1、必修一 【知识清单】1函数的单调性（1 ）增函数：若对于定义域 内的某个区间 上的任意两个自变量 、 ，当时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增函数；（2 ）减函数：若对于定义域 内的某个区间 上的任意两个自变量 、 ，当时，都有，那么就说函数 在区间 上是减函数.拓展：(1)若 均是区间 A 上的增(减)函数，则 也是区间 A 上的增(减)函数；(2)若 ，则 与 单调性相同；若 ，则 与 单调性相反；(3)函数 在公共定义域内与 ， 的单调性相反；(4)函数 在公共定义域内与 的单调性相同(5)复合函数的单调性：“（内外函数单调性）同增异减”2.最大值与最小值(1)最大值：一般地，设函数
2、 的定义域为 ，如果存在实数 满足：对任意的 ，都有 ；存在 ，使得 .那么，称 是函数 的最大值（Maximum Value）.思考：仿照函数最大值的定义，给出函数 的最小值（Minimum Value）的定义.(2)最小值：一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：对任意的 ，都有 ；存在 ，使得 .那么，称 是函数 的最小值（Minimum Value）.3.函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x) f (x)，那么函数 f(x)是偶函数关于 y 轴对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)
3、f(x)，那么函数 f(x)是奇函数关于原点对称拓展：(1)对于运算函数有如下结论：奇奇为奇；偶偶为偶；奇偶为非奇非偶；奇()奇为偶；奇()偶为奇；偶()偶为偶(2)若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则函数 f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式记偶函数 g(x) f(x) f( x)，奇函数 h(x) f(x) f( x)，则 f(x) g(x) h(x)(3)复合函数 y fg(x)的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇(4)若奇函数 y f(x)在 x0 处有意义，则有 f(0)0；偶函数 y f(x)必满足 f(x) f(|x|)(5)奇函数在 a， b和 b， a上有相同的单
4、调性；偶函数在 a， b和 b， a上有相反的单调性即“奇同偶反”【易错提醒】（1 ）函数的单调性：单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义域优先”为原则单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“， ”连接，不能用“”连接（2 ）函数的奇偶性判断： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 ；最后比较 和 的关系，如果有 = ，则函数是偶函数，如果有 =- ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数
5、.判断分段函数的奇偶性，应分段分别证明 f( x)与 f(x)的关系，只有对各段上的 x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性【重点难点突破】类型一 确定函数的单调性区间例 1.设函数 f(x)Error! g(x) x2f(x1)，则函数 g(x)的递减区间是_【答案】0,1)例 2. 函数 的单调递增区间为 .【答案】 和 .【解析】作出函数 的图象如下图所示，由图象可知，函数 的单调递增区间为 和 .类型二 函数单调性的判定与证明例 3. 利用函数单调性的定义证明 上单调递减.【答案】见解析.就题说法：(1)定义法：一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论其关键是作差变形，为了便于判断差的
6、符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断(2)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性类型三 函数单调性的应用常见的命题角度有：1.比较函数值的大小；2.解函数不等式；3.利用单调性求参数的取值范围或值；4.求函数的最值.例 4. 若 是定义在( - ,+ )上的减函数,则 a 的取值范围是( )A B C D 【答案】A【解析】分析：由于函数 在 上为减函数，故当 和 时函数均为减函数，结合在分界点处的函数值的大小得到关于 的不等式组，解不等式组可得所求详解
7、：由题意可得，要使函数 在 上为减函数，需满足 ，解得 ，实数 a 的取值范围是 故选 A例 5.已知 在定义域(1,1)上是减函数，且 ，则实数 a 的取值范围为_.【答案】类型四 判定函数的奇偶性例 6.判断函数 的奇偶性【答案】是奇函数.【解析】解法二：作出函数的图象，如图函数的图象关于原点对称，是奇函数就题说法： (1)定义法(2)图象法类型五 奇(偶 )函数的图象及应用常见的命题角度有：1.比较函数值的大小；2.利用奇偶性求参数的取值范围或值；3.求函数的解析式.例 7. 若函数是奇函数，当 时， 的解析式是 ，则当 时， 的解析式是（ ） A B C D 【答案】D 即所求解析式为
8、 故选 例 8.【山东省 2018 年普通高校招生（春季） 】奇函数 的局部图像如图所示，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A类型六 函数奇偶性、单调性的综合应用常见的命题角度有：1.比较函数值的大小；2.解函数不等式；3.利用单调性求参数的取值范围或值；4.求函数的最值.例 9. 【2017 课标 1，理 5】函数 在 单调递减，且为奇函数若 ，则满足 的 的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】例 10.若偶函数 在 上是增函数，则（ ）A BC D【答案】D例 11. 已知函数 是奇函数，若函数 在区间上单调递增，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】设 ，则 为奇函数
9、， 在 上单调递减，在 上单调递增若函数 在区间 上单调递增， 故答案为 【巩固提升当堂练】1.已知定义在 上的函数 在 上是减函数，若 是奇函数，且 ，则不等式 的解集是（ ）A BC D【答案】C2. 若函数 是奇函数，则 .【答案】【解析】因函数 是奇函数,故 ,则 ,故由奇函数的定义 ,由此可得 ,故 .3. 已知函数 ，回答下列问题（ ）定义域：_，值域：_（ ）奇偶性：_（ ）证明：函数 在 上是减函数（ ）画出草图（直接画在答题纸相应处，尽量规范精确） 【答案】 （ ） ， （ ）奇函数 （ ）见解析 （ ）见解析【解析】（ ） ，知 ，故 定义域为 又 时， ，时， ， ，得 值域为 （ ）设 ，则，当 时， 故 在 上是减函数（ ）
