1、考点突破,夯基释疑,考点一,考点三,考点二,例 1,训练1,例 2,训练2,例 3,训练3,第 7 讲 立体几何中的向量方法(二) 求空间角,概要,课堂小结,夯基释疑,考点突破,解 (1)因为PA底面ABCD， 所以PACD 又ADCD， 所以CD平面PAD， 从而CDPD,考点一 求异面直线所成的角,利用空间向量求解,考点突破,(2)法一 如图1，取PB中点F，连接EF，AF， 则EFBC，从而AEF(或其补角)是异面直线 BC与AE所成的角 在AEF中，,考点一 求异面直线所成的角,F,则AEF是等腰直角三角形，,图1,利用空间向量求解,考点突破,法二 如图2，建立空间直角坐标系，,考点一
2、 求异面直线所成的角,图2,利用空间向量求解,考点突破,考点一 求异面直线所成的角,考点突破,解 如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立 空间直角坐标系Dxyz，,考点一 求异面直线所成的角,考点突破,考点二 利用空间向量求直线与平面所成的角,【例2】(2014北京卷)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H. (1)求证：ABFG； (2)若PA底面ABCDE，且PAAE.求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长,(1)证明 在正方形AMDE 中，因为B是AM的中点， 所以AB
3、DE. 又因为AB平面PDE， 所以AB平面PDE. 因为AB平面ABF， 且平面ABF平面PDEFG， 所以ABFG.,考点突破,考点二 利用空间向量求直线与平面所成的角,【例2】(2014北京卷)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H. (1)求证：ABFG； (2)若PA底面ABCDE，且PAAE.求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长,(2)解 因为PA底面ABCDE， 所以PAAB，PAAE. 如图建立空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C
4、(2，1，0)， P(0，0，2)，F(0，1，1)，,设平面ABF的法向量为n(x，y，z)，则,令z1，则y1. 所以n(0，1，1),考点突破,考点二 利用空间向量求直线与平面所成的角,【例2】(2014北京卷)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H. (1)求证：ABFG； (2)若PA底面ABCDE，且PAAE.求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长,设直线BC与平面ABF所成角为，,即(u，v，w2)(2，1，2)， 所以u2，v，w22.,设点H的坐标为(u，v，
5、w),考点突破,考点二 利用空间向量求直线与平面所成的角,【例2】(2014北京卷)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H. (1)求证：ABFG； (2)若PA底面ABCDE，且PAAE.求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长,因为n是平面ABF的法向量，,即(0，1，1)(2，22)0.,考点突破,规律方法 利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与
6、平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角,考点二 利用空间向量求直线与平面所成的角,考点突破,(1)证明 平面ABD平面BCD， 平面ABD平面BCDBD， AB平面ABD，ABBD， AB平面BCD 又CD平面BCD， ABCD (2)解 过点B在平面BCD内作BEBD，如图 由(1)知AB平面BCD， BE平面BCD，BD平面BCD， ABBE，ABBD,【训练2】 (2014福建卷)在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD，将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图(1)求证：ABCD； (2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值,
7、考点二 利用空间向量求直线与平面所成的角,E,考点突破,以B为坐标原点，,【训练2】 (2014福建卷)在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD，将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图(1)求证：ABCD； (2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值,考点二 利用空间向量求直线与平面所成的角,的正方向建立空间直角坐标系 依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)， D(0，1，0)，A(0，0，1)，,E,考点突破,【训练2】 (2014福建卷)在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD，将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BC
8、D，如图(1)求证：ABCD； (2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值,考点二 利用空间向量求直线与平面所成的角,取z01， 得平面MBC的一个法向量为n(1，1，1) 设直线AD与平面MBC所成角为，,设平面MBC的法向量为n(x0，y0，z0)，,E,考点突破,(1)证明 ED平面ABCD，AD平面ABCD， EDAD 又四边形ABCD为正方形， 因此ADCD EDCDD， AD平面CDEF. 由于CF平面CDEF， ADCF. 又AFCF，AFADA 故CF平面ADF.,考点三 利用空间向量求二面角,【例3】(2014广东卷)如图，四边形ABCD为正方形，PD平面AB
9、CD，DPC30，AFPC于点F，FECD，交PD于点E. (1)证明：CF平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值,考点突破,(2)解 如图所示，建立空间直角坐标系， 点D为坐标原点，设DC1. 由于DPC30，PDCD，,考点三 利用空间向量求二面角,【例3】(2014广东卷)如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，DPC30，AFPC于点F，FECD，交PD于点E. (1)证明：CF平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值,由于CFFD，FECD，,从而D，A，C，F，E五点的坐标分别为 D(0，0，0)，A(0，0，1)，C(0，1，0)，,考点突破,设平面AEF的法向量为
10、n1(x1，y1，z1)，,考点三 利用空间向量求二面角,【例3】(2014广东卷)如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，DPC30，AFPC于点F，FECD，交PD于点E. (1)证明：CF平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值,由于CF平面ADF，,由图可见所求二面角的余弦值为,考点突破,规律方法 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角,考点三 利用空间向量求二面角,考点突破,(1)证明 由题意，以B为坐标原点，在平面 DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC
11、所在 直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的 直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系,【训练3】 (2014辽宁卷)如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点 (1)求证：EFBC；(2)求二面角EBFC的正弦值,考点三 利用空间向量求二面角,考点突破,(2)解 平面BFC的一个法向量为n1(0，0，1) 设平面BEF的法向量n2(x，y，z)，,【训练3】 (2014辽宁卷)如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点(2)求二面角EBFC的正弦值,考点三 利用空间向
12、量求二面角,设二面角EBFC大小为，且由题意知为锐角，,1利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算,思想方法,课堂小结,2合理建立空间直角坐标系 (1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同. (2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点 (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系,(1)异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角,易错防范,课堂小结,(2)二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补,（见教辅）,
