1、第八章 动态规划问题及求解 81 多阶段决策问题 动态规划是解决这样一类最优化问题的专门计算方法，这类问题允许把它的过程（求解）分解为一系列的单级过程（步骤）。,最优化原理：达到系统某种状态的过程无论是怎样的，以这个状态为初始状态的剩余过程的求解仍是最优的规划。也就是说，当系统处于第,个状态时，只要最优,规划剩余的,个过程，便可逐步求出,时的,最优解。,为了方便讨论动态规划的求解过程，我们把动态规划,问题化分为下面几个过程：,阶段（stage）：把问题恰当的分为若干个相互联系,的阶段；,2状态（State）:它是表示某段的出发位置，是某支路,的起点，又是前一段某支路的终点。第,个阶段的状态,变
2、量,应该包含前各阶段决策过程的全部信息，且之后,作出的决策与之前的状态和决策无关。,3决策（Decision）:是指某阶段初从给定的状态出发,决策者所作出的选择，决策变量,表示第,个阶段,状态为,时对方案的选择。决策允许范围记为,，,4策略（Policy）:即决策序列。,个阶段动态规划问题,的策略可记为,，当,时，,表示从,阶段开始到最后的决策,序列。,5状态转移方程：表明后一阶段和前一阶段之间的,阶段状态和决策给定之后，第,关系。当第,阶段状态就确定了，记为,6.指标函数：阶段指标函数-对应于某一阶段状态和从该,状态出发的决策的某种指标度量。第,阶段指标函数记,为,；过程指标函数-从某阶段开
3、始到最后,过程的指标度量。记为,，最优策略值记为,7动态规划基本方程：过程指标函数是各阶段指标函数,的函数。,82 动态规划问题的解法例1设某仓库有12人巡逻守卫，负责4个要害部位，对每个部位可分别派2到4人巡逻，由于巡逻人数不同，各部位预期在一段时间内可能造成的损失也不一样，具体数字见下表。问该卫队应往各部位分别派多少人巡逻才能使预期损失最小？,把12人派往4个部位看作4个阶段（k=1,2,3,4），每个阶段初可派遣的人数是前面阶段决策的结果，也是本阶段决策的依据。用 表示第,个阶段的状态变量，用,表示第,个阶段的决策变量（即在该阶段派出的,人数，显然,），各阶段可允许的决策集合,状态转移方
4、程为,用,表示第,个阶段派出的巡逻人数为,时，在该部位的预期损失值,过程指标函数,由于,用,表示从第,个阶段到结束时预期损失值，,（1）先考虑D部位,（2）先考虑C，D部位,由于,，所以,（3）先考虑B，C，D部位,由于,，所以,（4）先考虑A，B，C，D部位,由于,，所以,由此可见，A，B，C，D四个部位应分别派4人，2人，,2人，4人，预期损失值为97。,例5求从A点到G点的最段路线,解：从A到G分六个阶段：A-B,B-C,C-D,D-,E,E-F,F-G,（1）第六阶段F-G最短路,例2,（2）第五阶段E-G最短路,（3）第四阶段D-G最短路,（4）第三阶段C-G最短路,（5）第二阶段B
5、-G最短路,（6）第一阶段A-G最短路,所以最短路是：A-B1-C2-D1-E2-F2-G,最短路长为18。,例3求下列非线性规划问题,解：要求,的值，我们分三个阶段，,分别为第1，2，3阶段的决策变量。,设状态变量为,，显然,阶段指标函数,第三阶段,2第二阶段,3第一阶段,所以,最优值为,例4 设备平行分配某公司根据国家计划的安排拟将某种设备5台分给甲乙丙三个厂,各厂获得这种设备每年可向国家提供的利润如下表:,解:分3个阶段,甲第3厂,乙-第2厂,丙-第1厂设 为第 k 厂获得的台数为 台设备分配给第 k 个厂所得利润.表示当前 k状态下的已分的设备总数表示当前状态下 台设备所得的最大利润
6、第一阶段,考虑丙厂(k=1),第2阶段,考虑乙,丙厂(k=2),第3阶段,考虑甲,乙,丙厂(k=3),有两种分配方案:总最大利润21 方案1:甲0,乙2,丙3 方案2:甲2,乙2,丙1,第九章 LINGO8.0编程介绍 LINGO程序的背景及应用 美国芝加哥(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980年前后开发, 后来成立 LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.）， 网址：http:/ LINDO: Linear INteractive and Discrete Optimizer (V6.1)LINGO: Linear INteractive Gener
7、al Optimizer (V8.0) LINDO API: LINDO Application Programming Interface (V2.0) Whats Best!: (SpreadSheet e.g. EXCEL) (V7.0) 目前的产品有：演示(试用)版、学生版、高级版、超级版、工业版、扩展版 （求解问题规模和选件不同）,LINDO和LINGO软件能求解的优化模型,LINGO模型的优点 包含了LINDO的全部功能 提供了灵活的编程语言（矩阵生成器） LINGO模型的构成：4个段 目标与约束段（MODEL： END） 集合段（SETS： ENDSETS） 数据段（DATA：
8、ENDDATA） 初始段（INIT： ENDINIT）,例1：编一个LINGO程序求解下列线性规划问题的最优解,程序 model: max =1.15*x41+1.4*x23+1.25*x32+1.06*x54;x11+x14=10000;-1.06*x14+x21+x23+x24=0;-1.15*x11-1.06*x24+x31+x32+x34=0;-1.15*x21-1.06*x34+x41+x44=0;-1.15*x31-1.06*x44+x54=0;x23=30000;x32=40000; End 运行结果： Global optimal solution found at itera
9、tion: 2Objective value: 14840.00,Variable Value Reduced CostX41 0.000000 0.6739130E-01X23 10600.00 0.000000X32 0.000000 0.4043478E-01X54 0.000000 0.000000X11 0.000000 0.000000X14 10000.00 0.000000X21 0.000000 0.000000X24 0.000000 0.3213913E-01X31 0.000000 0.7143478E-01X34 0.000000 0.000000X44 0.0000
10、00 0.9379130E-01Row Slack or Surplus Dual Price1 14840.00 1.0000002 0.000000 1.484000,3 0.000000 1.400000 4 0.000000 1.290435 5 0.000000 1.217391 6 0.000000 1.060000 7 19400.00 0.000000 8 40000.00 0.000000,例2：编一个LINGO程序求解下列线性规划问题的最优解,程序一 model: max =120*x1+108*x2+150*x3+190*x4+160*x5+200*x6+98*x7;10
11、0*x1+98*x2+130*x3+160*x4+130*x5+170*x6+88*x7=1;x6+x7=1;bin(x1); bin(x2); bin(x3); bin(x4); bin(x5); bin(x6); bin(x7); End,程序二 model:sets:AA/17/:x,b,c;endsetsdata:b=120,108,150,190,160,200,98;c=100,98,130,160,130,170,88;enddata max =sum(AA(j):b(j)*x(j);sum(AA(j):c(j)*x(j)=1;x(6)+x(7)=1; bin(x(1); bin
12、(x(2); bin(x(3); bin(x(4); bin(x(5); bin(x(6); bin(x(7); End,运行结果： Global optimal solution found at teration: 0 Objective value: 918.0000 Variable Value Reduced CostX1 1.000000 -120.0000X2 0.000000 -108.0000X3 1.000000 -150.0000X4 1.000000 -190.0000X5 1.000000 -160.0000X6 1.000000 -200.0000X7 1.0000
13、00 -98.00000,Row Slack or Surplus Dual Price1 918.0000 1.0000002 822.0000 0.0000003 0.000000 0.0000004 1.000000 0.0000005 1.000000 0.000000,例3：编一个LINGO程序求解下列线性规划问题的最优解,目标函数,约束条件,程序 model:SETS:T/A1,A2/: tt;Endsets init:x11=10;x21=13; endinit min =max(T(j):tt(j);x11+x21=50;x12+x22=30;x13+x23=45;tt(1)=
14、4*x11+10*x12+10*x13;tt(2)=6*x21+8*x22+20*x23; End,运行结果： Global optimal solution found at iteration: 1Objective value: 486.0000Variable Value Reduced CostX11 9.000008 0.1886861E-08X21 40.99999 0.000000X12 0.000000 4.666667X22 30.00000 0.000000X13 45.00000 0.000000X23 0.000000 3.333333TT( A1) 486.0000
15、 0.000000TT( A2) 486.0000 0.000000,91 函数的应用在LINGO编程中，为了使程序更加简明，可阅读性，LINGO中提供了一类函数的命令集，主要有if, sum, max, min, for, bin, gin, bnd,free等，应用这些函数可以使程序变得很简明，下面介绍这些函数的应用。if：-用于分段函数的编程格式：if（A，B，C）含义：条件A成立时，取B，否则取C,例1,LINGO的编程如下： F=if(x1#GE#0#and#x1#LE#70,-505,124);,例2,引入决策0-1变量,则,LINGO的编程如下： g11=if(x1#GT#0#A
16、ND#x1#LE#70,1,0); g12=if(x1#GT#70#AND#x1#LE#120,1,0); g13=if(x1#GT#120#AND#x1#LE#150,1,0); g14=if(x1#GT#150#AND#x1#LE#190,1,0); f1=-g11*505+124*g12+252*g13+489*g14;,sum：-用于循环求和函数的编程格式：sum（A:B）含义：A表示求和的变量及范围，B表示单项表达式。,例3,LINGO的编程如下： Model:Sets:Var/120/:c,x;Endset w=sum(Var(I): c(I)*x(I); end,例4,LINGO
17、的编程如下： Model:Sets:Var1/120/:a;Var2/115/:b;Var(Var1,Var2):c,x;,Endset w=sum(Var(I,J): c(I，J)*x(I,J); end,for：-用于循环函数的编程格式：for(A:B）含义：A表示循环的变量及范围，B表示单项表达式。,例5,其中,均为0或1,LINGO的编程如下： Model:Sets:Var1/120/:a;Var2/115/:b;Var(Var1,Var2):c,x;Endset w=sum(Var(I,J): c(I，J)*x(I,J); for(Var(I,J): BIN(x(I,J); end,
18、例6,求,LINGO的编程如下： Model:Sets:Var1/15/:II; Var2/14/:JJ; Var3/13/:KK; Link1(Var2,Var1):A; Link2(Var1,Var3):B; Link3(Var2,Var3):C;Endsets Data: A=1,1,1,2,0,2.3,3.4,4.5,2.3,2.1,1.5,1.8,2.5,2.7,3.7,2.6,2.9,2.5,3.1,1.1; B=2,2.6,2.5,2,3.5,2.9,2,2.3,2.7,2,3.1,2.1,2,5.2,3.2;Enddata,for(Link3(I,J):C(I,J)=sum(V
19、ar1(K):A(I,K)*B(K,J); end,max, min：-用于求最大，最小函数的编程 格式：max(A:B), min(A:B）含义：A表示循环的变量及范围，B表示单项表达式。,例7,求C中最大和最小的元素。,LINGO的编程如下： Model:Sets:Var1/15/:II; Var2/14/:JJ; Var3/13/:KK; Link1(Var2,Var1):A; Link2(Var1,Var3):B; Link3(Var2,Var3):C;Endsets Data: A=1,1,1,2,0,2.3,3.4,4.5,2.3,2.1,1.5,1.8,2.5,2.7,3.7,2
20、.6,2.9,2.5,3.1,1.1; B=2,2.6,2.5,2,3.5,2.9,2,2.3,2.7,2,3.1,2.1,2,5.2,3.2;Enddata M=max(Link3(I,J):sum(Var1(K):A(I,K)*B(K,J); N=min(Link3(I,J):sum(Var1(K):A(I,K)*B(K,J); end,bnd：-用于边界限制函数的编程 格式：bnd(A1,B,A2)含义：A1,A2表示边界1，边界2，B表示变量。,例8,例9用LINGO编写“求下列各点到T的最短路”的程序,model: SETS: ! CITIES表示由19组成的集合，是一个基本集合;C
21、ITIES /19/: L; !属性L(i)表示城市i到城市1的最优行驶路线的路长;ROADS(CITIES, CITIES)/ ! ROADS表示网络中的弧，是由CITIES派生的集合;9,6 9,7 9,8 !由于并非所有城市间都有道路直接连接，所以将弧具体列出;6,4 6,5 7,4 7,5 8,4 8,54,2 4,3 5,2 5,32,1 3,1/: D; !属性D( i, j) 是城市i到j的直接距离（已知）; ENDSETS,DATA:D = ! D赋值的顺序对应于ROADS中的弧的顺序;6 3 36 5 8 6 7 46 7 8 9,5 6; ENDDATAL(1) = 0;
22、!边界条件; FOR( CITIES( i)| i #GT# 1: !集合循环语句, #GT#表示逻辑关系“大于“;L( i) = MIN( ROADS( i, j): D( i, j) + L( j) !这就是动态规划基本方程;); end,Feasible solution found at iteration: 0Variable Value L( 1) 0.000000 L( 2) 5.000000 L( 3) 6.000000 L( 4) 11.00000 L( 5) 13.00000 L( 6) 17.00000 L( 7) 19.00000 L( 8) 17.00000 L( 9) 20.00000,
