1、单元综合测试( 二)点、直线、平面之间的位置关系(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若 a，b 是异面直线，直线 ca，则 c 与 b 的位置关系是 ( )A相交 B异面C平行 D异面或相交【解析】 根据空间两条直线的位置关系和公理 4 可知 c 与 b 异面或相交，但不可能平行【答案】 D2下列说法不正确的是( )A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D过一条直
2、线有且只有一个平面与已知平面垂直【解析】 A、B、C 显然正确易知过一条直线有无数个平面与已知平面垂直选 D.【答案】 D3如图 1，在四面体中，若直线 EF 和 GH 相交，则它们的交点一定( )图 1A在直线 DB 上B在直线 AB 上C在直线 CB 上D都不对【解析】 EF 与 GH 相交，设 EFGHM，M EF，MGH.又EF面 ABD，GH面 BCD，M面 ABD，M 面 BCD，又面ABD面 BCDBD，M BD，故选 A.【答案】 A4设 a、b 为两条直线，、 为两个平面，则正确的命题是( ) 【导学号：09960089】A若 a、b 与 所成的角相等，则 abB若 a，b，
3、 ，则 abC若 a，b，ab，则 D若 a，b ，则 ab【解析】 A 中，a、b 可以平行、相交或异面；B 中，a、b 可以平行或异面；C 中，、 可以平行或相交【答案】 D5如图 2，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 、F、 G、H 分别为AA1、AB、BB 1、B 1C1 的中点，则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于( )图 2A45B60C90D120【解析】 如图，连接 A1B、BC 1、A 1C1，则 A1BBC 1A 1C1，且 EFA 1B、GHBC 1，所以异面直线 EF 与 GH 所成的角等于 60.【答案】 B6设 l 为直线， ， 是两个不同的平面下列命
4、题中正确的是( )A若 l， l，则 B若 l，l，则 C若 l，l，则 D若 ，l，则 l【解析】 选项 A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项 A错误；选项 B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项 B 正确；选项 C，由条件应得 ，故选项 C 错误；选项 D，l 与 的位置不确定，故选项 D 错误故选 B.【答案】 B7如图 3 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，若 E 是 A1C1 的中点，则直线 CE 垂直于( )图 3AAC BBDCA 1D DA 1D1【解析】 CE平面 ACC1A1，而 BDAC，BDAA 1，BD平面ACC1A1，BDCE.【答案】
5、B8正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为 12，底面对角线的长为 2 ，则侧面与底面所成的二面角为( )6A30 B45C60 D90【解析】 由棱锥体积公式可得底面边长为 2 ，高为 3，在底面正方形的3任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为 tan (设 为所求平面角)，所以3二面角为 60，选 C.【答案】 C9将正方形 ABCD 沿 BD 折成直二面角，M 为 CD 的中点，则AMD 的大小是( )A45 B30C60 D90【解析】 如图，设正方形边长为 a，作 AO BD，则 AM AO2 OM2
6、a，(22a)2 (12a)2 32又 AD a，DM ，AD 2DM 2AM 2，AMD90.a2【答案】 D10在矩形 ABCD 中，若 AB3，BC4，PA 平面 AC，且 PA1，则点P 到对角线 BD 的距离为 ( )A. B.292 135C. D.175 1195【解析】 如图，过点 A 作 AEBD 于点 E，连接 PE.PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，PABD，BD平面 PAE，BD PE.AE ，PA1，ABADBD 125PE .1 (125)2 135【答案】 B11已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为94的正三角形若 P 为
7、底面 A1B1C1 的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为3( ) 【导学号：09960090】A75 B60C45 D30【解析】 如图所示，P 为正三角形 A1B1C1 的中心，设O 为ABC 的中心，由题意知：PO平面 ABC，连接 OA，则PAO 即为 PA 与平面 ABC 所成的角在正三角形 ABC 中，AB BCAC ，3则 S ( )2 ，34 3 334VABCA1B1C1SPO ，PO .94 3又 AO 1，33 3tan PAO ，PAO60.POAO 3【答案】 B12正方体 ABCDA1B1C1D1 中，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂足为点 H.以下
8、结论中，错误的是( )A点 H 是A 1BD 的垂心BAH平面 CB1D1CAH 的延长线经过点 C1D直线 AH 和 BB1 所成的角为 45【解析】 因为 AH平面 A1BD，BD平面 A1BD，所以 BDAH.又 BDAA 1，且 AHAA 1A.所以 BD平面 AA1H.又 A1H平面 AA1H.所以 A1HBD，同理可证 BHA 1D，所以点 H 是A 1BD 的垂心，A 正确因为平面 A1BD平面 CB1D1，所以 AH平面 CB1D1，B 正确易证AC1平面 A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以 AC1 和AH 重合故 C 正确因为 AA1BB 1，所以A 1
9、AH 为直线 AH 和 BB1 所成的角因为AA 1H45，所以A 1AH45，故 D 错误【答案】 D二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上)13设平面 平面 ，A、C，B、D，直线 AB 与 CD 交于点 S，且点 S 位于平面 ， 之间，AS8，BS6，CS12，则 SD_.【解析】 由面面平行的性质得 ACBD， ，解得 SD9.ASBS CSSD【答案】 914如图 4，四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E 是 SA 上一点，当点 E 满足条件：_时，SC平面 EBD.图 4【解析】 当 E 是 SA 的中点时，连接
10、EB，ED ， AC.设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 EO.四边形 ABCD是平行四边形，点 O 是 AC 的中点又 E 是 SA 的中点，OE 是 SAC 的中位线OESC.SC平面EBD，OE 平面 EBD， SC平面 EBD.【答案】 E 是 SA 的中点15如图 5 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 AA1 和 AB上的点，若B 1MN 是直角，则C 1MN 等于_. 【导学号：97602018】图 5【解析】 B 1C1平面 A1ABB1，MN平面 A1ABB1，B 1C1MN，又B 1MN 为直角，B 1MMN，而 B1MB 1C1B 1.MN
11、平面 MB1C1，又 MC1平面 MB1C1，MNMC 1，C 1MN90.【答案】 9016已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，点E、F 分别是棱 PC、PD 的中点，则棱 AB 与 PD 所在直线垂直；平面 PBC 与平面 ABCD 垂直；PCD 的面积大于PAB 的面积；直线 AE 与直线 BF 是异面直线以上结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)【解析】 由条件可得 AB平面 PAD，ABPD，故正确；若平面 PBC平面 ABCD，由 PBBC，得 PB平面 ABCD，从而 PAPB，这是不可能的，故错；S PCD CDPD，S PAB ABPA，1
12、2 12由 ABCD，PD PA 知正确；由 E、F 分别是棱 PC、PD 的中点，可得 EFCD，又 ABCD，EFAB，故 AE 与 BF 共面，错【答案】 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分) 如图 6 所示，已知ABC 中，ACB90 ，SA 平面 ABC，ADSC，求证：AD平面 SBC.图 6【证明】 ACB90，BCAC.又SA平面ABC， SA BC，SA ACA，BC平面 SAC，BC AD.又SC AD，SCBCC ， AD平面 SBC.18(本小题满分 12 分) 如图 7，三棱柱 ABCA1B1
13、C1 的侧棱与底面垂直，AC9，BC12，AB15，AA 112，点 D 是 AB 的中点图 7(1)求证：AC B 1C；(2)求证：AC 1平面 CDB1.【证明】 (1)C 1C平面 ABC，C 1CAC.AC9，BC12，AB15，AC 2BC 2AB 2，ACBC.又 BCC 1C C，AC平面 BCC1B1，而 B1C平面 BCC1B1，ACB 1C.(2)连接 BC1 交 B1C 于 O 点，连接 OD.如图，O，D 分别为 BC1，AB 的中点，ODAC 1.又 OD平面 CDB1，AC 1平面 CDB1.AC 1平面 CDB1.19(本小题满分 12 分) 某几何体的三视图如
14、图 8 所示，P 是正方形 ABCD对角线的交点，G 是 PB 的中点(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，证明：PD平面 AGC；证明：面 PBD平面 AGC.图 8【解】 (1)该几何体的直观图如图所示：(2)证明：连接 AC，BD 交于点 O，连接 OG，因为 G 为 PB 的中点，O为 BD 的中点，所以 OGPD.连接 PO，由三视图知，PO平面 ABCD，所以 AOPO.又 AO BO，所以 AO平面 PBD.因为 AO平面 AGC，所以平面 PBD平面 AGC.20(本小题满分 12 分) 如图 9，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，F，F 1 分别是AC，
15、A 1C1 的中点图 9求证：(1)平面 AB1F1平面 C1BF；(2)平面 AB1F1平面 ACC1A1.【证明】 (1)在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，F，F 1 分别是 AC，A 1C1 的中点，B 1F1BF，AF 1C 1F.又B 1F1AF 1F 1，C 1FBFF，平面 AB1F1平面 C1BF.(2)在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1平面 A1B1C1，B 1F1平面 A1B1C1，B 1F1AA 1.又 B1F1A 1C1，A 1C1AA 1A 1，B 1F1平面 ACC1A1，而 B1F1平面 AB1F1，平面 AB1F1平面 ACC1A1.21(本小题满分
16、 12 分) 如图 10，在四棱锥 PABCD 中，PC平面ABCD， AB DC，DCAC.图 10(1)求证：DC平面 PAC.(2)求证：平面 PAB平面 PAC.(3)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面 CEF？说明理由【证明】 (1)因为 PC 平面 ABCD，所以 PCDC.又因为 DCAC，且 PCACC，所以 DC平面 PAC.(2)因为 ABDC，DCAC ，所以 ABAC.因为 PC平面 ABCD，所以 PCAB.又因为 PCACC，所以 AB平面 PAC.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAC.(3)棱 PB 上存在点 F
17、，使得 PA平面 CEF.理由如下：取 PB 的中点 F，连接 EF，CE，CF.又因为 E 为 AB 的中点，所以 EFPA.又因为 PA平面 CEF，且 EF平面 CEF，所以 PA平面 CEF.22(本小题满分 12 分) 如图 11，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O，点 E，F 分别在 AD， CD 上，AE CF，EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置图 11(1)证明：AC HD；(2)若 AB5，AC6，AE ，OD2 ，求五棱锥 DABCFE 的体54 2积【解】 (1)证明： 由已知得 ACBD，AD CD .又由 AECF 得 ，
18、故 ACEF.AEAD CFCD由此得 EFHD ，故 EF HD，所以 ACHD.(2)由 EFAC 得 .OHDO AEAD 14由 AB5，AC6 得 DOBO 4.AB2 AO2所以 OH1，DHDH3.于是 OD 2OH 2(2 )21 29DH 2，2故 ODOH.由(1)知 AC HD，又 ACBD，BD HDH，所以 AC平面 BHD，于是 ACOD.又由 ODOH，ACOHO，所以 OD平面 ABC.又由 得 EF .EFAC DHDO 92五边形 ABCFE 的面积 S 68 3 .12 12 92 694所以五棱锥 DABCFE 的体积 V 2 .13 694 2 2322
