三角函数与解三角形高考试题精选.doc

1、第 1 页（共 27 页）三角函数与解三角形高考试题精选一解答题（共 31 小题）1在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2（tanA+tanB）= + （）证明：a+b=2c ； （）求 cosC 的最小值2在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a， b，c已知 asinA=4bsinB，ac= （a 2b2c2） （）求 cosA 的值； （）求 sin（2B A）的值3ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC（acosB+bcosA）=c（）求 C； （）若 c= ，ABC 的面积为 ，求ABC 的周长第 2 页（共

2、27 页）4在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c已知 cosA= ，sinB= C（1）求 tanC 的值； （2）若 a= ，求ABC 的面积5在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别是 a，b，c，且 + = （）证明：sinAsinB=sinC ； （）若 b2+c2a2= bc，求 tanB6在ABC 中，已知 AB=2，AC=3 ，A=60（1）求 BC 的长； （2）求 sin2C 的值7在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a， b，c，已知ABC 的面积为 3 ，bc=2，cosA=（）求 a 和 sinC 的值； （）求 cos（2A+

3、）的值第 3 页（共 27 页）8ABC 的内角 A，B， C 所对的边分别为 a，b，c向量 =（a， b）与 =（cosA，sinB ）平行（）求 A； （）若 a= ，b=2 ，求ABC 的面积9设ABC 的内角 A，B ，C 所对边的长分别为 a， b，c，且 b=3，c=1，ABC 的面积为 ，求cosA 与 a 的值10如图，在平面四边形 ABCD 中，DAAB，DE=1，EC= ，EA=2 ，ADC= ，BEC= （）求 sinCED 的值； （）求 BE 的长11在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知 b+c=2acosB（）证明：A=2B； （）

4、若ABC 的面积 S= ，求角 A 的大小第 4 页（共 27 页）12在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知 A= ，b 2a2= c2（1）求 tanC 的值； （2）若ABC 的面积为 3，求 b 的值13在ABC 中，内角 A、B 、C 所对的边分别是 a、b 、c，且 a+b+c=8（）若 a=2，b= ，求 cosC 的值； （）若 sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC，且ABC 的面积 S= sinC，求 a 和 b 的值14ABC 的内角 A，B， C 所对应的边分别为 a，b ，c（）若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA +s

5、inC=2sin（A +C） ；（）若 a，b，c 成等比数列，求 cosB 的最小值15ABC 的内角 A、B、 C 所对的边分别为 a，b， c（）若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA +sinC=2sin（A +C） ；（）若 a，b，c 成等比数列，且 c=2a，求 cosB 的值第 5 页（共 27 页）16四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补，AB=1 ，BC=3，CD=DA=2（1）求 C 和 BD；（2）求四边形 ABCD 的面积17ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c ，已知 sin（A+C）=8sin 2 （1）求 cosB；（2）若 a+c=

6、6，ABC 的面积为 2，求 b18在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知 b+c=2acosB（1）证明：A=2B； （2）若 cosB= ，求 cosC 的值19设ABC 的内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、 c，a=btanA，且 B 为钝角（）证明：BA= ； （）求 sinA+sinC 的取值范围第 6 页（共 27 页）20ABC 中，角 A，B， C 所对的边分别为 a，b， c，已知 cosB= ，sin（A+B）= ，ac=2 ，求 sinA 和 c 的值21设ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b， c，a=btanA（）证

7、明：sinB=cosA；（）若 sinCsinAcosB= ，且 B 为钝角，求 A，B，C22ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分BAC，ABD 面积是ADC 面积的 2 倍（1）求 ； （2）若 AD=1，DC= ，求 BD 和 AC 的长23已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC（）若 a=b，求 cosB； （）设 B=90，且 a= ，求ABC 的面积第 7 页（共 27 页）24ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分BAC，BD=2DC（） 求 （） 若BAC=60，求B25在ABC 中，内角 A，B ，C

8、 所对的边分别为 a，b ，c，已知 ac= b，sinB= sinC，（）求 cosA 的值； （）求 cos（2A ）的值26ABC 中，角 A，B， C 所对的边分别为 a，b， c已知 a=3，cosA= ，B=A+ （）求 b 的值； （）求ABC 的面积27在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是 a，b， c（1）若 sin（A+ ）=2cosA，求 A 的值 （2）若 cosA= ，b=3c，求 sinC 的值28在ABC 中，角 A，B ，C 的对边是 a，b，c，已知 3acosA=ccosB+bcosC（1）求 cosA 的值（2）若 a=1，cosB+cosC= ，

9、求边 c 的值第 8 页（共 27 页）29在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c，且 bsinA= acosB（1）求角 B 的大小；（2）若 b=3，sinC=2sinA，分别求 a 和 c 的值30在ABC 中，a=3，b=2 ，B=2A（）求 cosA 的值；（）求 c 的值第 9 页（共 27 页）三角函数与解三角形高考试题精选参考答案与试题解析一解答题（共 31 小题）1在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2（tanA+tanB）= + （）证明：a+b=2c ；（）求 cosC 的最小值【解答】解：（）证明：由 得：；两边同乘以

10、cosAcosB 得，2（sinAcosB +cosAsinB）=sinA+sinB；2sin（A+B）=sinA+sinB；即 sinA+sinB=2sinC（1） ；根据正弦定理， ； ，带入（1）得： ；a +b=2c；（）a+b=2c ；（a +b） 2=a2+b2+2ab=4c2；a 2+b2=4c22ab，且 4c24ab，当且仅当 a=b 时取等号；又 a，b0 ； ；由余弦定理， = ；cosC 的最小值为 2在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a， b，c已知 asinA=4bsinB，ac= （a 2b2c2） （）求 cosA 的值；第 10 页（共 27

11、页）（）求 sin（2BA）的值【解答】 （）解：由 ，得 asinB=bsinA，又 asinA=4bsinB，得 4bsinB=asinA，两式作比得： ，a=2b 由 ，得 ，由余弦定理，得 ；（）解：由（） ，可得 ，代入 asinA=4bsinB，得 由（）知，A 为钝角，则 B 为锐角， 于是 ， ，故 3ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC（acosB+bcosA）=c（）求 C；（）若 c= ，ABC 的面积为 ，求ABC 的周长【解答】解：（）在ABC 中，0C，sinC0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB +sinB

12、cosA）=sinC ，整理得：2cosCsin（A+B ）=sinC，即 2cosCsin（ （A+B） ）=sinC2cosCsinC=sinCcosC= ，C= ；（）由余弦定理得 7=a2+b22ab ，（a +b） 23ab=7，第 11 页（共 27 页）S= absinC= ab= ，ab=6，（a +b） 218=7，a +b=5，ABC 的周长为 5+ 4在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c已知 cosA= ，sinB= C（1）求 tanC 的值；（2）若 a= ，求ABC 的面积【解答】解：（1）A 为三角形的内角，cosA= ，sinA= = ，又

13、 cosC=sinB=sin（A+C ）=sinAcosC+cosAsinC= cosC+ sinC，整理得： cosC= sinC，则 tanC= ；（2）由 tanC= 得：cosC= = = = ，sinC= = ，sinB= cosC= ，a= ，由正弦定理 = 得：c= = = ，则 SABC = acsinB= = 5在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别是 a，b，c，且 + = （）证明：sinAsinB=sinC ；（）若 b2+c2a2= bc，求 tanB第 12 页（共 27 页）【解答】 （）证明：在ABC 中， + = ，由正弦定理得： ， = ，sin （A

14、+B）=sinC整理可得：sinAsinB=sinC ，（）解：b 2+c2a2= bc，由余弦定理可得 cosA= sinA= ， =+ = =1， = ，tanB=46在ABC 中，已知 AB=2，AC=3 ，A=60（1）求 BC 的长；（2）求 sin2C 的值【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC 2=AB2+AC22ABACcosA=4+9223 =7，所以 BC= （2）由正弦定理可得： ，则 sinC= = = ，ABBC，BC= ，AB=2，角 A=60，在三角形 ABC 中，大角对大边，大边对大角， 2，角 C角 A，角 C 为锐角sinC 0 ，cosC0 则 cosC=

15、 = = 因此 sin2C=2sinCcosC=2 = 7在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a， b，c，已知ABC 的面积为 3 ，bc=2，cosA=（）求 a 和 sinC 的值；（）求 cos（2A+ ）的值【解答】解：（）在三角形 ABC 中，由 cosA= ，可得 sinA= ，ABC 的面积为 3 ，可得：第 13 页（共 27 页），可得 bc=24，又 bc=2，解得 b=6，c=4，由 a2=b2+c22bccosA，可得 a=8，解得 sinC= ；（）cos（2A+ ）=cos2Acos sin2Asin = = 8ABC 的内角 A，B， C 所对的边

16、分别为 a，b，c向量 =（a， b）与 =（cosA，sinB ）平行（）求 A；（）若 a= ，b=2，求ABC 的面积【解答】解：（）因为向量 =（a， b）与 =（cosA，sinB）平行，所以 asinB =0，由正弦定理可知：sinAsinB sinBcosA=0，因为 sinB0，所以 tanA= ，可得 A= ；（）a= ， b=2，由余弦定理可得：a 2=b2+c22bccosA，可得 7=4+c22c，解得 c=3，ABC 的面积为： = 9设ABC 的内角 A，B ，C 所对边的长分别为 a， b，c，且 b=3，c=1，ABC 的面积为 ，求cosA 与 a 的值【解答

17、】解：b=3，c=1，ABC 的面积为 ， = ，sinA= ，又sin 2A+cos2A=1cosA= ，由余弦定理可得 a= =2 或 2 10如图，在平面四边形 ABCD 中，DAAB，DE=1，EC= ，EA=2 ，ADC= ，BEC= （）求 sinCED 的值；（）求 BE 的长第 14 页（共 27 页）【解答】解：（）设 =CED ，在CDE 中，由余弦定理得 EC2=CD2+ED22CDDEcosCDE，即 7=CD2+1+CD，则 CD2+CD6=0，解得 CD=2 或 CD=3， （舍去） ，在CDE 中，由正弦定理得 ，则 sin= ，即 sinCED= （）由题设知

18、0 ，由（）知 cos= ，而AEB= ，cosAEB=cos（ ）=cos cos+sin sin= ，在 RtEAB 中， cosAEB= ，故 BE= 11在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知 b+c=2acosB（）证明：A=2B；（）若ABC 的面积 S= ，求角 A 的大小【解答】 （）证明：b+c=2acosB ，sinB+sinC=2sinAcosB，sinB+sin（A+B）=2sinAcosBsinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosBsinB=sinAcosBcosAsinB=sin（A B）第 15 页（共 27 页）

19、A，B 是三角形中的角，B=AB，A=2B；（）解：ABC 的面积 S= ， bcsinA= ，2bcsinA=a 2，2sinBsinC=sinA=sin2B，sinC=cosB，B+C=90，或 C=B+90，A=90或 A=4512在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知 A= ，b 2a2= c2（1）求 tanC 的值；（2）若ABC 的面积为 3，求 b 的值【解答】解：（1）A= ，由余弦定理可得： ，b 2a2= bcc2，又 b2a2= c2 bcc2= c2 b= c可得 ，a 2=b2 = ，即 a= cosC= = = C （0，） ，sin

20、C= = tanC= =2或由 A= ，b 2a2= c2第 16 页（共 27 页）可得：sin 2Bsin2A= sin2C，sin 2B = sin2C， cos2B= sin2C，sin =sin2C，sin =sin2C，sin2C=sin 2C，tanC=2（2） = =3，解得 c=2 =313在ABC 中，内角 A、B 、C 所对的边分别是 a、b 、c，且 a+b+c=8（）若 a=2，b= ，求 cosC 的值；（）若 sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC，且ABC 的面积 S= sinC，求 a 和 b 的值【解答】解：（）a=2，b= ，且 a+b+c=8

21、，c=8（a+b）= ，由余弦定理得：cosC= = = ；（）由 sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC 可得：sinA +sinB =2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB +sinBcosA=4sinC，sinAcosB+cosAsinB=sin （ A+B）=sinC，sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，a +b+c=8，第 17 页（共 27 页）a +b=6，S= absinC= sinC，ab=9，联立解得：a=b=314ABC 的内角 A，B， C 所对应的边分别为 a，b ，c（）若 a，b，c 成等差数列，证明：s

22、inA +sinC=2sin（A +C） ；（）若 a，b，c 成等比数列，求 cosB 的最小值【解答】解：（）a，b，c 成等差数列，2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，sinB=sin（A+C）=sin（A+C） ，sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C ） ；（）a，b，c 成等比数列，b 2=ac，cosB= = = ，当且仅当 a=c 时等号成立，cosB 的最小值为 15ABC 的内角 A、B、 C 所对的边分别为 a，b， c（）若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA +sinC=2sin（A +C） ；（）若 a，b，c 成等比数列

23、，且 c=2a，求 cosB 的值【解答】解：（）a，b，c 成等差数列，a +c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，sinB=sin（A+C）=sin（A+C） ，则 sinA+sinC=2sin（A+C） ；第 18 页（共 27 页）（）a，b，c 成等比数列，b 2=ac，将 c=2a 代入得：b 2=2a2，即 b= a，由余弦定理得：cosB= = = 16四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补，AB=1 ，BC=3，CD=DA=2（1）求 C 和 BD；（2）求四边形 ABCD 的面积【解答】解：（1）在BCD 中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD 2

24、=BC2+CD22BCCDcosC=1312cosC，在ABD 中， AB=1，DA=2，A+C=，由余弦定理得：BD 2=AB2+AD22ABADcosA=54cosA=5+4cosC，由得：cosC= ，则 C=60，BD= ；（2）cosC= ，cosA= ，sinC=sinA= ，则 S= ABDAsinA+ BCCDsinC= 12 + 32 =2 17ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c ，已知 sin（A+C）=8sin 2 （1）求 cosB；（2）若 a+c=6，ABC 的面积为 2，求 b【解答】解：（1）sin（A+C ）=8sin 2 ，sinB=4（

25、1 cosB） ，第 19 页（共 27 页）sin 2B+cos2B=1，16（1 cosB） 2+cos2B=1，16（1 cosB） 2+cos2B1=0，16（cosB 1） 2+（cosB1） （cosB+1）=0，（17cosB15） （cosB1） =0，cosB= ；（2）由（1）可知 sinB= ，S ABC = acsinB=2，ac= ，b 2=a2+c22accosB=a2+c22 =a2+c215=（a+c ） 22ac15=361715=4，b=218在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知 b+c=2acosB（1）证明：A=2B；（2

26、）若 cosB= ，求 cosC 的值【解答】 （1）证明：b+c=2acosB ，sinB+sinC=2sinAcosB，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，sinB=sinAcosBcosAsinB=sin（A B） ，由 A，B （0 ，） ，0A B，B=AB，或 B=（A B） ，化为 A=2B，或 A=（舍去） A=2B（II）解：cosB= ，sinB= = cosA=cos2B=2cos2B1= ，sinA= = 第 20 页（共 27 页）cosC=cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB= + = 19设ABC 的内角 A、B 、C

27、的对边分别为 a、b、 c，a=btanA，且 B 为钝角（）证明：BA= ；（）求 sinA+sinC 的取值范围【解答】解：（）由 a=btanA 和正弦定理可得 = = ，sinB=cosA，即 sinB=sin（ +A）又 B 为钝角， +A（ ，） ，B= +A，BA= ；（）由（）知 C=（A+B ）= （A+ +A）= 2A0，A （0， ） ，sinA+sinC=sinA +sin（ 2A）=sinA+cos2A=sinA+12sin2A=2（sinA ） 2+ ，A （0， ） ，0sinA ，由二次函数可知 2（sinA ） 2+ sinA+sinC 的取值范围为（ ， 2

28、0ABC 中，角 A，B， C 所对的边分别为 a，b， c，已知 cosB= ，sin（A+B）= ，ac=2 ，求 sinA 和 c 的值【解答】解：因为ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c 已知 cosB= ，sin（ A+B）= ，ac=2 ，所以 sinB= ，sinAcosB+cosAsinB= ，所以 sinA+ cosA= ，结合平方关系 sin2A+cos2A=1，由解得 27sin2A6 sinA16=0，解得 sinA= 或者 sinA= （舍去） ；第 21 页（共 27 页）由正弦定理， 由可知 sin（A+B ）=sinC= ，sinA= ，所

29、以 a=2 c，又 ac=2 ，所以 c=121设ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b， c，a=btanA（）证明：sinB=cosA；（）若 sinCsinAcosB= ，且 B 为钝角，求 A，B，C【解答】解：（）证明：a=btanA =tanA，由正弦定理： ，又 tanA= ， = ，sinA0，sinB=cosA得证（）sinC=sin（A+B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB ，sinC sinAcosB=cosAsinB= ，由（1）sinB=cosA，sin 2B= ，0B，sinB= ，B 为钝角，B= ，又cosA=sinB= ，A=

30、 ，C=AB= ，综上，A=C= ，B= 第 22 页（共 27 页）22ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分BAC，ABD 面积是ADC 面积的 2 倍（1）求 ；（2）若 AD=1，DC= ，求 BD 和 AC 的长【解答】解：（1）如图，过 A 作 AEBC 于 E， = =2BD=2DC，AD 平分 BACBAD=DAC在ABD 中， = ，sinB=在ADC 中， = ，sinC= ； = = 6 分（2）由（1）知，BD=2DC=2 = 过 D 作 DMAB 于 M，作 DNAC 于 N，AD 平分 BAC，DM=DN， = =2，AB=2AC，令 AC=x，则 AB=

31、2x，BAD=DAC，cosBAD=cosDAC，由余弦定理可得： = ，第 23 页（共 27 页）x=1，AC=1，BD 的长为 ，AC 的长为 123已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC（）若 a=b，求 cosB；（）设 B=90，且 a= ，求ABC 的面积【解答】解：（I）sin 2B=2sinAsinC，由正弦定理可得： 0，代入可得（bk） 2=2akck，b 2=2ac，a=b，a=2c，由余弦定理可得：cosB= = = （II）由（I）可得：b 2=2ac，B=90，且 a= ，a 2+c2=b2=2ac，解得 a=

32、c= S ABC = =124ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分BAC，BD=2DC（） 求 （） 若BAC=60 ，求 B第 24 页（共 27 页）【解答】解：（）如图，由正弦定理得：，AD 平分 BAC，BD=2DC， ；（）C=180 （BAC+B） ，BAC=60， ，由（）知 2sinB=sinC ，tanB= ，即B=3025在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知 ac= b，sinB= sinC，（）求 cosA 的值；（）求 cos（2A ）的值【解答】解：（）将 sinB= sinC，利用正弦定理化简得： b= c，代入 ac=

33、b，得：ac=c，即 a=2c，cosA= = = ；（）cosA= ，A 为三角形内角，sinA= = ，cos2A=2cos 2A1= ，sin2A=2sinAcosA= ，则 cos（2A ）=cos2Acos +sin2Asin = + = 第 25 页（共 27 页）26ABC 中，角 A，B， C 所对的边分别为 a，b， c已知 a=3，cosA= ，B=A+ （）求 b 的值；（）求ABC 的面积【解答】解：（）cosA= ，sinA= = ，B=A+ sinB=sin（ A+ ）=cosA= ，由正弦定理知 = ，b= sinB= =3 （）sinB= ，B=A + cosB

34、= = ，sinC=sin（AB）=sin（A+ B）=sinAcosB+cosAsinB= （ ）+ = ，S= absinC= 33 = 27在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是 a，b， c（1）若 sin（A+ ）=2cosA，求 A 的值（2）若 cosA= ，b=3c ，求 sinC 的值【解答】解：（1）因为 ，所以 sinA= ，所以 tanA= ，所以 A=60（2）由及 a2=b2+c22bccosA得 a2=b2c2第 26 页（共 27 页）故ABC 是直角三角形且 B=所以 sinC=cosA=28在ABC 中，角 A，B ，C 的对边是 a，b，c，已知 3

35、acosA=ccosB+bcosC（1）求 cosA 的值（2）若 a=1，cosB+cosC= ，求边 c 的值【解答】解：（1）由余弦定理可知 2accosB=a2+c2b2；2abcosc=a 2+b2c2；代入 3acosA=ccosB+bcosC；得 cosA= ；（2）cosA= sinA= cosB=cos（A+C）=cosAcosC+sinAsinC= cosC+ sinC 又已知 cosB+cosC= 代入 cosC+ sinC= ，与 cos2C+sin2C=1 联立解得 sinC=已知 a=1正弦定理：c= = =29在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b

36、 ，c，且 bsinA= acosB（1）求角 B 的大小；（2）若 b=3，sinC=2sinA，分别求 a 和 c 的值【解答】解：（1）bsinA= acosB，由正弦定理可得： sinBsinA= sinAcosB，sinA0，sinB= cosB，B（0， ） ，可知：cosB0，否则矛盾第 27 页（共 27 页）tanB= ，B= （2）sinC=2sinA，c=2a，由余弦定理可得：b 2=a2+c22accosB，9=a 2+c2ac，把 c=2a 代入上式化为：a 2=3，解得 a= ， 30在ABC 中，a=3，b=2 ，B=2A（）求 cosA 的值；（）求 c 的值【解答】解：（）由条件在ABC 中，a=3， ，B=2A，利用正弦定理可得 ，即 = 解得 cosA= （）由余弦定理可得 a2=b2+c22bccosA，即 9= +c222 c ，即 c28c+15=0解方程求得 c=5，或 c=3当 c=3 时，此时 a=c=3，根据 B=2A，可得 B=90，A=C=45 ，ABC 是等腰直角三角形，但此时不满足 a2+c2=b2，故舍去当 c=5 时，求得 cosB= = ，cosA= = ，cos2A=2cos 2A1= =cosB，B=2A，满足条件综上，c=5