1、2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用【选题明细表】知识点、方法 题号利用向量解决垂直问题 1,2利用向量求夹角问题 6向量在解析几何中的应用 4,7,10向量在平面几何中的应用 3,5,8,9,111.已知 A(2,1),B(3,2),C(-1,4),则ABC 是( C )(A)等边三角形 (B)锐角三角形(C)直角三角形 (D)钝角三角形解析: =(1,1), =(-4,2), =(-3,3), 因为 =(1,1)(-3,3)=1(-3)+13=0, 所以 ,即 ABAC, 所以ABC 为直角三角形,故选 C.2.平面上有三个点 A(2,2),M(1,3),N(7,k).若AMN
2、 为直角三角形,那么 k 的值为( B )(A)6 或 7 或 9 (B)7 或 9(C)8 或 9 (D)7 或 8解析: =(-1,1), =(5,k-2), =(6,k-3), 若 =0,则(k-2)1+5(-1)=0,即 k=7,若 =0,则-6+k-3=0,即 k=9; 若 =0,则 30+(k-2)(k-3)=0,无解. 故选 B.3.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标为( D )(A)(1,5)或(5,-5)(B)(1,5)或(-3,-5)(C)(5,-5)或(-3,-5)(D)(1,5)或(-3,-5)或(5,-5)解析
3、:设 A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为 D,当 = 时,D(5,-5);当 = 时,D(-3,-5);当 = 时,D(1,5). 故选 D.4.以下各组向量中,可作为直线 3x-4y+9=0 的方向向量和法向量的是( C )(A)v=(3,4),n=(3,4)(B)v=(-4,3),n=(3,4)(C)v=(4,3),n=(3,-4)(D)v=(-3,4),n=(-4,3)解析:与向量(-B,A)平行的非零向量都可作为 Ax+By+C=0 的方向向量;与(A,B)平行的非零向量都可作为 Ax+By+C=0 的法向量,故选 C.5.(2017四川南充月考)如图,正六边形
4、 ABCDEF,有下列四个命题: + =2 ; =2 +2 ; = ; ( ) = ( ). 其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号) 解析: + = + = =2 ,所以对; 取 AD 的中点 O,则 =2 =2 +2 ,所以对; 设| |=1,则 = 2cos =3, 36 =21cos =1,所以不对; 3又 = =21cos =1=( )2, 3 =11cos =- ,所以对. 23 12故真命题的序号是.答案:6.ABC 中, =(3,-1), =(1,-2),则B= . 解析:因为 =(3,-1), =(1,-2), 所以 =31+(-1)(-2)=5, | |= = , 3
5、2+(1)2 10| |= = , 12+(2)2 5所以 cos= = ,5105 22又(0,),所以= ,4即B= .34答案:347.已知点 A( ,1),B(0,0),C( ,0),BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于3 3E(此时有 = ),则 = ,其中 等于 ( C )| (A)2 (B) (C)-3 (D)-12 13解析:由 = =2,|所以| |=2| |(如图). 从而| |=3| |,又 与 方向相反, 所以 =-3 ,故选 C. 8.已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 的 值为 , 的最大值为 . 解析:根据平面向量的数量积公式
6、 = =| | |cos ,由 图可知,| |cos =| |,因此 =| |2=1, = | | |cos =| |cos ,而| |cos 就是向量 在 边上射影 的数量,当 E 点与 B 点重合,射影为 ,其数量最大为 1.答案:1 19.(2017黄冈中学期中考试)已知三角形 ABC 的三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P 满足 + + = ,则ABP 与ABC 的面积比为 .解析:条件化为 + = + ,所以 + = ,所以 =-2 , 如图点 P 是 AC 边上靠近 A 的三等分点,所以 = = .13答案:1310.在ABC 中,A(4,1),B(7,5),C(-4,7),用向
7、量法求A 的平分线所在直线的方程.解:法一 向量 =(7,5)-(4,1)=(3,4), =(-4,7)-(4,1)=(-8,6),从 而A 的平分线的一个方向向量为 + =( , )+(- , )=(- , ),则| 3545 4535 1575A 的平分线方程可设为 x+ y+m=0,将点(4,1)代入,得 m=- ,整理75 15 295得 7x+y-29=0,即A 的平分线所在直线的方程为 7x+y-29=0.法二 设 =(,)为 A 的平分线所在直线的一个方向向量,则有= ,由 =(3,4)、 =(-8,6)可得 + =- + ,即| 35 45 45 357+=0,令 =-1,则 =7,则 =(-1,7),从而A 的平分线所在直线的方程为 = ,即 7x+y-29=0.41 1711.如图,已知ABC 的三边 BC,AC,AB 分别为 a,b,c,在圆 A 中,直径PQ=2r,问 P,Q 在什么位置时, 有最大值? 解: =( - )( - )=( - )(- - )=-r2+ - + =-r2+ + =-r2+arcos+bccosBAC,因为 a,b,c,r,BAC 均为定值,所以 cos=1,即 PQBC 时, 有最大值 .
