1、湖南省长沙市长郡中学、衡阳八中等十校 2017 届高三第二次联考文数试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,所以 ,选 C.2. 已知 （ ， ），其中 为虚数单位，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 （ ），所以 ，则 ；故选 A.3. 在区间 上随机取一个数 ，若 满足 的概率为 ，则实数 为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：由题意可知：满足 的实数区间长度为： ,即区间为
2、 ，综上可得： .本题选择 B 选项.4. 一个袋中有大小相同，编号分别为 ， ， ， ， 的五个球，从中有放回地每次取一个球，共取 3 次，取得三个球的编号之和不小于 13 的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：有放回地每次取一个球，共取 3 次的取法有： 种取法，其中满足题意的取法有 10 种，具体如下：由古典概型公式可得，取得三个球的编号之和不小于 13 的概率为 .本题选择 C 选项.5. 在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ， ，若 ，则 （ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C考点：解三角形。6. 若 （ ），则在 ， ， 中，值为零的个数是（
3、 ）A. 143 B. 144 C. 287 D. 288【答案】D【解析】由题意得 即在一个周期 里有两个为零，因为，所以值为零的个数是 选 D.7. 如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C点睛：空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果 8. 公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数
4、无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中 表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（ ）（参考数据： ， ， ）A. 2.598,3,3.1048 B. 2.598,3,3.1056C. 2.578,3,3.1069 D. 2.588,3,3.1108【答案】B【解析】解：结合题中所给的流程图可知，输出的 值为：综上可得：执行此算法输出的圆周率的近似值依次为 2.598,3,3.1056.本题选择 B 选项.9
5、. 定义运算： ，将函数 （ ）的图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B点睛：本题的易错点在于：由 的图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数应为 ，而容易得到“”的错误答案.10. 函数 的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】易知函数定义域为 ，且 ，因此函数图象关于原点对称，又当自变量从原点右侧 时， ，故选 C11. 设 ，实数 ， 满足 若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得可行域所围成的三角形必在两平行直线 之间，由图可知，实数 的取值范围是 .点
6、睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.12. 设函数 若关于 的方程 有四个不同的解 ， ， 且 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D点睛：在处理函数的零点个数问题时，往往转化为判定两个函数的图象交点个数问题，一般利用数形结合思想进行处理；本题的难点在于判定四个解的关系及 的取值范围.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ， 满足
7、不等式 则 的最大值为_【答案】【解析】试题分析：作出题设约束条件表示可行域，如图 内部（含边界），作直线，把直线 向上平移， 增大，当 过点 时， 取最大值 2考点：简单的线性规划问题14. 已知 ， ， ，则 在 方向上的投影为_【答案】【解析】 ，得 ，将 代入上式，得 在 方向上的投影为 ，故答案为 .15. 已知 ， ， 三点都在体积为 的球 的表面上，若 ， ，则球心 到平面 的距离为_【答案】16. 已知 是 上可导的增函数， 是 上可导的奇函数，对 ， 都有成立，等差数列 的前 项和为 ， 同时满足下列两条件： ， ，则 的值为_【答案】【解析】解：由题意可知：，据此可知，函数
8、 是 R 上的奇函数，又 ，故： ，由等差数列前 n 项和公式有： .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设 是公比大于 1 的等比数列， 为其前 项和，已知 ， ， ，构成等差数列. （）求数列 的通项公式；（）令 ，求数列 的前 项和 【答案】（） （）【解析】试题分析：（1）根据等比数列的前 项和公式和等差数列的性质，列出方程，求出，公比 ，进而求数列 的通项公式；（2）首先写出数列 的通项公式，再利用分组求和即可得结果.试题解析：（）设数列 的公比为 （ ），由已知，得 可得解得 故数列 的通项公式为 （）由（）得 ，所以
9、 .18. 在某次测试后，一位老师从本班 48 同学中随机抽取 6 位同学，他们的语文、历史成绩如表：学生编号 1 2 3 4 5 6语文成绩 60 70 74 90 94 110历史成绩 58 63 75 79 81 88（）若规定语文成绩不低于 90 分为优秀，历史成绩不低于 80 分为优秀，以频率作概率，分别估计该班语文、历史成绩优秀的人数；（）用表中数据画出散点图易发现历史成绩 与语文成绩 具有较强的线性相关关系，求与 的线性回归方程（系数精确到 0.1）参考公式：回归直线方程是 ，其中 ，【答案】（）24、16（）【解析】试题分析：(1)将频率试作概率，按照表中所给数据计算优秀人数即
10、可；(2)利用计算公式分别求得 的值即可求得回归直线方程 .点睛：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义.根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值19. 等腰 的底边 ，高 ，点 是线段 上异于点 ， 的动点，点在 边上，且 现沿 将 折起到 的位置，使 （）证明： 平面 ；（）记 ， 表示四棱锥 的体积，求 的最值.【答案】（）见解析（）【解析】试题分析：(1)利用直线垂直于平面内两条相交直线证得直线垂直于平面即可；(2)利用题意求得体积的函数 ，对体积函数进行求导，讨论
11、函数的单调性即可求得体积的最大值.试题解析：（）证明： ， ，故 ，而 ，所以 平面 （）解： ， ， 平面 ，即 为四棱锥 的高. 由高线 及 得 ， ，由题意知 ， ， 而 ， （ ），所以当 时， 20. 已知圆 ： 关于直线 ： 对称的圆为 （）求圆 的方程；（）过点 作直线与圆 交于 ， 两点， 是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形 中 ？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（） （）存在直线 和【解析】试题分析：（1）将圆的一般方程转化为标准方程，将圆关于直线对称问题转化为点关于直线对称问题，进而求出圆的方程；（2）先由条件判定四边形 为
12、矩形，将问题转化为判定两直线垂直，利用平面向量是数量积为 0 进行求解.（2）由 ，所以四边形 为矩形，所以 .要使 ，必须使 ，即： .当直线 的斜率不存在时，可得直线 的方程为 ，与圆交于两点 ， .因为 ，所以 ，所以当直线 的斜率不存在时，直线 满足条件.当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 .设由 得： .由于点在圆 内部，所以 恒成立， ，要使 ，必须使 ，即 ，也就是：整理得：解得： ，所以直线 的方程为存在直线 和 ，它们与圆 交 两点，且四边形 对角线相等.点睛：在处理平面解析几何时，往往先设出直线方程，但要注意直线的斜率是否存在，如本题中当斜率不存在时也符合题意.21.
13、 已知函数 ，其中 ， 且 ，若 ，在 处切线的斜率为 . （）求函数 的解析式及其单调区间；（）若实数 ， 满足 ，且 对于任意 恒成立，求实数 的取值范围【答案】（）单调递减区间为 ， 的单调递增区间为 .（）【解析】试题分析：（1）由导数几何意义 ，结合 ，列方程组并解得 ， ，根据导函数符号变化规律可得函数单调区间，（2）结合函数极值点分类讨论 ，确定 所在单调区间，再根据函数单调性验证是否满足题意，从而求出实数 的取值范围试题解析：(1）由于 且 ，则 ，当 时， ，即 ，故 ，即 ， ，因此 .令 ，则 ，即 在 上单调递增，由于 ，则 ，故当 时， ， ， 单调递减；当 时， ，
14、 ， 单调递增因此 的单调递减区间为 ， 的单调递增区间为 （2）当 时，取 ，则 ，由于 在 上单调递增，则 ，不合题意，故舍去；当 时，由抽屉原理可知 ，则 ，若 ，由于 在 上单调递减，则 成立；若 ， ，则 ，故 ，由于 ，则 ， （当且仅当 时取“=”）故 （当且仅当 时取“=”）由于 ，故上式无法取“=”，因此 恒成立， 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
15、第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，圆 和 的参数方程分别是 （ 为参数）和（ 为参数），以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求圆 和 的极坐标方程； （）射线 ： 与圆 交于点 、 ，与圆 交于点 、 ，求 的最大值.【答案】（） ， .（）最大值 4【解析】试题分析：（1）首先把两圆的参数方程转化成直角坐标方程，再把直角坐标方程为转化为极坐标方程；（2）根据圆的坐标形式，利用两点间的距离公式，再利用换元法进一步求出最值试题解析：（1）圆 和 的普通方程分别是 和 ，圆 和 的极坐标方程分别是 和 考点：参数方程与极坐标方程的互化；极坐标方程的应用23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， （）当 时，解不等式 ；（）若任意 ，使得 成立，求实数 的取值范围【答案】（） （）（）由 ，得 ，令 ，即故 ，故可得到所求实数 的取值范围为 .
