1、考点规范练 34 直接证明与间接证明考点规范练第 42 页 基础巩固组1.用反证法证明命题:“如果 a,bN ,ab 可被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整除”时,假设的内容应为( )A.a,b 都能被 5 整除 B.a,b 都不能被 5 整除C.a,b 不都能被 5 整除 D.a 不能被 5 整除答案 B解析 因为命题:“如果 a,bN, ab 可被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整除”的否定是 a,b 都不能被 5 整除,所以用反证法证明该命题时假设的内容应为 a,b 都不能被 5 整除.故选 B.2.设 a,b,c 均为正实数,则三个数 a+ ,b+ ,c
2、+ ( )1 1 1A.都大于 2 B.都小于 2C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2答案 D解析 a0,b0,c0, 6,(+1)+(+1)+(+1)=(+1)+(+1)+(+1)当且仅当 a=b=c=1 时,等号成立 ,故三者不能都小于 2,即至少有一个不小于 2.3.已知 p= ,q= (m,n,a,b,c,d 均为正数),则 p,q 的大小关系为( )+ +A.pq B.pq C.pq D.不确定答案 B解析 q= =p.+2+=+4.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数 ,且当 x0 时,f(x)单调递减,若 x1+x20,则 f(x1)+f(x2)的值( )A.恒为负
3、值 B.恒等于零C.恒为正值 D.无法确定正负答案 A解析 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数 ,且当 x0 时,f(x)单调递减,可知 f(x)是 R 上的单调递减函数.由x1+x20,可知 x1-x2,即 f(x1)0,即 cos (A+C)0,则 A+C 是锐角,从而 B ,故ABC 必是钝角三角形.26.已知 =2 =3 =4 ,若 =6 (a,t 均为正实数), 类比以上等式可推测2+23 23, 3+38 38, 4+415 415 6+ 出 a,t 的值,则 a+t= . 答案 41解析 按题中的等式可推测出 a=6,t=a2-1=35,则 a+t=6+35=41.7.设 a,
4、b,c 是不全相等的实数,给出下列判断: (a-b)2+(b-c)2+(c-a)20; ab,ab2+c2解析 由余弦定理知 cos A= b2+c2.能力提升组9.设 a,b 是两个实数,给出下列条件: a+b1; a+b=2; a+b2; a2+b22; ab1.其中能推出“a,b中至少有一个大于 1”的条件是( )A. B. C. D.答案 C解析 若 a= ,b= ,则 a+b1,但 a2,故 推不出;若 a=-2,b=-3,则 ab1,故 推不出;对于 ,假设 a1 且 b1,则 a+b2,与 a+b2 矛盾,因此假设不成立 ,故 a,b 中至少有一个大于1.故选 C.10.已知 x
5、 为正实数,不等式 x+ 2,x+ 3,x+ 4,可推广为 x+ n+1,则 a 的值为( )1 42 273 A.2n B.n2 C.22(n-1) D.nn答案 D解析 因为第一个式子中 a=11,第二个式子中 a=4=22,第三个式子中 a=27=33,所以猜想第 n 个式子中a=nn.故选 D.11.已知函数 f(x)= ,a,b 是正实数 ,A=f ,B=f( ),C=f ,则 A,B,C 的大小关系为( )(12) (+2) (2+)A.ABC B.ACBC.BCA D.CBA答案 A解析 因为 ,又 f(x)= 在 R 上是减函数, 所以 f f( )f+22+ (12) (+2
6、) (2+).12.设 x,y,z 均大于 0,则三个数 ( )+,+,+A.都大于 2 B.至少有一个大于 2C.至少有一个不小于 2 D.至少有一个不大于 2答案 C解析 因为 x0,y0,z0,所以 6,(+)+(+)+(+)=(+)+(+)+(+)当且仅当 x=y=z 时等号成立,则三个数中至少有一个不小于 2.13. 已知 p3+q3=2,求证 p+q2,用反证法证明时,可假设 p+q2; 已知 a,bR,|a|+|b|2,所以 不正确; 对于 ,其假设正确.14.如果 1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c 对一切 nN *都成立,那么 a= ,b= ,c= .
7、 答案12 14 14解析 等式 1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c 对一切 nN *均成立, n=1,2,3 时等式成立,即 1=3(-)+,1+23=32(2-)+,1+23+332=33(3-)+,整理得 解得 a= ,b=c=3-3+=1,18-9+=7,81-27+=34, 12 14.故答案为12,14,14.15.在平面直角坐标系中,当 P(x,y)不是原点时,定义 P 的“伴随点”为 P ,当 P 是原点时,(2+2, -2+2)定义 P 的“伴随点 ”为它自身. 现有下列命题: 若点 A 的“伴随点 ”是点 A,则点 A的“伴随点” 是点 A; 单位圆
8、上的点的“伴随点” 仍在单位圆上; 若两点关于 x 轴对称,则它们的“伴随点” 关于 y 轴对称; 若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是 . 答案 解析 对于 ,令 P(1,1),则其“伴随点”为 P ,而 P 的“伴随点”为( -1,-1),并不是 P,故错误; 对于 ,(12,12) (12,12)设 P(x,y)是单位圆 C:x2+y2=1 上的点,其“ 伴随点”为 P(x,y),则有= 2+2,= -2+2,所以 x2+y2= =1,所以 正确;对于 ,设 P(x,y)的“伴随点”为 P(2+2)2+( -2+2)2= 12+2,P1(x,-y)的“伴随点”
9、为 P1 ,易知 P 与 P1 关于(2+2, -2+2) ( -2+2, -2+2) ( 2+2, -2+2) ( -2+2, -2+2)y 轴对称,所以 正确;对于 ,设原直线的解析式为 Ax+By+C=0,其中 A,B 不同时为 0,且 P(x0,y0)为该直线上一点,P(x 0,y0)的“伴随点”为 P(x,y),其中 P,P都不是原点,且 则 x0=-( )y,y0=(= 020+20,= -020+20, 20+20)x.将 P(x0,y0)代入原直线方程,得 A( )y+B( )x+C=0,则-Ay+Bx+ =0,由于20+20 20+20 20+20 20+20的值不确定,所以“ 伴随点 ”不一定共线,所以 错误.20+2016.已知函数 y=f(x)的定义域为 D,若对于任意的 x1,x2D (x1x2),都有 f 成立,则称(1+22 )0,又 x1x2,(1+22 )2c2b.2求证:(1)a0 且 -32c2b, a0,b2c2b 得 -3-3,40 矛盾, 函数 f(x)在区2间(0,2)内至少有一个零点.18.已知函数 f(x)=x3+ ,x0,1,求证:11+(1)f(x)1-x+x 2;(2) (12)=192434 34.综上, f(x)34 32.