1、高考解答题专项练解析几何1.如图,已知抛物线的方程为 x2=2py(p0),过点 A(0,-1)作直线 l 与抛物线相交于 P,Q 两点,点 B 的坐标为(0,1),连接 BP,BQ,设直线 QB,BP 与 x 轴分别相交于 M,N 两点.(1)如果 p=2,且三角形 BPQ 的面积为 4,求直线 l 的方程;(2)如果 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为- 3,求 MN 的长度.解 (1)直线 l 的斜率必定存在,设为 k,则 l 的方程为 y=kx-1,因为 p=2,把 y=kx-1 代入 x2=4y 得 x2-4kx+4=0,则 =16k2-160,所以 k21.设 P,Q 两点的坐标
2、分别为 (x1,y1),(x2,y2),则 x1,x2为方程 x2-4kx+4=0 的两个解,因此 x1+x2=4k,x1x2=4,所以|PQ|= |x1-x2|=4 ,点 B(0,1)到直线1+2 1+2 2-1l 的距离 d= ,由三角形 BPQ 的面积为 4,得 4 =4,解得 k= ,满足 k21.22+1 12 1+2 2-1 22+1 2因此直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y+1=0.2 2(2)把直线 l 的方程代入 x2=2py 得 x2-2pkx+2p=0,设 P,Q 两点的坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2),则 x1,x2为方程 x2-2pkx+2p=0
3、 的两个解 ,因此 x1x2=2p,kBP= ,同理 kBQ= ,因1-11=21-221=21-1221=1-22 2-12此 kBP+kBQ=0,因为 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为-3,所以 QB 的斜率为- ,从而3BMN=BNM=60,即MNB 为正三角形.因为 BO 为正三角形 MNB 的高,且|BO|=1,所以|MN|=233.2.(2017 浙江高考样卷)如图,已知椭圆 +y2=1 的左、右顶点分别是 A,B,设点 P( ,t)(t0),连接 PA 交22 2椭圆于点 C,坐标原点是 O.(1)证明:OP BC ;(2)若四边形 OBPC 的面积是 ,求 t 的值.325
4、(1)证明 设直线 PA 的方程为 y= (x+ ),22 2由 整理得(4+t 2)x2+2 t2x+2t2-8=0,解得 x1=- ,x2= ,则点 C 的坐标是22+2=1,=22(+2), 2 2 42-224+2,故直线 BC 的斜率 kBC=- ,由于直线 OP 的斜率 kOP= ,故 kBCkOP=-1,则 OPBC;(42-224+2, 44+2) 2 2(2)解 由 S 四边形 OBPC= ,S 四边形 OBPC= ,得 ,325 23+224+2 23+224+2 =325整理得(t- 1)(5t2+2t+12)=0, 5t2+2t+120, t=1.3.(2018 浙江
5、4 月摸底)已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴上,且该抛物线上有一点 P(4,m)到焦点的距离为 5.(1)求抛物线 C 的方程;(2)已知抛物线上一点 M(t,4),过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和 ME,且 MDME,判断直线 DE 是否过定点?并说明理由.解 (1)由题意设抛物线 C 的方程为 y2=2px(p0),其准线方程为 x=- ,2 点 P(4,m)到焦点的距离等于点 P 到其准线的距离, 4+ =5. p=2. 抛物线 C 的方程为 y2=4x.2(2)由(1)可得点 M(4,4),可得直线 DE 的斜率不为 0,设直线 DE 的方程为 x=my+t,联立 得
6、y2-4my-4t=0,=+,2=4, 则 =16m2+16t0.(*)设 D(x1,y1),E(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4t.=(x1-4,y1-4)(x2-4,y2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2-4(y1+y2)+16= -4 +16+y1y2-4(y1+y2)+16214224 (214+224)= -(y1+y2)2+3y1y2-4(y1+y2)+32(12)216=t2-16m2-12t+32-16m=0,即 t2-12t+32=16m2+16m,得(t-6) 2=4(2m+1)2, t-6=2(2m+1),即 t=4m+8 或 t=-4m
7、+4,代入(*)式检验知 t=4m+8 满足 0, 直线 DE 的方程为 x=my+4m+8=m(y+4)+8. 直线过定点(8,-4) .4.已知椭圆 L: =1(ab0)的离心率为 ,过点 ,与 x 轴不重合的直线过定点 T(m,0)(m 为大22+22 22 (1, 22)于 a 的常数),且与椭圆 L 交于两点 A,B(可以重合),点 C 为点 A 关于 x 轴的对称点.(1)求椭圆 L 的方程;(2) 求证:直线 BC 过定点 M,并求出定点 M 的坐标; 求OBC 面积的最大值.解 (1)由题意可得 e= =1,a2-b2=c2,=22,12+122解得 a= ,b=1,即椭圆的方
8、程为 +y2=1.222(2) 证明:由对称性可得直线 BC 过定点,定点在 x 轴上,设直线 l 的方程为 x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x1,-y1),代入椭圆方程 x2+2y2=2,可得 (2+t2)y2+2tmy+m2-2=0,即有 =4t2m2-4(2+t2)(m2-2)0,即为 8(t2-m2+2)0,y1+y2=- ,y1y2= 设 BC:y+y1= (x-x1),22+2 2-22+2. 2+12-1令 y=0,可得 x= +m= +m= ,则直线 BC 过定点12+211+2=(1+)2+(2+)11+2 =2121+2 2(2-2)-2 2M(2,0
9、). 记OBC 的面积为 S,则 S= |OM|y2+y1|= ,12 1|22+2|= 2|+2|由 0 可得|t| (m ),2-2 2 若 ,即 m2,Smax= ;2-2222-2+22-2 若 0,解得 k0 或 0k1.又 PA,PB 与 y 轴相交,故直线 l 不过点(1,- 2),从而 k-3.所以直线 l 斜率的取值范围是(-,- 3)(-3,0)(0,1) .(2)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知 x1+x2=- ,x1x2=2-42 12.直线 PA 的方程为 y-2= (x-1).1-21-1令 x=0,得点 M 的纵坐标为 yM= +2= +2.-1+21-1 -1+11-1同理得点 N 的纵坐标为 yN= +2.-2+12-1由 = = ,得 =1-yM,=1-yN.,所以 =2.所以 为定1+1= 11-+ 11-=1-1(-1)1+2-1(-1)2=1-1212-(1+2)12 =1-122+2-4212 1+1值.
