1、1下面四个结论:偶函数的图像一定与 y 轴相交;奇函数的图像一定过原点;偶函数的图像一定关于 y 轴对称;既是奇函数又是偶函数的一定是 y0( xR)其中正确的个数是( )A1 B2C3 D4解析:选 A.可结合我们已学过的函数及奇、偶函数的图像特征来判断偶函数的图像一定关于 y 轴对称,但不一定与 y 轴相交,如函数 yx 0,yx 2 都是偶函数,但它们的图像不与 y 轴相交,故错误,正确;奇函数的图像关于原点对称,但不一定过原点,如yx 1 ,故错误;若函数 yf(x)既是奇函数又是偶函数,由定义可得 f(x)0,但未必xR,如 x(1,1),只要其定义域关于原点对称即可,故 错误,所以
2、,四个结论中只有正确,故选 A.2(2011高考上海卷)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,)上单调递减的函数是( )Ayx 2 By x 1Cy x2 Dy 3解析:选 A.yx 1 和 y 都是奇函数,故 B、D 错误又 yx 2 虽为偶函数,但在1(0,) 上为增函数,故 C 错误,yx 2 在(0,)上为减函数,且为偶函数,故1x2A 满足题意3下图是根据 yf( x)绘出来的,则表示偶函数的图像是图中的 _(把正确图像的序号都填上)解析:观察四个图像可以看出,只有图(3)关于 y 轴对称,其相应的函数是偶函数答案:(3)4若函数 y( a23a3)x 2 为幂函数,则 a 的值为_
3、解析:根据幂函数的定义,若函数 y(a 23a3) x2 为幂函数,则 x2 的系数必为 1,即a23a31,所以 a23a40,解得 a1 或 a4.答案:1 或 4A 级 基础达标1函数 f(x) x 的图像关于( )1xAy 轴对称 B直线 yx 对称C坐标原点对称 D直线 yx 对称解析:选 C.f(x )的定义域是(,0)(0 ,),关于原点对称,又 f(x ) (x)1 x f(x ),f(x) 是奇函数,它的图像关于原点对称,故选 C.(1x x)2已知函数 f(x)(xR)是偶函数,则下列各点中必在函数 yf(x)图像上的是( )A(a,f( a) B(a,f(a)C(a,f(
4、a) D(a,f (a)解析:选 A.因为函数 f(x)(xR)是偶函数,所以,若点( a,f(a) 在函数 yf(x)的图像上,由偶函数的图像关于 y 轴对称可知,点(a,f(a)关于 y 轴的对称点(a,f(a) 必在函数图像上3(2012宝鸡调研)函数 y 是( )1 x2|x 3| 3A偶函数不是奇函数 B奇函数不是偶函数C奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数解析:选 B.y 的定义域为x|1x1 且 x0,关于原点对称,又当 x 1,0)1 x2|x 3| 3(0,1时,x30.y 是奇函数,故选 B.1 x2x4比较大小(填“”“ ,所以 0.5 0.5.2513 (25) (13)(
5、2)因为幂函数 yx 3 在区间( ,) 上是增函数,又 (2)0,12f(x 1)f(x 2) 1x 1x1 1x2 x2 x1x1x2 0,x2 x1x1x2( x1 x2)即 f(x1)f(x2)f(x) 在区间(0,)内是减函数B 级 能力提升7幂函数 yx 中 的取值集合 C 是 的子集,当幂函数的值域与定义 1,0,12,1,2,3域相同时,集合 C 为( )A. B. 1,0,12 12,1,2C. D. 1,12,1,3 12,1,2,3解析:选 C.根据幂函数 yx 1 ,yx 0,y ,yx,yx 2,yx 3 的图像和解析式可知,12当 1,1,3 时,相应幂函数的值域与
6、定义域相同128(2012合肥质检)已知偶函数 f(x)在区间(0,)单调增加,则满足 f(2x1)0,p 22p30.12 32(p3)( p1)0 ,1 p3.又pZ,当 p0 时,或 p2 时,y 不是偶函数,p1,yx 2 适合题意32答案:110已知函数 f(x)ax 2bx 3ab 为偶函数,其定义域是a1,2a,求 f(x)的值域解:f(x) ax 2bx 3ab 是a1,2a上的偶函数,Error! Error!f(x) x21.13f(x) x21 在 上的值域是 .13 23,23 1,312711(创新题) 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(xy)f(x )f(y)2xy (xy)( x,yR),f(1)1.(1)求 f(0)和 f(2)的值;(2)若 f(5)m,试用 m 表示 f(5);(3)试判断 f(x)的奇偶性 (要写出推理过程)解:(1)取 xy0 得 f(0)2 f(0),f(0)0.取 xy1 得 f(2)2f(1)222.取 x2,y2 得 f(0)f(2)f(2),f(2)2.(2)取 x5,y5 得 f(0) f(5)f(5) f(5)m.(3)取 yx 得 f(0)f(x)f(x) ,f(x )f(x )从而 f(x)是奇函数