1、2.3.2 双曲线的几何性质课时过关能力提升1.如果双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,那么它的离心率为( )A.43.53C.2 D.3解析: 因为双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列 ,所以 4b=2a+2c,即 a+c=2b,再由a2+b2=c2 即可求得离心率 e=53.答案: B2.已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍 ,且一个 顶 点的坐 标为 (0,2),则 双曲 线 的 标 准方程 为 ( )A.2424=1.2424=1C.2428=1.2824=1解析: 由方程组 =2,2+2=22,2+2=2, 得 a=2,b=2.因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以双曲
2、线的标准方程为 2424=1.答案: B3.过点(2,- 2)且与 22y2=1有公共 渐 近 线 的双曲 线 方程 为 ( )A.24+22=1.2422=1C.22+24=1.2224=1解析: 由题意可设双曲线方程 R ,且 k0),又双曲线过点(2,-2), 代入即可求得为 22y2=k(kk,从而求出双曲线方程为 24+22=1.答案: A4.已知 F1,F2 是双曲线 C 的两个焦点,P 是双曲线右支上一点,且F 1PF2 是等腰直角三角形,则双曲线 C 的离心率为( )A.1 +2.2+2C.3 2.3+2解析: 因为F 1PF2 为等腰直角三角形,又|PF 1|PF2|,故必有
3、|F 1F2|=|PF2|,即 2c c2-2ac-a2=0,=2,从而得即 e2-2e-1=0,解:之,得 e=1 2.e1, e=1 +2.答案: A5.已知双曲线 9y2-m2x2=1(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 15,则 m=( )A.1 B.2 C.3 D.4解析: 双曲线 9y2-m2x2=1(m0),一个顶点 3y-mx=0.为 (0,13),一条 渐 近 线为由题意 m=4.知 , 132+2=15,解得答案: D6.双曲线 225216=1的 渐 近 线 方程 为 . 解析: 利用公式 y= y=x可得 渐 近 线 方程 为 54x.答案: y=54x7.已知双
4、曲线 2222=1的离心率 为 2,焦点与 椭圆 225+29=1的焦点相同 ,那么双曲 线 的焦点坐 标为 ;渐 近 线 方程 为 . 解析: 因为椭 (4,0),圆 225+29=1的焦点坐 标为所以双曲线的焦点坐标为( 4,0),即 c=4.又 =2,c2=a2+b2,所以 a=2,b2=12,所以双曲线方程为 24212=1.所以渐近线方程为 y=x=3x,即 3xy=0.答案: (4,0) 3xy=08.若双曲线 2+4+29=1的离心率 为 2,则 k的 值 是 . 解析: 利用双曲线的定义及离心率公式 ,可求得 k=-31.答案: -319.根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程
5、:(1)过点 P(3,2),离心率 e=52;(2)焦点在 x 轴上,F 1,F2 是双曲线的左、右焦点,P 是双曲线上的一点 ,F 1PF2=60,12=123,离心率 为 2.解: (1)若双曲线的焦点在 x 轴上,.设 2222=1(a0,b0)为 所求由 e=52,得 22=54. 由点 P(3, ,2)在双曲 线 上得 9222=1. 又 a2+b2=c2, 由,得 a2=1,b2=14.所求双曲线方程为 x2214=1.若双曲线的焦点在 y 轴上, .设 2222=1(a0,b0)为 所求同理有 22=54,2292=1,a2+b2=c2.解之,得 b2= ).172(舍去故所求双
6、曲线的标准方程为 x2214=1.(2)设双曲线的标准方程为2222=1(a0,b0),因为|F 1F2|=2c,而 e=2,由双曲线的定义,得|PF 1|-|PF2|=2a=c.由余弦定理,得(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF 1PF2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|PF2|(1-cos 60),所以 4c2=c2+|PF1|PF2|.又因 |PF2|sin 60=1为 12=12|PF1| 23,所以|PF 1|PF2|=48.所以 3c2=48,即 c2=16,由此得 a2=4,b2=12.故所求双曲线的标准方程为 24212=1.10.如图
7、所示,已知 F1,F2 为双曲PF 1F2=30.线 2222=1(a0,b0)的焦点 ,过 F2作垂直于 x轴 的直 线 交双曲 线 于点 P,且求双曲线的渐近线方程.分析: 由于双曲 y= ,可线 2222=1(a0,b0)的 渐 近 线 方程 为 x,故只需求出 的 值 即可以通过已知解 RtF1F2P 求得.解法一 设 F2(c,0)(c0),把 P(c,y0)代入方程得 y0=2,|PF 2| RtF1F2P 中,PF 1F2=30,=2.在|F 1F2| 2c=3|PF2|,即=32.c 2=a2+b2,b 2=2a2.=2.故所求双曲线的渐近线方程为 y= 2x.解法二 在 RtPF1F2 中,PF 1F2=30,|PF 1|=2|PF2|.由双曲线的定义知|PF 1|-|PF2|=2a,|PF 2|=2a.|F 1F2| =3|PF2|.2c= c2=3a2=a2+b2.2a 2=b2.23a,即=2.故所求双曲线的渐近线方程为 y= 2x.
