为等差数列或等比数列主要依据定义,尽管题目给出的条件多种多样,但一个总体目标是把条件转化成 与an的差或比为一定值. 5.数列与不等式的综合问题 (1)数列不等式的证明要把数列的求和与放缩法结合起来,灵活使用放缩法. (2)证明数列不等式也经常转化为数列和的最值问题,同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用.,
