1、岳阳市 2017 届高三教学质量检测试卷（二）数学（理科）第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题设可得 ，则 ，应选答案 D。2. 已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 的值为 （ ）A. 2 B. 3 C. D. 5【答案】D【解析】因为 ，所以 ，应选答案 D。3. 设数列 是等差数列， 为其前 项和，若 ，则 （ ）A. 4 B. -22 C. 22 D. 80【答案】C【解析】由题意可知 ，解之得 ，故，应选答案 C。4. 函数
2、的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题设可知 ，所以函数是奇函数，依据图像排除 A，C，应选答案 B，D， 由于，即 ，故排除答案 D，应选答案 B。5. 已知 是球 表面上的点， 平面 ，则球 的表 面积等于 （ ）A. B. C. D. 【答案】A考点：球的内接多面体；球的表面积公式.【方法点晴】本题主要考查了球的内接多面体，球的表面积 公式的应用，其中根据已知条件求出球 的直径（半径）是解答本题的关键，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想方法及空间想象能力，本题的解答中由 平面 ， ，转化为四面体的外接球半径等于以长宽高分别为 三边长的长方体的外接球的半径，
3、从而求解球的半径，即可求解球的表面积.6. 若直线 与抛物线 相交于 两点，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题设将直线 代入 可得 ，则，则，应选答案 C。7. 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于 底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何 体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题设可知该几何体是一个四棱锥与直三棱柱的组合体如图，其表面面积，应选答案 A。8. 执行如下图所示的程序框图，输出 的值为（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】B【
4、解析】由题设中提供的算法流程图可以看出：当 结束运算程序，所以此时输出，应选答案 B。9. 已知点 在角 的终边上，函数 图象上与 轴最近的两个对称中心间的距离为 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意 ，则 ，即 ，则 ；又由三角函数的定义可得 ，则 ，应选答案C。10. 设 ，若关于 的不等式组 ，表示的可行域与圆存在公共点，则 的最大值的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出不等式组表示的区域如图，结合图形可知当点 在圆 外（上）时，可行域与圆 有公共点，即 ，也即 时可行域与圆有公共点，此时动直线 经过点 时，在上的截距 最大，其最大
5、值为 。应选答案 D。点睛：解答本题的关键是运用转化与化归思想将问题化为区域内的点 在圆外，即 ，然后解不等式 得到 ，然后运用线性规划的知识求得动直线 经过点 时，在 上的截距 最大， 其最大值为，进而借助实数的取值范围 获得答案。11. 已知函数 与函数 的图象上恰有两对关于轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A点睛：解答本题的关键是运用转化与化归思想将问题化 为 有两个不等的实数根，然后运用导数知识探求得函数 的图像的变化情况，借助函数的图像求出参数的取值范围，进而获得答案。12. 已知直线 与双曲线 交于 两点，且 中点 的横坐标为 ，过 且与直线 垂
6、直的直线 过双曲线 的右焦点，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得，设 ，由 ，又 ，代入 ，得 ，即 ，解得 ，故选 B.考点：双曲线的几何性质.第卷二、填空题 ：13. 如图是半径分别为 1，2，3 的三个同心圆，现随机向最大圆内抛一粒豆子，则豆子落入图中阴影部分的概率为_【答案】【解析】由题意 ，则由几何概型的计算公式可得概率，应填答案 。14. 若点 是函数 的一个对称中心，则_【答案】【解析】由题意 ，即 ，所以，应填答案 。点睛：解答本题的思路是依据题设条件，求得 ，即 ，进而借助同角三角函数的关系求得 ，使得问题获解。15. 已知函数 ，若
7、恒成立，则 的取值范围是_【答案】【解析】在平面直角坐标系中画出函数 的图像如图，结合图像可知当直线的斜率 满足 时，不等 式 恒成立，应填答案 。点睛：解答本题的关键是借助数形结合的思想，先画出不等式中两边所表示的函数的图像，运用动静结合的思想数形结合，探究出参数（斜率 ）的取值范围，从而使得问题获解。16. 已知函数 ，数列 中， ，则数列的前 100 项之和 _【答案】-10200【解析】因为 ，所以同理可得： ,的前 100 项之和 .故答案为： .点睛：本题中由条件 ，由余弦函数的值可将 分成四种情况，即将数列分成四个一组求和即可.三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
8、. 17. 在锐角 中，角 的对 边分别为 ，且满足 .（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【试题分析】（1）先运用正弦定理将其化 为内角之间的函数关系，再运用三角变换公式使得问题获解；（2）先运用正弦定理将 化为内角的三角函数的关系再借助三角函数的图像和性质使得问题获解：（1） ，由正弦定理得： ， ，即： ， ， 为锐角三角形， ， 即 ；（ 2） ，由正弦定理有： ，由正弦定理有： ， ， ， ， 为锐角三角形， ， ， ， .18. 某市为了鼓励市民节约用水，实行“阶梯式”水价，将该市每户居民的月用水量划分为三档：月用水量不超过 4 吨的部分按
9、 2 元/吨收费，超过 4 吨但不超过 8 吨的部分按 4 元/吨收费，超过 8 吨的部分按 8 元/吨收费.（1）求居民月用水量费用 （单位：元）关于月用电量 （单位：吨）的函数解析式；（2）为了了解居民的用水情况，通过抽样，获得今年 3 月份 100 户居民每户的用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这 100 户居民中，今年 3 月份用水费用不超过16 元的占 66%，求 的值；（3）在满足条件（2）的条件下，若以这 100 户居民用水量的频率代替该月全市居民用户用水量的概率.且同组中的数据用该组区间的中点值代替.记为该市居民用户 3 月份的用水费用，求 的分布列和数学期望.
10、【答案】（1） （2） （3）【解析】【试题分析】（1）依据题设条件中的约束条件建立分段函数解析式；（2）运用题设中的频率分布直方图建立方程组求解；（3）依据（2）的结论先求随机变量的分布列，再借助数学期望公式进行求解，从而使得问题获解：（1）当 时， ；当 时， ，当 时， .所以 与 之间的函数解析式为： ；（2）由（1）可知，当 时， ，则 ，结合频率分布直方图可知： ， ；（3）由题意可知： 的可能取值为 1，3，5，7，9，11.则，所以 的分布列：1 3 5 7 9 110.1 0.2 0.3 0.2 0.15 0.0519. 如图所示，正三角形 所在平面与梯形 所在平面垂直， ，
11、 为棱 的中点.（1）求证: 平面 ；（2）求证： 平面 ；（3）若直线 与平面 所成角的正切值为 ，求二面角 的余弦值 .【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【试题分析】（1）运用线面平行的判定定理进行推证；（2）依据题设运用线面垂直的判定定理进行推证；（3 ）先建立空间直角坐标系，再运 用向量的数量积工具进行求解：（1）如图，取 中点 ，连接 ，因为 为 中点，所以 且 ，所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 .平面 ， 平面 ， 平面 .（2）又因为 为正三角形，所以 ，又因为面 面 ，面 面 . 面 ，所以 面 ， .又因为 ，所以 面 ，所以 面.（3）取 中点 ，再
12、连接 .易证 面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，即 ，设 ，可求得 .以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ，所以 ，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得，所以 ，设面 的法向量为 ，则 ，令 ，得， ，所以 ，所以 ，因为二面角 为钝角，其余弦值为 .点睛：立体几何是高中数学中的重要内容之一，也是高考重点考查的重要考点之一。这类问题的设置一般有两问，其一是考查线面的位置关系（平行 、垂直）；另一类是考查度量关系（角度、距离）的计算。解答第一类问题时，依据题设条件充分借助线面平行与垂直的判定定理进行分析推证；解答第二类问题时，常用的方法是构造平面图形（特殊三角形、四边形），运
13、用解三角形等有关知识求解；或者建立空间直角坐标系，运用向量的有关知识及数量积公式分析求解。20. 已知椭圆 的两个焦点坐标分别是 ，并且经过 .（1）求椭圆 的标准方程；（2）过椭圆 的右焦点 作直线 ，直线 与椭圆 相交于 两点，与圆 相交于 两点，当 的面积最大时，求弦 的长.【答案】（1） （2）4【解析】【试题分析】（1）运用椭圆的定义进行求解；（2）先建立直线的方程，再运用直线与椭圆的位置关系进行分析求解：（1）设椭圆的标准方程为 ，依椭圆的定义可得： ， ， ，椭圆的标准方程为： .（2）设直线 的方程为 ，代入椭圆方程 化简得：，设 ，则 ，的面积 ，令 ，则 ，当且仅当 ，即
14、时取等号.此时，直线 的方程为 ，圆心 到 的距离为 ，又圆半径为 ，故所求弦长为 .21. 已知函数 ( 是自然对数的底数)在 处的切线与 轴平行.（1）求函数 的单调递增区间；（2）设 ，若 ，不等式 恒成立，求 的最大值.【答案】（1） 和 .（2）【解析】【试题分析】（1）先借助导数的几何意义建立方程 求得参数的值，再对函数进行求导，建立不等式进行求解；（2）先将不等式进行等价转化，再运用导数知 识进行分析求解：（1） ，由已知得 ，得 ，则.令 ，解得 或 ，故函数 的单调递增区间为 和 .（2）不等式 ，可化为 ，记 ，当 时， 恒成立，则 在 上递增，没有最小值，故不成立；当 时
15、，令 ，解得 ，当 时， ；当时，当 时，函数 取得最小值，即 ，则 ，令 ， ，令 ，则 ，当时， ；当 时， ，故当 时， 取得最大值 ，所以 ，即 的最大值为 .点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设置了两道问题，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先运用求导反之对函数进行求导，再借助导数的几何意义求出参数 ，最后依据导数与函数的单调性之间的关系求出其单调区间使得问题获解；（2）解答第二问时先将不等式等价转化为 ，再构造函数 ，借助导数知识求出其最小值即 ，最后再构造函数 ，求得其最大值 ，即 ，从而使得问题获解：请考生在 22、23 两题中
16、任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 过定点 ，且倾斜角为 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 的直角坐标方程与直线 的参数方程；（2）若直线 与曲线 相交于不同的两点 ，求 的值.【答案】（1） （2）3【解析】【试题分析】（1）先运用直角坐标与极坐标之间的互化关系求解；再直线的参数方程的形式建立直线的参数方程；（2）依据题设条件运用直线参数方程中的参数的几何意义分析求解：（1） ， ， ，曲线 的直角坐标方程为： ，直线 过点 ，且倾斜角为 ，直线 的参数方程为： （ 为参数），即 （ 为参数）.（2）设 两点对应的参数分别为 ，将直线 与曲线 的方程得： ， ， .23. 选修 4-5：不等式选讲设函数 .求不等式 的解集；若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.【答案】（1） （2） 或 .【解析】【试题分析】（1）借助绝对值的性质运用分类整合思想分类求；（2）依据绝对值的定义，运用绝对值的几何意义求解：（1） ，解得： ； 无解； 解得： ；原不等式的解集为 ；（2） ， ， ，使 成立， ，解得： 或 ，实数 的取值范围为： 或 .
