1、长春市第十一高中 2018-2019 学年度高二上学期期末考试数学 试 题（理科）第 I 卷（共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.复数 （ 是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）i1A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.用反证法证明“ 三个实数中最多只有一个是正数” ，下列假设正确的是（ ）cba,A.有两个数是正数 B.这三个数都是负数 C.至少有两个数是负数 D.至少有两个数是正数3若向量 ， ， 是空间的一个基底，向量 ， ，那么可以与 ， 构成空abcbamnmn间的另一个基底的
2、向量是（ ）A B C D ca24.下列说法错误的是（ ）A命题 ：“ ”，则 ：“ ”p200,1xRxp01,2xRB命题“若 ,则 ”的否命题是真命题342C若 为假命题，则 为假命题qqpD. 若 是 的充分不必要条件，则 是 的必要不充分条件pp5.下列推理不属于合情推理的是（ ）A.由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B.由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电C.两条直线平行，同位角相等，若 与 是两条平行直线的同位角，则ABABD.在数列 中， ， ，猜想 的通项公式na1212nana6如图所示，在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ， 1DCMABDa1
3、体验 探究 合作 展示， ，则下列向量中与 相等的向量是( )bDA1c1 MB1A B. a2cba2C. Dcb1c17.椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上，若 ，则 的面积为（ ）692yx21,FP4|1PF21FA. B. C. D.332338已知函数 ，其导函数 的图象如图所示，则)(xfy)(xfy )(xfy( )A在 上为减函数 B在 处取极小值 0,1C在 处取极大值 D在 上为减函数2x ),4(9.执行右图所示的程序框图,如果输入的 ,则输出的 等于（ 3xtM）A.3 B. C. D. 131967610.用数学归纳法证明：“ ”从2231nn“ 到 ”左端需增乘的代数
4、式为（ ）k1A. B kC D21k23111已知点 ，抛物线 的焦点为 ,射线 与抛物线 相交于点 ，与其准线),0(AxyC4:FACM相交于点 ，则 =（ ）N:FMA B C D2:5121:51:312.已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，exaxf)( xgln2)(x则 的取值范围是（ ）aA.B.21,e 2,1eC.D.,2第 II 卷（共 90 分）二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.定积分 .21dx14.若双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，则该双曲线)0,(2bay 41的离心率为 . 15.已知函数 在区间 上不
5、是单调函数，则实数 的取值范围是 . 1)(23xxf , a16如图所示，在三棱锥 中， ，且ABCSSB2， 分别是 的中点则异面直线 与2BASNM,CA, SM所成角的余弦值为 .N三、解答题：本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10 分）已知 ， ，其中 .017:2xp 034:22mxq（1）若 ，且 为真，求 的取值范围；4mp（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围q18.(本小题满分 12 分）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上的点 到准线的距离为 )31(2pxyF1,0xM45（1）求抛物线的标准方程；（2
6、）设直线 与抛物线的另一交点为 ，求 的值.MFNFM19(本小题满分 12 分）若函数 ，当 时，函数 有极值 .34fxab2xfx43（1）求函数 的解析式及在点 处的切线方程；1,f（2）若方程 有 3 个不同的根，求实数 的取值范围fxkk20.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ，ABCDPABCD2AC，且 交于点 ， 是 上任意一点32BD,OEP（1）求证： ；（2）若 为 的中点，且二面角 的余弦值为 ，求EPBA721与平面 所成角 的正弦值CAB21 （本小题满分 12 分）已知椭圆 ： 上的点到焦点的最大距离为 3，离心率为 .C)
7、0(12bayx 21（1）求椭圆 的标准方程；（2）设直线 ： 与椭圆 交于不同两点 ，与 轴交于点 ，且满足lmyxCBA,xD,若 ，求实数 的取值范围.DBA31222.（本小题满分 12 分）已知 为函数 的导函数，且 .fxfx2110xfxffe（1）判断函数 的单调性；（2）若 ，讨论函数 零点的个数.21gxfx2hxegax长春市十一高中 2018-2019 学年度高二上学期期末考试数学（理）参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13 14 15 162ln337,010三、解答题17.解：（1）由 ， 解得 ，所以 ；
8、1072x52x52:xp又 ，因为 ，解得 ，所以 .342mxm3mq3当 时， ，又 为真， 都为真，所以 . （5 分）2:xqqp,4x（2）由 是 的充分不必要条件，即 ， ，其逆否命题为ppq，由（1） ， ，所以 ，qp, 52:xmxq3:052即：（10 分）235m18.解：（1）由题意 ，消去 得 ，因为 ，12450px0x0252p31p解得 ，所以 ，所以抛物线标准方程为 . (5 分） 2p40 xy421 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B D C C C D A D C B C C（2）因为 ， ,所以 ,直线 的方程为 ，0,1F4M34M
9、Fk 043yx联立方程得方程组 ，消去 得 ，解得 或 ，032yxx02y1将 代入 ，解得 ，由焦半径公式 ,又4y24514NF4MF所以 . （12 分）15NFM19.解：（1） ,由题意得 ，解得23fxab210483fab 134ab故所求函数的解析式为 . （3 分）314fx， ， 在点 处的切线方程为：24fx,f yfx1,f，即 . （6 分）13y9310xy（2）由(1)可得 ，令 ，得 或 .0fx2x当 变化时， ， 的变化情况如下表：xfxf因此，当 时， 有极大值 ，当 时， 有极小值 ，2xfx283,xfx43所以函数 的图象大致如图所示314f若
10、有 个不同的根，则直线 与函数 的图xkykfx象有 个交点，所以 . （12 分）3283k20.解：（1）因为 DP平面 ABCD，所以 DPAC，因为四边形 ABCD 为菱形，所以 BDAC，又 BDPD=D，AC平面 PBD，因为 DE平面 PBD，ACDE （4 分）（2）连接 OE，在PBD 中，EOPD，所以 EO平面 ABCD，分别以 OA，OB，OE 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， （5 分）设 PD=t，则 A（1，0，0） ，B（0， ，0） ，C（1，0，0） ，3E（0，0， ） ，P（0， ，t） 3设平面 PAB 的一个法向量为
11、 （x，y，z） ，n则 ，令 ，得 ，nAB=-x+ 3y=0nAP=-x- 3y+tz=0 y=1 )32,1(tn平面 PBD 的法向量 （1，0，0） ，m因为二面角 APBD 的余弦值为 ，所以 ，217 |cosm,n| =34+12t2=217所以 或 （舍） ， （9 分）t=2 t=-2则 P=(0,- 3,2),E(0,0,1),n=(3,1,3),EC=(-1,0,1) ，EC 与平面 PAB 所成角 的正弦值为sin =|cosEC,n| =| - 3- 3|72 = 427 742（12 分）21.解：（1）由已知 ，解得 ，所以 ，所以213ac12ca22cab3
12、14椭圆 的标准方程为 .（4 分）C3yx（2）由已知 ,设 ，联立方程组 ，消 得)01(D),(),(21yxBA13402yxmx，由韦达定理得 096)43(2my 43621my 221y因为 ，所以 ，所以 ，将代入DBA),(),1(2yxyx21y， ，消去 得 ，所以436)1(2my43922243)(2m. （9 分）42因为 ，所以 ，即 ，3121421432m解得 ，所以 ，或 . （12 分）542m525m22.解：（1）对 ，求导可得2110xfxffe，所以 ，于是0xfxe 001fff，所以 ，所以 ，于是1ff 2xxe在 上单调递增，注意到 ， （
13、3 分）,xfexRf故 时， 单调递减， 时， ,00,ffx0,x单调递增. fxf（4 分）（2）由（1）可知 ，2211xxgxee由 ，得 或 ，0hxe0a若 ，则 ，即 ，2ga2lnxln1xa设 2ln1x所以 在 上单调递增，在 上单调递减，0,e,e分析知 时， 时， , 时， ，1x,x0xx（8 分）现考虑特殊情况：若直线 与 相切，1yax设切点为 ，则 ，整理得 ，0,0200ln1xa02ln1x设 ，显然 在 单调递增，002lnmxxmx,而 ，故 ，此时 .11a结合图形不难得到如下的结论：当 时， 有一个零点；ahx当 或 时， 有两个零点，01当 时 ， 有三个零点. （12 分）x注：可用分离参数方法
