1、数学物理方法总结第一章 复变函数 复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式: 和(cosin)zize欧拉公式:1sin)2co(iziizie柯西-黎曼方程(或称为柯西- 黎曼条件): (其中 f(z)=u+iv)uxyv函数 f(z)=u+iv 在点 及其领域上处处可导,则称 f(z)在 点解析.在区域 B 上每一0z 0z点都解析,则称 f(z)是在区域 B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数 f(z)=u+iv 在区域 B 上解析,则 (12(,),()uxyCvxy为常数) 是 B 上的两组正交曲线族.12,C2.若函数在区域 B 上解析,则 u,v 均为 B 上的调和函
2、数,即20uvxy例题: 已知某解析函数 f(z)的实部 ,求虚部和这个解析函数 .2(,)xy解答: 由于 =2; =-2;则2ux2vy20uv曲线积分法 =2x; =-2y.根据 C-R 条件有: =2y; =2x.vxy于是 ;2dvyxd(,0) (,)0(,)(,0)22)x xyxyCyddxyCy凑全微分显式法 由上式可知 2dvyxd则易得 (2)dvxy则显然 C不定积分法 上面已有 =2y; =2xvxy则第一式对 y 积分,x 视为参数,有 .2()()xxy上式对 x 求导有 ,而由 C-R 条件可知 ,2()vy0从而 .故 v=2xy+C.()C22()fzxyi
3、xziC第二章 复变函数的积分单连通区域柯西定理 如果函数 f(z)在闭单连通区域 上解析,则沿 上任意一分段B光滑闭合闭合曲线 l(也可以是 的边界),有 .()0lfzdA复连通区域柯西定理 如果 f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则.式中 l 为区域外边界线,诸 为1()()0inl lifzdfzdAil区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即.1()()inl lifzfz柯西公式 1()2lfdiAn 次求导后的柯西公式 () 1!()2nnlffzdiz第三章 幂级数展开幂级数 20102000()()().().k kk kazazzaz其中 , , , ,都是复常数
4、.123比值判别法(达朗贝尔判别法 ) 1.若有 11010limlikkkazaz则 收敛,2010200kkaz绝对收敛.20102000()()().()k kk kazazz若极限 存在,则可引入记号 R, ,于是,若 ,则1lim/k 1limkaR0R绝对收敛.20102000()()().()k kk kazazzz2.若 ,则后项与前项的模之比的极限R,即说明1101limlikkkazaR发散.20102000()()().()k kk kzzzaz 例题: 求幂级数 的收敛圆,z 为复变数.246.解答: 由题意可得1limkaR故 ( ).24621.zz泰勒级数展开 设
5、 f(z)在以 为圆心的圆 内解析,则对圆内的任意 z 点,f(z)可展为0zRC幂级数, ,其中00()()kkfaz,1()0102()!RnkkCffadizA为圆 内包含 z 且与 同心的圆.1RR例题: 在 的领域上将 展开0z()fe解答: 函数 的各阶导数 ,而 .()zfe()nzfe()()01kkff则 在 的领域上的泰勒展开z0.23401!kkzzzze 双边幂级数 2120110.()()().aaaz洛朗级数展开 设 f(z)在环形区域 的内部单值解析,则对环域上的201Rz任一点 z,f(z)可展为幂级数 .其中0()()kkfaz,101()2kkCfadizA
6、积分路径 C 为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.例题 1: 在 的环域上将 展为洛朗级数.z2()/)f解答: 2222460111.kkzzz例题 2: 在 的领域上将 展为洛朗级数.0 2()/)f解答: 由题意得 211()fzz则有 z-1 的-1 次项,而( )01()122kkkzzz 12故 .0()()24kkkfz第四章 留数定理留数定理 设函数 f(z)在回路 l 所围区域 B 上除有限个孤立奇点 , , 解析,1b2n在闭区域 上除 , , 外连续,则B1b2n.11()2Re()2njl jfzdisfbiaA其中, .1 1()lim()()!j mm
7、j jzbdaf zbfz 推论 1: 单极点的留数为 .0elizsff推论 2: 若 f(z)可以表示为 P(z)/Q(z)的特殊形式,其中 P(z)和 Q(z)都在 点解析,0z是 Q(z)的一阶零点( ). ,则0z0()Qz0()Pz.0 000)()Re)limli() z zzPzsf Q上式最后一步应用了罗毕达法则.留数定理的应用类型一 .作自变量代换 .则式子变为20(cos,in)xd ixze.111,2zzIRiA例题: 计算 .20cosdx解答: ,2 1201 14(2)z zddIi izAZ 的单极点为 .1,2463z则 ,2231Re(3)lim()43z
8、 is z由于 不在圆 内.故 .21I类型二 .积分区间是 ;复变函数 f(z)在实轴上没有奇点,在上半平()fxd(,)面除了有限个奇点外是解析的;当 z 在上半平面及实轴上 时,zf(z)一致地 .则式子可以变为0f(z)在上半平面所有奇点的留数之和.()2Ifxi例题: 计算 .21dx解答: 的单极点为 .zI1,2zi,故 .Re()lim()zsfi21dx类型三 , ,积分区间是 ;偶函数 F(x)和奇0coFxd0sinGx0,函数 G(x)在实轴上没有奇点 ,在上半平面除了有限个奇点外是解析的; 当 z在上半平面或实轴上 ,F(z)及 G(z)一致地 .则式子可以变为;0(
9、)cs() imxxiFe在 上 半 平 面 所 有 奇 点 的 留 数 之 和.iniGd在 上 半 平 面 所 有 奇 点 的 留 数 之 和若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有.()2Re()e()fxdisfzisfz在 上 平 面 实 轴 上其中,在类型三中 f(x)应理解为 或 .imzFxixG第五章 Fourier 变换傅里叶级数 周期为 2l 的函数 f(x)可以展开为级数.01()(cossin)kkxxfxabll其中, , = .()sinlklkfdlkbk2(0)1注: 积分上下限只要满足 上 -下=2l 即可.复数形式的傅里叶级数 ()kxilkfxce其中
10、 .*1()2kxillkfd傅里叶积分 00()()cossinfxAxdB傅里叶变换式 1()()cosinAfdB复数形式的傅里叶积分 *1()()2ixixfxFedf傅里叶变换的性质(1) 导数定理 Ff(x)=iwF(w)(2) 积分定理 F =()xfd1()Fwi(3) 相似性定理 Ff(ax)= a(4) 延迟定理 F =0()fx0()iwxe(5) 位移定理 F =iwe0f(6) 卷积定理 若 F = ,F = ,则1()fx12()fx2F * = .21w其中 称为 和 的卷12()()fxfxd1()fx2f积.函数 .()x0) .()bad(,0,)1ab)都
11、 或 都函数的一些性质1. 是偶函数.()x()()x2. .()()xHtd01()x3. .00ftft第六章 Laplace 变换拉普拉斯变换 0()()ptfpfed拉普拉斯变换的一些性质(1) 线性定理 若 , ,则11()ftfA22()tfA.21ccp(2) 导数定理 .()()0ftpf(3) 积分定理 L .0tdA(4) 相似性定理 .1()()pfatf(5) 位移定理 .teffA(6) 延迟定理 .00()()ptte(7) 卷积定理 若 , ,则11ff22()tfpA,2()*()t其中 称为 和 的卷积.1120()tfftd1()ft2ft第七章 数学物理定
12、解问题(1) 均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为 或 或20txua20tua.230tua(2) 扩散方程,热传导方程的形式为 或 .2tx2t(3) 稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程).0u(4) 以上方程中 意为 , 意为 .若以上各方程均为有源 ,则方程为 各方程xux2u=f(x,y,z,t).定解条件初始条件 初始”位移” ,0(,)()tuxyzxyz初始”速度” .tt边界条件 第一类边界条件 (,)(,)rfMt第二类边界条件 ,uftn第三类边界条件 ()(,)H
13、ft衔接条件 00(,),uxtxt.(T 为张力)()(xxTuFt达朗贝尔公式 定界问题达朗贝尔公式 .11(,)()()()22xattatxtd其中 , .0tu0t第八章 分离变数法泛定方程 (若该方程可以使用分离变量法,则可以化成20txua).2()()TtXa在不同的边界条件下解不同.()()0Xx边界条件(1) , X(x)的解为 其中 n=1,2,3()0Xl2()sinnlXxCxl(2) , X(x)的解为 其中 k=0,1,2(0)Xl21()()()cosnnklXxCxl(3) , X(x)的解为 其中 k=0,1,2(0)Xl21()()()sinnklXxCx
14、l(4) , X(x)的解为 其中 n=0,1,2(0)Xl2()cosnnlxxlT(t)的方程在有 n 且 n=0 时的解为 ;TtAB在 时的解为0;()sicosaaTtAtBtll在有 k 的情况下为.(21)(21)()inktttll初始条件 将 u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确定 u(x,t)中的常数项.欧拉型常微分方程 . 解法为做代换 .220dRmte第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题拉普拉斯方程 0u(1) 球坐标系下 .222 2111()(sin)0i sinuur r分解为 其解为 .2()0RlRr 1()llCDr和 (球方程, )211
15、(sin)(1)isiYl(,)(Y球方程又可以分离为 其中有 ,其方程解(02为 其中 m=0,1,22()cosinmABm和 (连带勒让德方程).2 21(1)0dxlxx(2) 柱坐标系下 .分解为211()0uuz其中有 ,其方程解为 ()0() 其中 m=0,1,22()cosinmABm和 和 .0Z221()0dRR当 时,Z=C+Dz, ;()ln/(1,23.)mEF当 时, ,方程 R 转换为0zzZCeD( ,m 阶贝塞尔方程).22()0dRxxx当 时, ,方程 R 转换为0)cossinZzzz( ,m 阶虚宗量贝塞尔方程).22()0dxxmx亥姆霍兹方程 .2
16、0vk在 的领域上 l 阶勒让德方程的解为 其中0x01()yxay2 40 2()1()(13.!4!24.).().() klllyxk xk3 51 21()21()4.!5!2).(2.).klllyxxkl lxk第十章 球函数高次项 的系数 (在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为lx2)!lla,则 .则勒让德多项式2()1kkaal22()!(1)!2lnlnl为 . = ./2 20(!()!)lk lkl lkPxxl/()1ll为 偶 数为 奇 数1o()csx223)(cos21)4P31()553s8xx4240)(c420os9)86勒让德多项式是正交的例题 1: 以勒让德多项式为基,在区间-1,1上把 f(x)= 展开为广义傅里34x叶级数.解答: =324x0123()()()()fPxffPf= 15xxAA则有 , , , .02f13f20f3f故有 = .34x014()()()5PxPx例题 2: 在半径 的球的内部求解拉普拉斯方程使满足边界条件 .0r 02cosru解答: 边界条件与 无关,故选择球坐标 ,则有.10(,)()(coslllBurArP又有自然边界条件 故 .则有0ru有 限 0l.0(,)(cos)llur而 ,则 02 20201()()()3lrlArPxPx.2001(,)(cos)(cos)3llur
