1、第 12 讲 反比例函数及其图象陕西中考说明陕西20122014年中考试题分析考点归纳 考试要求 年份 题型 题号 分值 考查内容 分值比重考点 1 反比例函数的概念及表达式的确定能根据已知条件确定反比例函数表达式 考点 2 反比例函数的图象及性质1.能画出反比例函数的图象；2.根据反比例函数的图象和解析表达式ykx(k0)理解并探索其性质(k0 或k0 时，图象的变化)2014 填空题 15 3根据反比例函数图象上的两点坐标，求反比例函数的表达式2013 填空题 15 3正比例函数与反比例函数的交点的对称性2012 填空题 15 3写出反比例函数与一次函数图象无交点时的解析式2.5%陕西近三
2、年中考对本节内容的考查主要为反比例函数的图象与性质，题型为填空题，且稳定在第 15 题，分值为 3 分，考查难度上近三年相对较大，常常是两个函数图象结合考查，综合性较强预计在 2015 年的中考中，反比例函数仍是陕西中考的必考内容，其中反比例函数的图象和性质仍是填空题考查的重点内容1概念：函数_y (k 为常数 ，k0) _叫做反比例函数；反比例函数的自变量 x 不kx能为 0.2图象：反比例函数的图象是双曲线，不与两坐标轴相交的两条双曲线3性质(1)当 k0 时，其图象位于_第一、三象限_，在每个象限内 ，y 随 x 的增大而_减小_；(2)当 k0 时，其图象位于_第二、四象限_，在每个象
3、限内 ，y 随 x 的增大而_增大_；(3)其图象是关于原点对称的中心对称图形，又是轴对称图形4反比例函数 y (k0，k 为常数) 中比例系数 k 的几何意义kx(1)如图，过反比例函数上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN 所得矩形 PMON的面积 SPMPN |x|y|xy| ，y ，xyk，S_|k|_kx(2)计算与双曲线上的点有关的图形面积SAOP|k|2 S矩形 OAPB|k| SAPP12|k|(P，P 1关于原点对称)5.反比例函数解析式的确定(1)确定反比例函数表达式的方法是_待定系数法_(2)用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤是：设所求的反比例函数为
4、y (k0) ；kx根据已知条件列出含 k 的方程；解方程求出待定系数 k 的值；把 k 代入函数表达式 y 中即可kx一个模型反比例函数关系在生产、生活、科技等方面广泛应用，解决这类问题的关键是将实际问题数学化，建立反比例函数的模型，然后利用反比例函数的性质、图象解决问题注意：反比例函数的图象反映的变化规律明显，常利用它的图象找出解决问题的方案一个思想数形结合思想就是把图形与数量关系巧妙、和 谐地结合起来 ，使数学问题更直观、更容易解决这一思想在这一讲中 应用非常广泛例如借助函数的图象比较大小等两个防范(1)反比例函数中，y 随 x 的大小而变化的情况，应分 x 0 与 x0 两种情况讨论，
5、而不能笼统地说成“k0 时，y 随 x 的增大而增大” 双曲线上的点在每个象限内，y 随 x 的变化是一致的，但在不同象限内的两个点比较函数值的大小时，当 k0 时，第一象限内的点的纵坐标都为正，而第三象限内的点的纵坐标值都为负；当 k0 时，第二象限内的点的纵坐标值都为正，而第四象限内的点的纵坐标值都为负(2)在比较大小时，不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支 组成的( 分别在不同的两个象限) ，在不同的象限是不能用它的性 质来判断的，而是要分别讨论运用反比例函数的性质时，要注意在每一个象限内的要求1(2014陕西)已知 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)是同一个反比例函数图象
6、上的两点，若x2x 12，且 ，则这个反比例函数的表达式为_y _1y2 1y1 12 4x2(2013陕西)如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数 y 的图象交 A(x1，y 1)，6xB(x2，y 2)，那么(x 2x 1)(y2y 1)值为_24_3(2012陕西)在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y2x6 的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是_y (只要 y 中的 k 满足18x kxk 即可) _(只写出符合条件的一个即可)92待定系数法确定反比例函数解析式【例 1】 (2014广安)如图，反比例函数 y (k 为常数， 且 k0) 经过点 A(1，3)
7、kx(1)求反比例函数的解析式；(2)在 x 轴正半轴上有一点 B，若AOB 的面积为 6，求直线 AB 的解析式解：(1)反比例函数 y (k 为常数，且 k0)经过点 A(1，3) ，3 ，解得kx k1k3，反比例函数的解析式为 y3x(2)设 B(a，0)，则 BOa ，AOB 的面积为 6， a36，解得 a4，B(4，0)，12设直线 AB 的解析式为 ykxb，经过 A(1，3) 、B(4， 0)， 解得3 k b，0 4k b， )直线 AB 的解析式为 yx4k 1，b 4， )【点评】 反比例函数表达式中只有一个待定系数 ，由一对已知对应值即可确定函数解析式，而一次函数中有
8、两个待定系数，要求出其系数，需要已知两对对应值1(2014襄阳)如图，一次函数 y1x2 的图象与反比例函数 y2 的图象相交于kxA，B 两点 ，与 x 轴相交于点 C.已知 tanBOC ，点 B 的坐标为(m，n)12(1)求反比例函数的解析式；(2)请直接写出当 xm 时，y 2 的取值范围解：(1)作 BD x 轴于点 D，如图，在 RtOBD 中，tan BOC ， ，BDOD 12 nm 12即 m2n，把点 B(m，n)代入 y1x2 得 nm 2，n2n2，解得n2，m4，B 点坐标为(4，2)，把 B(4，2) 代入 y2 得 k4 (2)8，反比例函数kx解析式为 y2
9、(2)当 x4，y 2 的取值范围为 y20 或 y228x反比例函数与几何图形的综合【例 2】 (2014德州)如图，双曲线 y (x0) 经过OAB 的顶点 A 和 OB 的中点kxC，ABx 轴， 点 A 的坐标为(2 ，3)(1)确定 k 的值；(2)若点 D(3，m)在双曲线上，求直线 AD 的解析式；(3)计算OAB 的面积解：(1)将点 A(2，3)代入解析式 y ，得 k6kx(2)将 D(3，m)代入反比例解析式 y ，得 m 2，点 D 坐标为(3，2)，设直线6x 63AD 解析式为 ykxb，将 A(2，3) 与 D(3，2)代入得 解得 k1，b5，则2k b 3，3
10、k b 2， )直线 AD 解析式为 yx5(3)过点 C 作 CNy 轴，垂足为点 N，延长 BA，交 y 轴于点 M，ABx 轴，BMy 轴， MB CN， OCN OBM，C 为 OB 的中点，即 ，OCOB 12( )2，A，C 都在双曲线 y 上，S OCN S AOM 3，由 ，S OCNS OBM 12 6x 33 S AOB 14得到 SAOB 9，则AOB 面积为 9【点评】 本题主要考查反比例函数知 识的综合运用，关键是利用待定系数法，数形结合的思想来解决此类题目，当然要熟练掌握反比例函数的性质及图象特征2(1)(2014深圳 )如图，双曲线 y 经过 RtBOC 斜边上的
11、点 A，且满足 ，与kx AOAB 23BC 交于点 D， SBOD 21，求 k_8_(2)(2014玉林)如图，OABC 是平行四边形，对角线 OB 在 y 轴正半轴上，位于第一象限的点 A 和第二象限的点 C 分别在双曲线 y 和 y 的一支上，分别过点 A，C 作 xk1x k2x轴的垂线，垂足分别为点 M 和 N，则有以下的结论： ；AMCN |k1|k2|阴影部分面积是 (k1k 2)；12当 AOC90时，|k 1|k 2|；若 OABC 是菱形，则两双曲 线既关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称其中正确的是(把所有正确的结论的序号都填上 )试题 已知 yy 1y 2，y 1 与
12、 x2 成正比例，y 2 与 x 成反比例，且 x1 时，y3；x1 时，y1.求 x 时，y 的值12错解 解：设 y1kx 2，y 2 .yy 1y 2，ykx 2 .把 x1，y3 代入上式，kx kx得 3kk，k .y x2 .当 x 时，y ( )2 3 .32 32 32x 12 32 12 32（ 12） 38 218答：当 x 时，y 的值是 .12 218剖析(1)错解错在设 y1kx，y 2 时取了相同的比例系数 k，由于 这是两种不同的比例，其kx比例系数未必相同，应分别设 y1k 1x，y 2 ，用两个不同字母 k1，k 2 来表示两个不同的k2x比例系数(2)在同一问题中，相同的字母只能表示同一个未知量两个或多个不同的未知量需要用两个或多个不同的字母来表示，以免混淆，从而导致错误正解 解：设 y1k 1x2，y 2 ，yy 1y 2，yk 1x2 .把k2x k2xx1，y3；x1，y1 分别代入上式，得 解得 y2x 2 .3 k1 k2，1 k1 k2， ) k1 2，k2 1， ) 1x当 x 时，y2( )2 2 .答：当 x 时，y 的值是 .12 12 1 12 12 32 12 32
