1、2019 年高考数学(理科)模拟试卷(二)(本试卷分第卷和第卷两部分满分 150 分，考试时间 120 分钟)第卷(选择题 满分 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2017 年广东广州一模)若集合 M x|x|1 ，N y|yx 2，| x|1，则( )AMN BMN CNM DMN2 “10”的( )2A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3(2017 年山东)已知 aR，i 是虚数单位，若 za i，z 4，则 a( )3 zA1 或1 B. 或 7 7C D.3 34
2、已知平面向量 a(1,2)，b( 2，k )，若 a 与 b 共线，则 ( )|3a b|A3 B4 C. D555函数 y x2ln x 的单调递减区间为( )12A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)6(2017 年河南洛阳三模)利用如图 M21所示的算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆 x2y 2 25 内的个数为( )图 M21A2 个 B3 个 C4 个 D5 个7(2017 年广东惠州三模)某个几何体的三视图如图 M22，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积是( )图 M22A4 B. C. D20283 4438已知 F1，F 2 分别为双曲线
3、E： 1(a0，b0)的左、右焦点，离心率为 ，过x2a2 y2b2 53原点的直线 l 交双曲线左、右两支分别于 A，B，若|BF 1| |AF1|6，则该双曲线的标准方程为( )A. 1 B. 1x29 y216 x218 y232C. 1 D. 1x29 y225 x236 y2649若函数 f(x)Error!的最小值为 f(0)，则实数 a 的取值范围是 ( )A1,2 B1,0C1,2 D 0,210(2017 年广东惠州三模)已知函数 f(x)sin(x )(0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，焦距为 2c，若直线x2a2 y2b2y (xc) 与椭圆 的一个交点 M 满
4、足MF 1F22MF 2F1，则该椭圆的离心率等于3_14(2017 年山东)已知(1 3x) n 的展开式中含有 x2 项的系数是 54，则n_.15已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为 BB1， CC1 的中点，那么异面直线AE 与 D1F 所成角的余弦值为_16(2017 年广东惠州三模)已知在ABC 中，AC ，BC ，ACB ，若线段2 66BA 的延长线上存在点 D，使 BDC ，则 CD_.4三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分 12 分)(2017 年广东惠州三模)已知等差数列a n满足(a 1a 2)(a 2a 3
5、)( ana n1 )2n( n1)(nN *)(1)求数列a n的通项公式；(2)求数列 的前 n 项和 Sn.an2n 118(本小题满分 12 分)(2017 年天津)从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， .1213 14(1)设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；(2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率19(本小题满分 12 分)(2017 年广东湛江二模)如图 M23，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，二面角 AA1BC 是直二面角，ABB
6、C 2，点 M 是棱 CC1 的中点，三棱锥 MBCA1 的体积为 1.(1)证明：BC平面 ABA1；(2)求直线 MB 与平面 BCA1 所成角的正弦值图 M2320(本小题满分 12 分)(2017 年广东汕头一模)已知 O 为坐标原点，圆 M：(x1)2y 216，定点 F(1,0)，点 N 是圆 M 上一动点，线段 NF 的垂直平分线交圆 M 的半径 MN于点 Q，点 Q 的轨迹为 E.(1)求曲线 E 的方程；(2)已知点 P 是曲线 E 上但不在坐标轴上的任意一点，曲线 E 与 y 轴的交点分别为B1，B 2，直线 B1P 和 B2P 分别与 x 轴相交于 C，D 两点，请问线段
7、长之积 |OC|OD|是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由；(3)在(2)的条件下，若点 C 坐标为(1,0) ，设过点 C 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，求ABD 面积的最大值21(本小题满分 12 分)(2017 年广东深圳一模)已知函数 f(x)x ln x，e 为自然对数的底数(1)求曲线 yf(x )在 xe 2 处的切线方程；(2)关于 x 的不等式 f(x) (x1)在(0 ，)上恒成立，求实数 的值；(3)关于 x 的方程 f(x)a 有两个实根 x1，x 2，求证：| x1x 2|0，tan x0，即(x1)tan x0，反之不成立故2选 A.3A 解
8、析：由 za i，z 4，得 a234，所以 a1.故选 A.3 z4C 5.B6C 解析：由程序框图知，i6 时，打印第一个点(3,6)，在圆 x2y 225 外，i5 时，打印第二个点(2,5)，在圆 x2y 225 外，i4 时，打印第三个点(1,4)，在圆 x2y 225 内，i3 时，打印第四个点(0,3)，在圆 x2y 225 内，i2 时，打印第五个点(1,2)，在圆 x2y 225 内，i1 时，打印第六个点(2,1)，在圆 x2y 225 内，打印的点在圆 x2y 225 内的有 4 个故选 C.7B 解析：由三视图可知该几何体为棱长均为 2 的正三棱柱设球心为 O，小圆的圆
9、心为 O1，球的半径为 R，小圆的半径为 r，则 R2r 2 O1O2.即 R2 21 .S(23 3) 73.故选 B.2838A 9.D10B 解析：2, f(x)sin(2x)向左平移 个单位长度后得到的函数是 ysin3，其图象过(0,1) ， sin 1. 1 时，(*)式为x ax ， x a ，2x x2 2x 32 2x x2 2x又 x 2 ，当 x 时取等号；32 2x (32x 2x) 3 2 33 2 2，当 x 2 时取等号，x2 2x x22x所以2 a2.3综上所述，a 的取值范围是 a2.故选 A.471613. 1 解析：由直线方程 y (xc)直线与 x 轴
10、的夹角 MF1F2 ，且过点3 33F1( c,0)， MF1F22MF 2F1 ， MF2F1 .F1MF2 .即 F1MF 2M.在 Rt3 6 2F1MF2中， |F1F2|2c ，|F 1M|c，|F 2M| c.由椭圆的第一定义可得 2ac c， 3 3ca 1.21 3 3144 解析：由二项式定理的通项公式 Tr1 C (3x)rC 3rxr，令 r2，得rn rnC 3254. 解得 n4.2n15.3516. 解析：因为线段 BA 的延长线上存在点 D，使BDC ， ACB ，所以34 6AB2AC 2BC 22ACBCcos 2，即 AB .所以 ABAC.所以B ACB
11、.在6 2 6BCD 中，根据正弦定理 CD .BCsin D CDsin B 622 CD12 317解：(1)设等差数列a n的公差为 d，由已知，得Error!即Error!所以Error! 解得Error!所以 an2n1.(2)由(1)，得 .an2n 1 2n 12n 1所以 Sn1 ， 321 522 2n 32n 2 2n 12n 1Sn . 12 12 322 523 2n 32n 1 2n 12n，得 Sn11 3 .12 12 122 12n 2 2n 12n 2n 32n所以 Sn6 .4n 62n18(1)解：随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X0)
12、 ，(1 12) (1 13) (1 14) 14P(X1) ，12 (1 13) (1 14) (1 12) 13 (1 14) (1 12) (1 13) 14 1124P(X2) ，(1 12) 13 14 12 (1 13) 14 12 13 (1 14) 14P(X3) .12 13 14 124所以随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 3P 14 1124 14 124随机变量 X 的数学期望 E(X)0 1 2 3 .14 1124 14 124 1312(2)设 Y 表示第 1 辆车遇到红灯的个数， Z 表示第 2 辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(XZ1) P(Y
13、 0，Z 1)P(Y 1，Z0)P(Y 0)P(Z1)P (Y1)P(Z0) .14 1124 1124 14 1148所以这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 .114819(1)证明：过 A 在平面 ABA1内作 AHA 1B，垂足为 H，如图 D207.由题可知平面 ABA1平面 BCA1，且平面 ABA1平面 BCA1BA 1，AH平面 BCA1.又 BC平面 BCA1，AH BC.由题直三棱的性质可知 AA1BC，AA 1AH A .BC平面 ABA1.图 D207(2)解：设 AA1a，而 1.1AMBCV1A由(1)知 ABBC，结合直棱柱的性质知 AB平面 BCM.AA1平面
14、 BCM，A1到平面 BCM 的距离等于 AB2，得 ABSBCM 1a3.1MBCV13 23 (122a2) a3以 B 为原点，BC，BA ，BB 1分别作为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系则 M ， C(2,0,0)，A 1(0,2,3)(2，0，32)则 ， (2,0,0)， (0,2,3)BM (2，0，32) BC BA1 设平面 BCA1的法向量为 n (x，y，z)，则有Error!令 y3，得一个法向量 n(0，3,2) cos ，n .BM BM n|BM |n|322 (32)2 32 22 61365故直线 MB 与平面 BCA1所成角的正弦值为 .61
15、36520解：(1)依题意，可得圆 M 的圆心坐标为 M(1,0) ，半径为 r4，| QN| QF|，则|QN| | QM| QF|QM|r4|MF | .根据椭圆定义，曲线 E 是以 M(1,0)，F(1,0)为焦点，长轴长为 4 的椭圆设其方程为 1(ab0)，x2a2 y2b22a4,2c2，即 a2，c 1.b .a2 c2 3曲线 E 的方程为 1.x24 y23(2)设点 P(x0， y0)，直线 B1P 方程为y x ，y0 3x0 3令 y0，得 xC ，同理可得 xD .3x03 y0 3x03 y0|OC|OD|x C|xD| .|3x03 y0| | 3x03 y0|
16、| 3x203 y20|点 P 是点 E 上且不在坐标轴上的任意一点， 1.x204 y2033x 124y 4(3y )20 20 20|OC|OD| 4.|3x203 y20| |43 y203 y20|OC|OD|的定值为 4.(3)当点 C 的坐标为( 1,0)时，点 D(4,0)，|CD| 3.设直线 l 的方程为 xmy 1，A (x1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立Error! 消去 x 并整理，得(3m 24) y26my90.解得 y1 ，y 2 .3m 6m2 13m2 4 3m 6m2 13m2 4|y1y 2| .12m2 13m2 4SABD |CD|y1y 2
17、| .12 32 12m2 13m2 4 18m2 13m2 4 183m2 1 1m2 1m20， 1.m2 1又 y3x 在1，)上为增函数1x3 31 4.S .m2 11m2 1 11 184 92当 m0，即直线 AB 的方程为 x1 时，ABD 的面积最大，最大值是 .9221(1)解：对函数 f(x)求导得 f(x)ln xx ln x1，1xf(e 2 )ln e 2 11.又 f(e2 )e 2 ln e2 2e 2 ，曲线 yf( x)在 xe 2 处的切线方程为 y(2e 2 )( xe 2 )，即 yxe 2 .(2)解：记 g(x)f( x)(x 1)xln x(x1
18、)，其中 x0，由题意知 g(x)0 在(0，)上恒成立，即 g(x)min0.对 g(x)求导得 g(x )ln x 1.令 g(x) 0，得 xe 1 .当 x 变化时，g( x)，g( x)变化情况列表如下：x (0，e 1 ) e1 (e1 ，)g(x) 0 g(x) 极小值 g(x)ming(x) 极小值 g(e 1 )(1)e 1 (e 1 1) e 1 .e 1 0.记 G()e 1 ，则 G() 1e 1 .令 G( )0，得 1.当 变化时，G( )，G( )变化情况列表如下： (0,1) 1 (1，)G() 0 G() 极大值 G()maxG() 极大值 G(1) 0.故
19、e 1 0，当且仅当 1 时取等号又 e 1 0，从而得到 1.(3)证明：先证 f(x)xe 2 ，记 h(x)f(x) (xe 2 )xln xxe 2 ，则 h(x) ln x2.令 h(x) 0，得 xe 2 .当 x 变化时，h( x)，h( x)变化情况列表如下：x (0，e 2 ) e2 (e2 ，)h(x) 0 h(x) 极小值 h(x)minh(x) 极小值 h(e 2 )e 2 ln e2 e 2 e 2 0.h(x)0 恒成立，即 f(x) xe 2 .记直线 yxe 2 ，yx1 分别与 ya 交于点(x 1，a)，( x2，a)，不妨设 x1x2，则 ax 1 e2
20、f(x 1)x 1e 2 .从而 x1x 1，当且仅当 a2e 2 时取等号由(2)知，f(x) x1，则 ax 21f (x2)x 21.从而 x2x 2，当且仅当 a0 时取等号故|x 1x 2|x 2x 1x 2x 1(a1) (ae 2 )2a1e 2 .因等号成立的条件不能同时满足，故|x 1x 2|2a1e 2 .22解：(1)由Error!消去 t，得 xy40.所以直线 l 的普通方程为 xy40.由 2 cos 2 2cos 2sin ，得 22 cos 2 ( 4) 2(cos cos 4 sin sin 4)2 sin .将 2x 2y 2，cos x，sin y 代入上
21、式，得曲线 C 的直角坐标方程为 x2y 22x2y, 即(x1) 2(y1) 22.(2)方法一，设曲线 C 上的点为 P(1 cos ，1 sin )，则点 P 到直线 l 的距离为2 2d|1 2cos 1 2sin 4|2| 2sin cos 2|2 .|2sin( 4) 2|2当 sin 1 时， dmax2 .( 4) 2所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 2 .2方法二，设与直线 l 平行的直线为 l：xyb0.当直线 l与圆 C 相切时， 得 ，|1 1 b|2 2解得 b0 或 b4(舍去)所以直线 l的方程为 xy0.所以直线 l 与直线 l的距离为 d 2 .|0 4|2 2所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 2 .223解：(1)当 a1 时，f (x)6，即|2 x1| |2x3|6，即Error! 或Error!或Error! 2x 或 x 或 x1.32 32 12 12 2x1.不等式 f(x)6 的解集为Error!2 xError!.(2)对任意 x1R，都有 x2R，使得 f(x1)g(x 2)成立，则有 y|yf (x)y|yg( x)又 f(x)|2xa|2 x3| |(2 xa)(2 x3)| a3|，g(x)|x1|22，从而|a 3|2，解得 a5 或 a1.故实数 a 的取值范围为( ，5 1，)
