1、章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1与向量 a(1，3,2) 平行的一个向量的坐标是( )A B(1，3,2)(13，1，1)C D( 12，32， 1) ( 2， 3， 22)C a (1， 3,2)2 .( 12，32， 1)2在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， ， x y ( )，A1F 12A1C1 AF AA1 AB AD 则( )Ax1，y Bx1，y12 13Cx ，y 1 Dx1，y12 14A AF AA1 A1F
2、 AA1 12A1C1 ( )，AA1 12AC AA1 12AB AD x1，y .应选 A123已知 A(2， 4，1)， B(1,5,1)，C(3，4,1) ，D (0,0,0)，令a ，b ，则 ab 为( )CA CB A(5， 9,2) B(5,9，2)C(5,9，2) D(5，9，2)B a (1,0，2)，b (4,9,0) ，CA CB ab(5,9，2) 4已知点 A(1,2,1)，B( 1,3,4)，D(1,1,1)，若 2 ，则| |的值是( ) AP PB PD 【导学号：46342190】A B C D13 23 773 63C 设 P(x， y，z)，则 (x 1
3、，y2，z1)，AP (1x, 3y,4z)，PB 由 2 知 x ，y ，z3，AP PB 13 83即 P .( 13，83，3)由两点间距离公式可得| | .PD 7735在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，下列结论不正确的是( )A B 0AB C1D1 AB BC C 0 D 0AA1 B1D1 AC1 A1C D 如图， ， ， ，故 A，B，C 选项均正AB C1D1 AB BC AA1 B1D1 确6设ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于 E，P 为空间任意一点，如图 1 所示，若 x ，则 x( )PA PB PC PD PE 图 1A2 B3C4 D5
4、C E 为 AC，BD 的中点，由中点公式得 ( )，PE 12PA PC ( )PE 12PB PD 4 .从而 x4.PA PB PC PD PE 7已知 a(2，1,3) ，b(1,4，2) ，c(7,5，)，若 a，b，c 三向量共面，则实数 等于( )A B C D627 637 647 657D a，b，c 三向量共面，则存在不全为零的实数 x，y ，使 cxay b，即(7,5， ) x(2，1,3)y (1,4，2)(2xy， x4y,3x 2y )，所以Error!解得 Error!3x2y .6578若向量 a(x, 4,5)，b(1，2,2)，且 a 与 b 的夹角的余弦
5、值为 ，则26x( )A3 B3C 11 D3 或11A 因为 ab( x,4,5)(1，2,2)x810x 2，且 a 与 b 的夹角的余弦值为 ，所以 ，解得 x3 或11(舍去)，故26 26 x 2x2 42 521 4 4选 A9若直线 l 的方向向量为(2,1，m)，平面 的法向量为 ，且 l，(1，12，2)则 m( )A2 B3 C4 D5C l，直线 l 的方向向量平行于平面 的法向量 .21 112 m2m4.10直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若BAC90，ABACAA 1，则异面直线 BA1 与 AC1 所成角为( )A30 B45 C60 D90C 建立如图所示的空
6、间直角坐标系，设 AB1，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C 1(0,1,1)， (1,0,1)， (0,1,1)，BA1 AC1 cos ， .BA1 AC1 BA1 AC1 |BA1 |AC1 | 122 12 ， 60，即异面直线 BA1与 AC1所成角为 60.BA1 AC1 11已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA 12AB ，则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( )【导学号：46342191】A B C D23 33 23 13A 以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则 D(0,0,0)，C(0,1,0
7、)，B(1,1,0)，C 1(0,1,2)，则(0,1,0) ， (1,1,0)， (0,1,2) 设平面 BDC1的法向DC DB DC1 量为 n( x， y，z)，则 n ，n ，所以有 Error!令DB DC1 y2，得平面 BDC1的一个法向量为 n(2，2,1)设 CD 与平面 BDC1所成的角为 ，则 sin |cosn， | .DC |nDC |n|DC | 2312在矩形 ABCD 中，AB3，AD 4，PA平面 ABCD，PA ，那么435二面角 ABDP 的大小为 ( )A30 B45 C60 D75A 如图所示，建立空间直角坐标系，则 ，PB (3，0， 453)(3
8、,4,0)BD 设 n(x，y，z)为平面 PBD 的一个法向量，则Error!得Error!即Error!令 x1，则 n .(1，34，543)又 n1 为平面 ABCD 的一个法向量，(0，0，453)cos n1，n ，所求二面角为 30.n1n|n1|n| 32二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上)13已知正方体 ABCDABCD，则下列三个式子中： ；AB CB AC ；AA CC .AB BB BC CC AC 其中正确的有_ ，正确；显然正确； AB CB AB BC AC AB BB BC ( )( ) 0 ，错误 CC AB
9、BC BB CC AC AC 14若向量 m(1,2,0)，n(3,0，2)都与一个二面角的棱垂直，则m，n 分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为_ 或 cosm，n36565 36565 mn|m|n| . 13 20 0 2513 36565二面角的余弦值为 或 .36565 3656515如图 2 正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，O 是平面 A1B1C1D1 的中心，则 BO 与平面 ABC1D1 所成角的正弦值为 _. 【导学号：46342192】图 2建立坐标系如图，则 B(1,1,0)，O ， (1,0,1)是平面36 (12，12，1) DA1 ABC1D1
10、的一个法向量又 ，OB (12，12， 1)BO 与平面 ABC1D1所成角的正弦值为 |cos ， |OB DA1 .|OB DA1 |OB |DA1 |1262 2 3616设动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 的对角线 BD1 上，记 ，当APC 为钝角时， 的取值范围是_ D1PD1B 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，(13，1)则 A(1,0,0)，C(0,1,0) ，B(1,1,0)，D 1(0,0,1)，设 P(x，y，z) ，则 (x，y ，z1)，D1P (1,1， 1)，由 ，D1B D1P D1B 得(x，y，z1)(1,1，1)，Erro
11、r!即 P(，1)， (1， ，1)， (，1 ，1)，PA PC 由 0)，DH 由已知 ， 60，DH DA 由 | | |cos ， ，可得 2m .解得 m ，DA DH DA DH DH DA 2m2 1 22所以 .DH ( 22，22，1)因为 cos ， DH CC ，22 0 22 0 1121 22所以 ， 45 ，即 DP 与 CC所成的角为 45.DH CC (2)平面 AADD 的一个法向量是 (0,1,0) ，DC 因为 cos ， DH DC ，所以 ， 60 ，可得 DP 与平22 0 22 1 1012 12 DH DC 面 AADD 所成的角为 30.20(
12、本小题满分 12 分) 如图 6，AB 是圆的直径， PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点图 6(1)求证：平面 PBC平面 PAC；(2)若 AB2，AC1，PA1，求二面角 CPBA 的余弦值解 (1)证明：由 AB 是圆的直径，得 ACBC，由 PA平面 ABC，BC 平面 ABC，得 PABC 又 PAACA ，PA 平面 PAC，AC平面 PAC，所以 BC平面 PAC因为 BC平面 PBC所以平面 PBC平面 PAC(2)过 C 作 CMAP ，则 CM平面 ABC如图，以点 C 为坐标原点，分别以直线 CB，CA，CM 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系在 Rt AB
13、C 中，因为 AB2，AC1，所以 BC .3又因为 PA1，所以 A(0,1,0)，B( ，0,0)，P(0,1,1)3故 ( ，0,0)， (0,1,1)CB 3 CP 设平面 BCP 的法向量为 n1(x 1，y 1，z 1)，则Error!所以 Error!不妨令 y11 ，则 n1(0,1，1)因为 (0,0,1)， ( ，1,0)，AP AB 3设平面 ABP 的法向量为 n2(x 2，y 2，z 2)，则Error!所以 Error!不妨令 x21 ，则 n2(1, ，0)3于是 cosn 1，n 2 .322 64由图知二面角 CPBA 为锐角，故二面角 CPBA 的余弦值为
14、.6421(本小题满分 12 分) 如图 7，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F，M ，N 分别是棱 AB，AD ，A 1B1，A 1D1 的中点，点 P，Q 分别在棱DD1，BB 1 上移动，且 DPBQ (0 2)图 7(1)当 1 时，证明：直线 BC1平面 EFPQ；(2)是否存在 ，使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 . 【导学号：46342194】解 以 D 为原点，射线 DA，DC，DD 1分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系由已知得 B(2,2,0)，C 1(0,2,2
15、)，E (2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0， )， (2，0,2)， (1,0， )， (1,1,0)BC1 FP FE (1)证明：当 1 时， (1,0,1)，FP 因为 ( 2,0,2) BC1 所以 2 ，可知 BC1FP，BC1 FP 而 FP平面 EFPQ，且 BC1平面 EFPQ，故直线 BC1平面 EFPQ.(2)设平面 EFPQ 的一个法向量为 n( x，y，z)，由Error!得Error!于是可取 n (， ，1)，同理可得平面 PQMN 的一个法向量为 m( 2,2，1)，若存在 ，使得平面 EFPQ 与平面 PQMN 所在的二面角为直二面角，则 mn( 2,
16、2 ，1)( ，1)0，即 (2)(2)10，解得 1 ，22故存在 1 ，使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角2222(本小题满分 12 分) 如图 8，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1C1C 是边长为 4 的正方形，平面 ABC平面 AA1C1C，AB3，BC5.图 8(1)求证：AA 1平面 ABC；(2)求二面角 A1BC1B1 的余弦值；(3)证明：在线段 BC1 上存在点 D，使得 ADA 1B，并求 的值BDBC1解 (1)因为 AA1C1C 为正方形，所以 AA1AC 因为平面 ABC平面 AA1C1C，且 AA1垂直于这两个平面的交线 AC，所
17、以AA1平面 ABC(2)由(1)知 AA1AC，AA 1AB 由题意知 AB3，BC5，AC4，所以 ABAC 如图，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Axyz，则 B(0,3,0)，A 1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C 1(4,0,4)所以 (0,3，4)， (4,0,0)A1B A1C1 设平面 A1BC1的法向量为 n(x，y ，z )，则Error! 即Error!令 z3，则 x0，y 4，所以平面 A1BC1的一个法向量为 n(0,4,3)同理可得，平面 B1BC1的一个法向量为 m(3,4,0)所以 cosn，m .nm|n|m| 1625由题意知二面角 A1BC1B1为锐角，所以二面角 A1BC1B1的余弦值为 .1625(3)证明：假设 D(x1，y 1，z 1)是线段 BC1上一点，且 (0,1)，BD BC1 所以(x 1，y 1 3，z 1)(4，3,4)解得 x14， y133， z14 ，所以 (4 ，33，4 )由 0，得 9 250，解得 .AD AD A1B 925因为 0,1 ，所以在线段 BC1上存在点 D，使得 ADA 1B925此时 .BDBC1 925
