1、5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a= .其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 .把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解.,不共线,1e1+2e2,基底,互相垂直,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点作 =a,由平面向量基本定理可知
2、,有且只有一对实数x,y,使得 =xi+yj,因此a=xi+yj,我们把实数对 叫作向量a的坐标,记作a= .,(x,y),(x,y),-4-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.平面向量的坐标运算 (1)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 = . (2)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= , a-b= ,a= ,(x2-x1,y2-y1),(x1+x2,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),(x1,y1),-5-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,
3、4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab .,x1y2-x2y1=0,-6-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.向量的夹角 已知两个 向量a和b,作 则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90,我们说a与b垂直,记作 .,非零,ab,2,-7-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. ( ) (2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变. ( ) (3)在ABC中,向量 的夹角为ABC. ( ) (4)已知向量a,b是一组基底,若
4、实数1,1,2,2满足1a+1b=2a+2b,则1=2,1=2. ( ) (5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件可表示成 ( ),答案,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4),答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.(2016山东昌乐二中模拟)已知a=(1,2),b=(x,1),若a与a-b共线,则实数x=( ),答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且ab,则m= .,答案,解析,-11-,知识梳
5、理,双基自测,2,3,4,1,5,5.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .,答案,解析,-12-,考点1,考点2,考点3,例1(1)如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2 C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与2e1+6e2 (2)在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD,-13-,考点1,考点2,考点3,(3)设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示
6、为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2= . 思考用平面向量基本定理解决问题的一般思路是什么?,答案,-14-,考点1,考点2,考点3,-15-,考点1,考点2,考点3,(3)由题意, 设e1+e2=ma+nb. 因为a=e1+2e2,b=-e1+e2, 所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2) =(m-n)e1+(2m+n)e2. 由平面向量基本定理,-16-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再通过向量的加、减、数
7、乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.,-17-,考点1,考点2,考点3,答案,-18-,考点1,考点2,考点3,-19-,考点1,考点2,考点3,例2(1)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量 A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2) (2)已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若 =-3a,则点N的坐标为( ) A.(2,0) B.(-3,6) C.(6,2) D.(-2,0) 思考利用向量的坐标运算解决问题的一般思路是什么?,答案,解析,-20-,考点1,考点2,考点3,解题心得向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘
8、运算法则进行的.解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.,-21-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)在ABCD中,AC为一条对角线,若A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4) (2)(2016东北三省四市二模)已知向量a=(2,-1),b=(0,1),则|a+2b|=( ),答案,解析,-22-,考点1,考点2,考点3,例3(1)(2016湖北武昌区五月调考)已知点P(-1,2),线段PQ的中点M的坐标为(1,-1).若向量 与向量a=(,1)共线,则= . (2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量
9、p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,则角C的大小为 . 思考向量共线有哪几种表示形式?两个向量共线的充要条件有哪些作用?,答案,-23-,考点1,考点2,考点3,-24-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.向量共线的两种表示形式 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),aba=b(b0);abx1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用. 2.两个向量共线的充要条件的作用 判断两个向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.,-25-,考点1,考点2,考点3,答案,解析,
