1、上海市崇明区 2018 届高三第一次模拟考试数学试卷 2018.12一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 计算： 20lim31n2. 已知集合 ， ，则 |Ax1,023BAB3. 若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 z2iziz4. 的展开式中含 项的系数为 （用数字作答）281()x75. 角 的终边经过点 ，且 ，则 (4,)Py3sin5tan6. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 上一点 到焦点的距离为 5，则点 的xO24yxPP横坐标是 7. 圆 的圆心到直线 的距离等于 240xy3508. 设一个圆锥的侧面展开
2、图是半径为 2 的半圆，则此圆锥的体积等于 9. 若函数 的反函数的图像经过点 ，则 2()log1xaf(,7)a10. 2018 年上海春季高考有 23 所高校招生，如果某 3 位同学恰好被其中 2 所高校录取，那么不同的录取方法有 种11. 设 是定义在 上的以 2 为周期的偶函数，在区间 上单调递减，且满足()fxR0,1， ，则不等式组 的解集为 1f2f 1()2xf12. 已知数列 满足： ；对任意的 ，都有 成立.na10n*N1na函数 ， 满足：对于任意的实数 ，()|si()|nnfx1,nxa 0,)m(nfxm总有两个不同的根，则 的通项公式是 二. 选择题（本大题共
3、 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 若 ，则下列不等式恒成立的是（ ）0abA. B. C. D. 1ab2ab3ab14. “ ”是“关于 的实系数方程 有虚根”的（ ）条件2px210xpA. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要15. 已知向量 、 、 满足 ，且 ，则 、 、 中最小abc0abc22abcabca的值是（ ）A. B. C. D. 不能确定的16. 函数 ， ，若存在 ，使得()fx2()gx129,0,nx，则 的最大值121 1( )()()(nn nffggxf是（ ）A. 11 B. 13 C. 14 D. 18三. 解答
4、题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，设长方体 中， ，1ABCD2ABC直线 与平面 所成的角为 .1 4（1）求三棱锥 的体积；1（2）求异面直线 与 所成角的大小.ABC18. 已知函数 .23()cosincosfxx（1）求函数 的单调递增区间；（2）在锐角 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，ABCCabc1()2fA3a，4b求 的面积.19. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得 25 万元1600 万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 （单位：万元）随投资收益 （单位：yx万元）的增加
5、而增加，奖金不超过 75 万元，同时奖金不超过投资收益的 20%.（即：设奖励方案函数模型为 时，则公司对函数模型的基本要求是：当 时，()yfx 25,160x()fx是增函数； 恒成立； 恒成立.）()75f()5xf（1）判断函数 是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；103xf（2）已知函数 （ ）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数 的取值()5ga a范围.20. 已知椭圆 （ ）， 、 分别是椭圆短轴的上下两个端点，2:1xyab0a1B2是1F椭圆左焦点， 是椭圆上异于点 、 的点， 是边长为 4 的等边三角形.P1212F（1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线 的一
6、个方向向量是 时，求以 为直径的圆的标准方程；1B(,)1PB（3）设点 满足： ， ，求证： 与 面积之比为定值.R12RB212RB21. 已知数列 、 均为各项都不相等的数列， 为 的前 项和，nabnSan（ ）.1nabS*N（1）若 ， ，求 的值；2n4a（2）若 是公比为 （ ）的等比数列，求证：数列 为等比数列；naq11nbq（3）若 的各项都不为零， 是公差为 的等差数列，求证： 、 、 、 、nbd2a3na成等差数列的充要条件是 .2d崇明区 2018 学年第一次高考模拟考试数学学科参考答案与评分标准一、填空题1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ；
7、130,112i56347.2； 8. ； 9. ； 10. ； 11. ； 12.36182,8.(1)2na2、选择题13. ； 14. ； 15. ； 16.DBC3、解答题17. 解：（1）联结 ，AC因为 ，BD平 面所以 就是直线 与平面 所成的角，2 分11ABC所以 ，所以 4 分4AC2所以 7 分111433BDABDVS（2）联结 ，1ADB因为 ，所以/C1/C所以 就是异面直线 与 所成的角或其补角3 分1A1B在 中，1BAD2221(3)()()cos 3所以 6 分1ar所以异面直线 与 所成角的大小是 7 分AB1C2arcos318. 解：（1） 2()co
8、sin3fxx3 分3sin2(2)由 ，得：,kxkZ51212kxk所以函数 的单调递增区间是 6 分()f ,Z（2） 1sin2)3A因为 ，所以(0,4(,)3A所以 ， 2 分56由 ，得： 5 分22cosbcaA21c因为 是锐角三角形，所以 6 分BC 所以 的面积是 8 分 1sin422ABCSbc19. 解：（1）因为 ，5()06f即函数 不符合条件()fx所以函数 不符合公司奖励方案函数模型的要求5 分（2）因为 ，所以函数 满足条件，2 分1a()gx结合函数 满足条件，由函数 满足条件，得： ，所以()gx()gx16057a2a4 分由函数 满足条件，得： 对
9、 恒成立()5a25,即 对 恒成立5xa2,160因为 ，当且仅当 时等号成立7 分x5x所以 8 分2a综上所述，实数 的取值范围是 9 分1,2a20. 解：（1） 4 分264xy（2）由题意，得：直 线 的 方 程 为 1 分1PB2yx由 ，得： 3 分2164yx21605,xy故所求圆的圆心为 ，半径为 4 分84(,)5825所以所求圆的方程为： 5 分2241()xy（3） 设直线 的斜率分别为 ，则直线 的方程为 1PB， ,k1PB2ykx由 直线 的方程为 R， 1R()0xy将 代入 ，得 ，2ykx264y26kkx因为 是 椭 圆 上 异 于 点 的 点 ， 所
10、 以 3 分 P12B， P214所以 4 分4Pykxk由 ，所以直线 的方程为 2RB2RB42ykx由 ，得 6 分(2)04xky241Rkx所以 7 分 12 20641PBRSxk21.解：（1）由 ，知 .4 分1,2nab234,6,8aa（2）因为 ，1nnS所以当 时， ，1ab-得，当 时， ，21nnna所以 ，3 分11nnnbbaq所以 ，5 分1nnq又因为 （否则 为常数数列与题意不符） ，0nbnb所以 为等比数列。6 分1nq（3）因为 为公差为 的等差数列，所以由得，当 时， ,nbd2n1nnnabda即 ，因为 ， 各项均不相等，所以 ,1naanb0,所以当 时， ,2n1nd当 时， ,311nba由-，得当 时 ,3 分111nnnbda先证充分性：即由 证明 成等差数列,12d23,na 因为 ，由得 ,11nn所以当 时， ,3n11nnaa又 ，所以0a1n即 成等差数列.5 分23, 再证必要性：即由 成等差数列证明 .23,na 12d因为 成等差数列，所以当 时， ,23,n 311nnaa所以由得，11 11nnn ndaa 所以 ，7 分2d所以 成等差数列的充要条件是 .8 分23,na 12d
