1、高考大题增分专项一 高考中的函数与导数,-2-,从近五年的高考试题来看,高考对函数与导数的考查,已经从直接利用导数的正负讨论函数的单调区间,或利用函数单调性求函数的极值、最值问题,转变成利用求导的方法证明不等式,探求参数的取值范围,解决函数的零点、方程根的问题,以及在某不等式成立的条件下,求某一参数或某两个参数构成的代数式的最值.,-3-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,突破策略一 差函数法 证明函数不等式f(x)g(x),可证f(x)-g(x)0,令h(x)=f(x)-g(x),或令h(x)为f(x)-g(x)表达式的某一部分,利用导数证明h(x)min0;如果h(x)没有最
2、小值,那么可利用导数确定出h(x)的单调性,即若h(x)0,则h(x)在(a,b)上是增函数,同时若h(a)0,则当x(a,b)时,有h(x)0,即f(x)g(x).,-4-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-5-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-6-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-7-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-8-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-9-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,对点训练1已知函数f(x)=ax+ln x,函数g(x)的导函数g(x)=ex,且g(0)g(1
3、)=e,其中e为自然对数的底数. (1)若x(0,+),使得不等式 成立,试求实数m的取值范围; (2)当a=0时,对于x(0,+),求证:f(x)g(x)-2.,-10-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-11-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-12-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,突破策略二 求最值法 求最值法证明函数不等式,一般依据表达式的组成及结构有两种不同的证明方法: (1)要证f(x)h(x),可令(x)=f(x)-h(x),只需证明(x)min0. (2)要证f(x)h(x),可证f(x)minh(x)max;要证f(x)m,可
4、将该不等式转化为g(x)h(x)的形式,然后再证明g(x)minh(x)max. 选用哪种方式,要看哪种方式构造出的函数的最值易求.,-13-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-14-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,又kZ,k的最大值为2. 当k2时,由ln x+2-k0,解得xek-2,由ln x+2-k0(k2)恒成立,求k的最大值. 令h(x)=3x-ex-2,于是h(x)=3-ex-2. 当x2+ln 3时,h(x)0,h(x)单调递增. h(x)在x=2+ln 3处取得最大值. 1ln 32, 32+ln 34.,-15-,题型一,题型二,题型三,策
5、略一,策略二,策略三,-16-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-17-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求a,b; (2)证明:f(x)1.,-18-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-19-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,所以当x(0,1)时,h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0时,g(x)h(x),即f(x)1.,-20-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,突破策略三 寻求导函数零点法 若使用策略一或策略二解答时,遇到令f(x)=0,但无法解出导函数的零点x0时,
6、可利用函数零点存在性定理,试出导函数在区间(a,b)内的零点x0,再判断导函数在区间(a,x0),(x0,b)的正负情况,从而判断f(x)在x0处取得最值,求出最值并通过对最值的处理消去x0使问题得到解决.,-21-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-22-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,(2)证明由(1),可设f(x)在(0,+)的唯一零点为x0,当x(0,x0)时,f(x)0. 故f(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,+)内单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).,-23-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,
7、对点训练3设函数f(x)=ax-2-ln x(aR). (1)若f(x)在点(e,f(e)处的切线为x-ey+b=0,求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间; (3)若g(x)=ax-ex,求证:当x0时,f(x)g(x).,-24-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-25-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-26-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,当x0时,f(x)g(x).,-27-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,突破策略一 分离参数法 已知不等式在某一区间上恒成立,求参数的取值范围,一般先分离参数,再转化为求函数在给定
8、区间上的最值问题求解.即f(x)g(k)f(x)ming(k),f(x)g(k)f(x)maxg(k).,-28-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,例4(2016福建四地六校联考)已知a为实数,函数f(x)=aln x+x2-4x. (1)是否存在实数a,使得f(x)在x=1处取得极值?证明你的结论;,-29-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-30-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-31-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,对点训练4已知函数f(x)=aln x+bx(a,bR)在点(1,f(1)处的切线方程为x-2y-2=0.
9、 (1)求a,b的值;,-32-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-33-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-34-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,突破策略二 分类讨论法 当不等式中的参数无法分离,或含参不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时,应用分类讨论的方法来处理,分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素,为问题的解决提供新的条件.因此,求参数的范围转换成了讨论参数在哪些范围能使不等式成立.,-35-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,例5设函数f(x)=emx+x2-mx. (1)证明:f(x)在(-,0)内单调递
10、减,在(0,+)内单调递增; (2)若对于任意x1,x2-1,1,都有|f(x1)-f(x2)|e-1,求m的取值范围.,(1)证明f(x)=m(emx-1)+2x. 若m0,则当x(-,0)时,emx-10,f(x)0. 若m0,f(x)0. 所以,f(x)在(-,0)内单调递减,在(0,+)内单调递增.,-36-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,(2)解由(1)知,对任意的m,f(x)在-1,0上单调递减,在0,1上单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值. 所以对于任意x1,x2-1,1,|f(x1)-f(x2)|e-1的充要条件是设函数g(t)=et-t-e+1,则g(
11、t)=et-1. 当t0时,g(t)0. 故g(t)在(-,0)内单调递减,在(0,+)内单调递增. 又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e1时,由g(t)的单调性,g(m)0,即em-me-1; 当m0,即e-m+me-1. 综上,m的取值范围是-1,1.,-37-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,对点训练5(2016陕西西安八校联考)已知函数f(x)=m(x-1)ex+x2(mR). (1)若m=-1,求函数f(x)的单调区间; (2)若对任意的xf(x)恒成立,求m的取值范围.,解 (1)当m=-1时,f(x)=(1-x)ex+x2,则f(x)=x(2-ex). 由f
12、(x)0得0ln 2, 故函数f(x)的单调递增区间为(0,ln 2),单调递减区间为(-,0),(ln 2,+).,-38-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,因为x0. 令h(x)=mex-x-m,则h(x)=mex-1, 当m1时,h(x)ex-1h(0)=0,符合题意; 当m1时,h(x)在(-,-ln m)内单调递减,在(-ln m,0)内单调递增, 所以h(x)min=h(-ln m)h(0)=0,不符合题意. 综上所述,m的取值范围为(-,1.,-39-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,突破策略三 分别求函数最值法 若两边变量不同的函数不等式恒成立,
13、求不等式中的参数范围,常用分别求函数最值求解.即 若对x1I1,x2I2,f(x1)g(x2)恒成立,则f(x)ming(x)max. 若对x1I1,x2I2,使得f(x1)g(x2),则f(x)ming(x)min. 若对x1I1,x2I2,使得f(x1)g(x2),则f(x)maxg(x)max.,-40-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-41-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-42-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-43-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-44-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-45
14、-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,当m0时,f(x)0时,由f(x)=0,解得x=2m. 令f(x)0,解得0x2m,此时函数f(x)单调递增; 令f(x)0,解得2mx,此时函数f(x)单调递减. 此时函数f(x)的单调递增区间为(0,2m),单调递减区间为(2m,+).,-46-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-47-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-48-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,突破策略一 求导与数形结合法 研究函数零点或方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,并借助函数的大致图象判断
15、函数零点或方程根的情况.其基本的思路为:(1)构造函数,并求其定义域;(2)求导数,得单调区间和极值点;(3)通过数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.,-49-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,例7已知函数f(x)=(x2-3x+3)ex的定义域为-2,t(t-2). (1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在-2,t上为单调函数;,解(1)f(x)=(x2-3x+3)ex+(2x-3)ex=x(x-1)ex,由f(x)0,得x1或x0; 由f(x)0,得0x1. 故f(x)在(-,0,1,+)上单调递增,在(0,1)上单调递减,若使f(x)在-2,t上为单
16、调函数,则需-2t0,即t的取值范围为(-2,0.,-50-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,-51-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,对点训练7已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2. (1)求a; (2)证明:当k1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.,(2)证明 由(1)知f(x)=x3-3x2+x+2,设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4, 由题设知1-k0.当x0时,g(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)单调递增, g(-1)=k-10,所以g(x)=0在(
17、-,0有唯一实根. 当x0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)xh(x).,-52-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,h(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+)内单调递增,所以g(x)h(x)h(2)=0, 所以g(x)=0在(0,+)内没有实根. 综上,g(x)=0在R有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.,-53-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,突破策略二 分类讨论法 1.如果函数中没有参数,那么可以直接一阶求导得出函数的极值点,判断极值点大于0和小于0的情况,进而判断函数零点
18、的个数; 2.如果函数中含有参数,那么一阶导数的正负往往不好判断,这时要对参数进行分类,在参数小的范围内判断导数的符号.如果分类也不好判断,那么需要对一阶导函数进行再次求导,在判断二阶导数的正负时,也可能需要分类. 3.分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素,为问题的解决提供新的条件.,-54-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,-55-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,-56-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,由于x0(从右侧趋近0)时,f(x)+;x+时,f(x)+,所以f(x)有两个零点. 当00,f(x)为增函数; x(a,1)时,f(x)0,f(x)为增函
19、数. 所以f(x)在x=a处取到极大值,f(x)在x=1处取到极小值.当0a1时,f(a)0,即当x(0,1)时,f(x)0. 而f(x)在x(1,+)时为增函数,且x+时,f(x)+. 所以此时f(x)有一个零点.,-57-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,-58-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线; (2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.,-59-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,-60-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,-61-,题
20、型一,题型二,题型三,策略一,策略二,-62-,1.常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题;将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题;将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等. 2.关于二次求导问题:(1)在讨论函数单调性时,如果导函数值的符号不容易确定,那么一般是对导函数再次求导判断出导函数的单调性,通过导函数的零点来确定导函数值的符号,从而判断出原函数的单调性;(2)利用求导的方法可求出某一函数的最值,如果求出的最值仍然是含有变量的表达式,那么再确定这一表达式的最值时仍然需要求导.,-63-,3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)的最小值;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)的最大值. 4.所求问题如何转化成能利用导数解决的问题是关键.直接利用导数解决的问题一个是函数的单调性,一个是函数的极值或最值,所以应将具体问题通过等价转换(或构造函数),使所求问题转化成与单调性或函数的极值、最值有关的问题.,
