1、巧用条件 妙求椭圆方程已知曲线轨迹为椭圆求其方程时，常用待定系数法，在许多情况下，若恪守常规，常会导致过程繁琐，运算量增大，但如果对题目条件合理使用，对标准方程进行“改造” ，常可避繁就简，事半功倍，现举几例，寻求椭圆方程的巧妙求法一改造设法之一：巧设 ),0(12nmnymx，避免讨论例 1求经过两点 )5,3(),2(BA的椭圆标准方程分析：由条件，不能确定焦点在 轴还是 轴上，若直接设标准方程，需分两种情况讨论，则解答繁琐；若设方程为 ),(2yx，则包含了上述两种情况，简化了解题过程，有效地避免了讨论解：设所求椭圆方程为 0,12 nmnm，将 A、B 两点坐标代入得 153429nm
2、，解得 6， ，故所求椭圆方程为 1062yx点评：事实上， 12nyx中，当 0n时，椭圆焦点在 轴上；当0时，椭圆焦点在 轴上二改造设法之二：利用共焦点椭圆系，巧设椭圆方程例 2求经过点 (,6)M且与椭圆 1592x有相同焦点的椭圆标准方程分析：当一组椭圆具有某一相同性质时，我们称之为椭圆系本题可用共焦点椭圆系方程求解解：设所求椭圆方程为 )(2kxky，将 M 点坐标代入得64195k，解得 3或 7（舍去） ，故所求椭圆方程为218yx点评：与椭圆 12nymx有相同焦点的椭圆系方程为22(xykkn且 2)三改造设法之三：利用共离心率椭圆系，巧设椭圆方程例 3求经过点 (1,)M且
3、与椭圆216xy有相同离心率的椭圆标准方程分析：离心率22()cabea，可由 b与 a的比值确定，故一组椭圆中，无论焦点在 x轴还是 y轴上，只要比值 2相等，它们的离心率就相同本题可用共离心率椭圆系方程求解解：设所求椭圆方程为216xyk或26xk，将 M 点坐标代入得1426k或 26k，解得 34或 2，故所求椭圆方程为23164xy或216yx点评：与椭圆21(0)xyab有相同离心率的椭圆系方程为210xykab(焦点在 轴上 )或22xk（焦点在 y轴上） 四改造求解过程，体会知识灵活运用例 4求焦点为 0,3(,21F且过点 )1,(A的椭圆方程常规解法：设所求椭圆方程为 02
4、bayx，则由题意得 3142ba，消去 2b得 1342a，整理得 184，解得 62或 （舍去，因此时 ） ，于是 b，故所求椭圆方程为 362yx改造解法一：设所求椭圆方程为 )0(12bayx，由定义得)32(1)32( a，即 348，平方整理得6，因 c，则 2cab，故所求椭圆方程为 162yx改造解法二：由题意，所求椭圆与 152yx共焦点，则由例题 2 知，可设方程为)2(125kykx，将点 ),(A坐标代入得 )(14kk，解之得，故所求椭圆方程为 1362yx点评：常规解法中联立方程组消元后，需要解一个 4 次方程，运算量较大，且容易出错；而改造解法中，法一巧妙地运用定义，避免了繁琐的运算，是一种可取的好方法；法二则运用共焦点椭圆系，简化了求解过程，也很巧妙
