1、 第四章 曲线运动与万有引力定律1.掌握曲线运动的概念、特点及条件；掌握运动的合成与分解法则。2.掌握平抛运动的特点和性质；掌握研究平抛运动的方法，并能应用解题3.掌握描述圆周运动的物理量及其之间的关系；理解向心力公式并能应用；了解物体做离心运动的条件。4. 万有引力定律在天体中的应用，如分析人造卫星的运行规律、计算天体的质量和密度等，是高考必考内容以天体问题为背景的信息给予题，更是受专家的青睐在课改区一般以选择题的形式呈现5.单独命题常以选择题的形式出现；与牛顿运动定律、功能关系、电磁学知识相综合常以计算题的形式出现。平抛运动的规律及其研究方法、近年考试的热点，且多数与电场、磁场、机械能等知
2、识结合制成综合类试题。圆周运动的角速度、线速度及加速度是近年高考的热点，且多数与电场、磁场、机械能等知识结合制成综合类试题，这样的题目往往难度较大。第 17 讲 万有引力定律与航天1.掌握万有引力定律的内容、公式及其应用.2.理解环绕速度的含义并会求解.3.了解第二和第三宇宙速度一、万有引力定律及其应用1内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1 和 m2的乘积成正比、与它们之间距离 r 的二次方成反比2表达式： ，G 为引力常量：G 6.6710 11 Nm2/kg2.21mF3适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用当两物体间的距离远远大于
3、物体本身的大小时，物体可视为质点(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离二、环绕速度1第一宇宙速度又叫环绕速度推导过程为：由 得： 7.9 km/s.rmvMGg212gRrGM2第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度3第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度特别提醒 1.两种周期自转周期和公转周期的不同2两种速度环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度3两个半径天体半径 R 和卫星轨道半径 r 的不同三、第二宇宙速度和第三宇宙速度1第二宇宙速度(脱离速度)：v 211.2 km/s ，使物体挣脱地球引力
4、束缚的最小发射速度2第三宇宙速度(逃逸速度)：v 316.7 km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度考点一 天体质量和密度的计算1解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 marvTmrrMG2222)(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即 （g 表示天体表面的重力加速度) 2RMmG(2)利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度：在行星表面重力加速度： ，所以2RMGmg2Rg在离地面高为 h 的轨道处重力加速度： ，得2)(hm 2)(hRGg2天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度 g 和天体
5、半径 R.由于 ，故天体质量2RMmGgG2天体密度： V43(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径 r.由万有引力等于向心力，即 ，得出中心天体质量 ；rmr22)(234GTrM若已知天体半径 R，则天体的平均密度32RGTrVM若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度2重点归纳1.黄金代换公式(1)在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度 g 时，常运用 GMgR 2 作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来由于这种代换的作用很大，此
6、式通常称为黄金代换公式2. 估算天体问题应注意三点(1)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为 24 h，公转周期为 365 天等(2)注意黄金代换式 GMgR 2 的应用(3)注意密度公式 的理解和应用3GT典型案例“嫦娥一号” 卫星成功撞击月球， “嫦娥一号”卫星撞月前在离月球表面 高度（约 200km）的轨道上h绕月球运行，经减速、下落等过程完成了撞月的壮举，在卫星撞月前和撞月过程中科学家收集了下列数据：卫星绕月球运行的周期 ；卫星绕月球做圆周运动的线速度 v1；卫星从减速开始到撞击月球表面所用的时间 t1；卫星撞击月球表面时的速度 v2。已知万有引力常量为 ，试根据上述测量数据
7、求：G（1）月球半径 R；（2）月球的质量 M 月 ；（3）设卫星在靠近月球时垂直其表面加速下降，则卫星在撞击月球表面前一小段时间 t 内的位移 x 多大。【答案】 （1） （2） （3）vTh1vTG3212vTtth解得： 312vTMG月（3）卫星在月球表面重力近似等于万有引力，设月球表面的重力加速度为 g 月 ，有： 2MmGgR月 月解得： 312vTgh月卫星在最后 t 时间内的位移，用逆过程可以看成是以初速度 v2 做匀减速运动，则 t 时间内的位移为32212 vtxvtgttTh月针对练习 1若银河系内每个星球贴近其表面运行的卫星的周期用 T 表示,被环绕的星球的平均密度用
8、表示. 与 的关系图象如图所示,已知万有引力常量 .则该图象的斜率约为( )2T 126.70Nm/kgGA 1027Nm/kgB C 122/D 370kg【答案】 C【点睛】熟练掌握利用万有引力定律求得中心天体的质量，知道球的体积公式是正确解题的关键。针对练习 2为了研究某彗星，人类先后发射了两颗人造卫星。卫星 A 在彗星表面附近做匀速圆周运动，运行速度为 v,周期为 T;卫星 B 绕彗星做匀速圆周运动的半径是彗星半径的 n 倍。万有引力常量为 G,则下列计算不正确的是( )A 彗星的半径为2B 彗星的质量为34C 彗星的密度为32D 卫星 B 的运行角速度为23【答案】 B【点睛】本题要
9、掌握卫星绕行星表面做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，可以计算出中心天体即行星的质量，再根据密度的定义式可计算出 行星的密度。考点二 卫星运行参量的比较与运算1卫星的动力学规律由万有引力提供向心力， marvTmrrMG2222)(2卫星的各物理量随轨道半径变化的规律； ； ；rv3rT32rGMa(1)卫星的 a、v、 、T 是相互联系的，如果一个量发生变化，其它量也随之发生变化；这些量与卫星的质量无关，它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定(2)卫星的能量与轨道半径的关系：同一颗卫星，轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大3极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，
10、由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为 7.9 km/s.(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心重点归纳1利用万有引力定律解决卫星运动的一般思路(1)一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型(2)两组公式卫星运动的向心力来源于万有引力： marvTmrrMG2222)(在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即 ： (g 为星体表面处的重力加速度)2RMG2卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系 减 小增 大减 小减 小增 大 时当 半 径
11、 aTvrrGMaTrGv 23典型案例宇航员在一行星上以速度 竖直上抛一质量为 m 的物体，不计空气阻力，经 后落回手中，已知0v 2s该星球半径为 R；（1）求出该星球的第一字宙速度的大小?（2）求出该星球的第二宇宙速度的大小?已知取无穷远处引力势能为零时，物体距星球球心距离 时的引力势能r为: （G 为万有引力常量）pmMEr【答案】 （1） （2）0vR0vR【解析】 （1）由题意可知星球表面重力加速度为： 0=2tvg则 02vgt，得到： 1mR10vgRv（2）设第二宇宙速度为 ，由机械能守恒可得：2210mMvGR解得： 22gv故本题答案是：（1） ；（2）10R20vR点睛
12、：要利用机械能守恒求第二宇宙速度。针对练习 1设想在地面上通过火箭将质量为 m 的人造小飞船送入预定轨道，至少需要做功 W。若预定轨道半径为 r，地球半径为 R，地球表面处的重力加速度为 g，忽略空气阻力，不考虑地球自转的影响。取地面为零势能面，则下列说法正确的是A 地球的质量为 B 小飞船在预定轨道的周期为2 232C 小飞船在预定轨道的动能为 D 小飞船在预定轨道的势能为22 22【答案】 D【解析】A、在地球表面处有 ，解得地球的质量为 ，故 A 错误；2 = =2针对练习 2设想在月球上发射一颗绕月卫星，经变轨后由原来的椭圆 I 轨道变为圆轨道 II，如图所示。则下列说法正确的是 (
13、)A 卫星在轨道 II 上的运行速度小于 79km/sB 卫星在轨道 I 上通过 P 点的速度和轨道 II 上通过 P 点的速度大小相等C 变轨后卫星的机械能较原来变小D 在轨道 I 上运动时卫星在近地点的重力势能大于在远地点的重力势能【答案】 A故选 A考点三 宇宙速度 卫星变轨问题的分析1第一宇宙速度 v17.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度2第一宇宙速度的两种求法：(1) ，所以rmMG212rGM1(2) ，所以 .vg1gR13第二、第三宇宙速度也都是指发射速度4.当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用) ，万有引
14、力不再等于向心力，卫星将变轨运行：(1)当卫星的速度突然增加时， ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的rmvMG22圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由 可知其运行速度比原轨道时减小rGMv(2)当卫星的速度突然减小时， ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来rmvMG22的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由 可知其运行速度比原轨道时增大rv卫星的发射和回收就是利用这一原理重点归纳1.处理卫星变轨问题的思路和方法（1）要增大卫星的轨道半径，必须加速；（2）当轨道半径增大时，卫星的机械能随之增大2.卫星变轨问题的判断：(
15、1)卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大(2)卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小(3)圆轨道与椭圆轨 道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同.3.特别提醒:“ 三个不同”（1）两种周期自转周期和公转周期的不同（2）两种速度环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度（3）两个半径天体半径 R 和卫星轨道半径 r 的不同典型案例如图所示， “嫦娥三号”从环月圆轨道 I 上的 P 点实施变轨进入椭圆轨道 II ,再由近月点 Q 开始进行动力下降，最后于 2013 年 12 月 14 日成功落月。下列说法正确的是( )A 沿轨道 II 运
16、行的周期大于沿轨道 I 运行的周期B 沿轨道 I 运行至 P 点时，需制动减速才能进人轨道 IIC 沿轨道 II 运行时，在 P 点的加速度大于在 Q 点的加速度D 沿轨道 II 运行时，由 P 点到 Q 点的过程中万有引力对其做负功【答案】 B【解析】根据开普勒第三定律 k，可得半长轴 a 越大，运动周期越大，显然轨道的半长轴（半径）大于轨32道的半长轴，故沿轨道运动的周期小于沿轨道 运动的周期，故 A 错误；沿轨道运动至 P 时，制动减速，万有引力大于向心力做向心运动，做近心运动才能进入轨道故 B 正确；根据 G ma 得：a= ，沿轨道2 2运行时，在 P 点的加速度小于在 Q 点的加速
17、度，故 C 错误；在轨道上由 P 点运行到 Q 点的过程中，万有引力方向与速度方向成锐角，万有引力对其做正功，故 D 错误。故选 B。点睛：本题要注意：由高轨道变轨到低轨道需要减速，而由低轨道变轨到高轨道需要加速，这一点在解决变轨问题时要经常用到，一定要注意掌握根据 F=ma 所求的加速度 a 是指物体的合加速度，即包括向心加速度也包括切向加速度针对练习 1假设将来人类登上了火星，航天员考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时，经历了如图所示的变轨过程，则有关这艘飞船的说法，下列正确的是( )A 飞船在轨道上运动到 P 点的速度大于在轨道上运动到 P 点的速度B 飞船绕火星在轨道上运动的周
18、期跟飞船返回地面的过程中绕地球以与轨道同样的轨道半径运动的周期相同C 飞船在轨道上运动到 P 点时的加速度大于飞船在轨道上运动到 P 点时的加速度D 飞船在轨道上运动时 ，经过 P 点时的速度大于经过 Q 点时的速度【答案】 D【解析】【分析】，虽然 r 相等，但是由于地球和火星的质量不等，所以周期 T 不相等，故 B 错误。飞船在轨道上=23运动到 P 点时与飞船在轨道上运动到 P 点时受到的万有引力大小相等，根据牛顿第二定律可知加速度必定相等，故 C 错误。根据开普勒行星运动定律可知，飞船在轨道上运动时，在近地点 P 点速度大于在 Q 点的速度。故 D 正确。故选 D。【点睛】本题主要考查
19、了飞船变轨问题，解题的关键就是飞船从低轨道到高轨道必有点火加速度，做离心运动；而圆轨道则做匀速度圆周运动，由万有引力提供向心力即可分析求解。针对练习 2如图所示， “嫦娥二号”奔月卫星到达月球附近经近月制动后，进入椭圆轨道 a。再经过多次轨道调整，进入近月圆轨道 b，轨道 a 和 b 相切于 P 点。下列说法正确的是A “嫦娥二号”卫星的发射速度大于 7.9km/s，小于 11.2km/sB “嫦娥二号”卫星的发射速度大于 11.2km/sC “嫦娥二号”卫星在 a、b 轨道经过 P 点的速度 va=vbD “嫦娥二号”卫 星在 a、b 轨道经过 P 点的加速度分别为 aa、a b，则 aaO
20、B，则A 星球 A 的质量一定不大于星球 B 的质量B 星球 A 的线速度一定小于星球 B 的线速度C 双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越大D 双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大【答案】 AD【解析】【分析】双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，根据向心力公式判断质量关系，根据 判断线=速度关系 根据万有引力提供向心力公式得出周期与总质量、距离之间的关系式，然后判断即可【详解】双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，根据万有引力提供向心力公式得：，因为 ， 所以 ，即 A 的质量一定小于 B 的质量，故 A 正确；双星122 =121=22
21、2 靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，根据 可知，星球 A 的线速度一定大于星球 B 的线=速度，故 B 错误；根据万有引力提供向心力公式得： ，解得周期为122 =1(2)21=2(2)22，由此可知双星的总质量一定，转动周期越小，故 C 错误；根据 ，由此=2 3(1+2) =2 3(1+2)可知，若双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大，故 D 正确。故选 AD。【点睛】解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度以及会用万有引力提供向心力进行求解针对练习 1（多选）如图所示，两颗靠得很近的天体组合为双星，它们以两者连线上的某点为圆心，做
22、匀速圆周运动，以下说法中正确的是( )A 它们做圆周运动的角速度大小相等B 它们做圆周运动的线速度大小相等C 它们的轨道半径与它们的质量成反比D 它们的轨道半径与它们的质量的平方成反比【答案】 AC针对练习 2现代观测表明，由于引力 的作用，恒星有“ 聚焦”的特点，众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，这样就不至于由于万有引力的作用而吸引在一起如图所示，设某双星系统中的两星 S1、 S2 的质量分别为 m 和 2m，两星间距为 L，在相互间万有引力的作用下，绕它们连线上的某点 O 转动已知引力常量 G，求：（1） S1、 S2 两星之间的万有引力大小；（2） S2 星到 O 点的距离；（3）它们运动的周期【答案】 （1） （2） （3）222 13 计算得出 ，即 =2 =13（3）双星周期为=
