1、1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题.1函数的单调性在某个区间( a， b)内，如果 f( x)0，那么函数 y f(x)在这个区间内单调递增；如果 f( x)0，右侧 f( x)0，那么 f(x0)是极小值(2)求可导函数极值
2、的步骤求 f( x)；求方程 f( x)0 的根；检查 f( x)在方程 f( x)0 的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间 a， b上连续的函数 f(x)在 a， b上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在 a， b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a， b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值， f(b)为函数的最小值(3)设函数 f(x)在 a， b上连续，在( a， b)内可导，求 f(x)在 a， b上的最大值和最
3、小值的步骤如下：求 f(x)在( a， b)内的极值；将 f(x)的各极值与 f(a)， f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值高频考点一 利用导数研究函数的单调性例 1、已知函数 f(x) aln x x2( a1) x3.12(1)当 a1 时，求函数 f(x)的单调递减区间；(2)若函数 f(x)在区间(0，)上是增函数，求实数 a 的取值范围(a1) x a0，即( x1)( x a)0 在(0，)上恒成立 因为 x10，所以 x a0 对 x(0，)恒成立，所以 a0.即实数 a 的取值范围是0，)【变式探究】已知函数 f(x) ax3 x2(aR)在 x 处取
4、得极值.43(1)确定 a 的值；(2)若 g(x) f(x)ex，求函数 g(x)的单调减区间.【方法规律】(1)确定函数单调区间的步骤：确定函数 f(x)的定义域；求 f( x)；解不等式 f( x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式 f( x)0，所以 x1 是 f(x)的极小值点【举一反三】(1)函数 f(x) x3 ax2 bx a2在 x1 处有极值 10，则 a， b 的值为( )A a3， b3，或 a4， b11B a4， b1，或 a4， b11C a1， b5D以上都不正确【答案】D当 a3 且 b3 时， f( x)3 x26 x30，函数 f(x)无极值
5、点，故符合题意的只有Error!故选 D.(2)函数 f(x) x(x m)2在 x1 处取得极小值，则 m_.【答案】1【解析】 f(1)0 可得 m1 或 m3.当 m3 时， f( x)3( x1)( x3)，1 x3， f( x)0； x1 或 x3， f( x)0，此时 x1 处取得极大值，不合题意，所以 m1.【方法技巧】函数极值问题的常见类型及解题方法(1)已知导函数图象判断函数极值的情况先找导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号(2)已知函数求极值求 f( x)求方程 f( x)0 的根列表检验 f( x)在 f( x)0 的根的附近两侧的符号下结论(3
6、)已知极值求参数若函数 f(x)在点( x0， y0)处取得极值，则 f( x0)0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反高频考点三 利用导数研究函数的最值例 3、2017北京高考已知函数 f(x)e xcosx x.(1)求曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线方程；(2)求函数 f(x)在区间 上的最大值和最小值0， 2解 (1)因为 f(x)e xcosx x，所以 f( x)e x(cosxsin x)1， f(0)0.又因为 f(0)1，所以曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线方程为 y1.(2)设 h(x)e x(cosxsin x)1，【方法技巧】利用导数求函数最
7、值的方法当函数在一个区间内只有唯一的极小(大)值时，这个极小(大)值就是最小(大)值；当函数在一个区间内的极值有多个时，就要把这些极值和区间的端点值进行比较，比较大小的基本方法之一就是作差法【变式探究】 已知函数 f(x) ln x2， aR.ax(1)若曲线 y f(x)在点 P(2， m)处的切线平行于直线 y x1，求函数 f(x)的单调区间；32(2)是否存在实数 a，使函数 f(x)在(0，e 2上有最小值 2？若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由解 (1) f(x) ln x2( x0)，ax f( x) (x0)， ax2 1x又曲线 y f(x)在点 P(2， m)处的
8、切线平行于直线 y x1，32 f(2) a a8.14 12 32 f( x) (x0)， 8x2 1x x 8x2令 f( x)0，得 x8， f(x)在(8，)上单调递增；令 f( x)0，得 0 x8， f(x)在(0,8)上单调递减 f(x)的单调递增区间为(8，)，单调递减区间为(0,8)(2)由(1)知 f( x) (x0) ax2 1x x ax2当 a0 时， f( x)0 恒成立，即 f(x)在(0，e 2上单调递增，无最小值，不满足题意当 a0 时，令 f( x)0，得 x a，所以当 f( x)0 时， x a，当 f( x)0 时，0 x a，此时函数 f(x)在(
9、a，)上单调递增，在(0， a)上单调递减高频考点四 利用导数研究生活中的优化问题例 4、某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为 l1， l2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l.如图所示， M， N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l1， l2的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到l1， l2的距离分别为 20 千米和 2.5 千米以 l2， l1所在的直线分别为 x， y 轴，建立平面直角坐标系 xOy.假设曲线 C 符合函数 y (其中 a， b 为常数)模型ax2 b(1
10、)求 a， b 的值；(2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t.请写出公路 l 长度的函数解析式 f(t)，并写出其定义域；当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度解 (1)由题意知，点 M， N 的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)将其分别代入 y ，ax2 b得Error!解得Error!(2)由(1)知， y (5 x20), 则点 P 的坐标为 ，设在点 P 处的切线 l 交 x， y 轴分别1000x2 (t， 1000t2)于 A， B 点， y ，2000x3【方法技巧】利用导数解决生活中优化问题的方法求实际问题中的最大值或最小值时，一
11、般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，该极值点也就是最值点 【变式探究】 某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为 20 元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元( t 为常数，且 2 t5)设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为 x 元(25 x40)，根据市场调查，日销售量 q 公斤与 ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为 30 元时，日销售量为 100 公斤(1)求该工厂的每日利润 y 元与每公斤蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式；(2)若 t5，当每公斤蘑菇
12、的出厂价 x 为多少时，该工厂的每日利润 y 最大？并求最大值解 (1)设日销量 q (k0)，则 100，kex ke30 k100e 30，日销量 q ，100e30ex y (25 x40)100e30 x 20 tex(2)当 t5 时， y ， y .100e30 x 25ex 100e30 26 xex由 y0 得 x26，由 y0，得 x26， y 在区间25,26上单调递增，在区间26,40上单调递减，当 x26 时， ymax100e 4，即当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时，该工厂的每日利润最大，最大值为 100e4元高频考点五 利用导数研究函数的图象与性质例 5、函数 y
13、2 x2e |x|在2,2的图象大致为( )【答案】D【解析】解法一：令 f(x) y2 x2e |x|.当 x(0,2时， f(x)2 x2e x， f( x)4 xe x.f( x)在(0,2)上只有【变式探究】函数 y x2ex的图象大致为( )【答案】A【解析】因为 y2 xex x2ex x(x2)e x，所以当 x0 时， y0，函数 y x2ex为增函数；当20 时，令 得 .当 ，即 a=1 时， ， 在 上单调递增， 无极值，不合题意.当 ，即 01 时， 随 x 的变化情况如下表：x+ 0 0 + 极大值 极小值 x 0 + 0 极小值 极大值 在 x=1 处取得极大值，不
14、合题意.综上所述， a 的取值范围为 . 6. （2018 年全国 I 卷）已知函数 （1）设 是 的极值点求 ，并求 的单调区间；（2）证明：当 时， 【答案】(1) a= ； f（ x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增(2)证明见解析.【解析】 （1） f（ x）的定义域为 ， f （ x）= aex 由题设知， f （2）=0，所以 a= 从而 f（ x）= ， f （ x）= 当 02 时， f （ x）0所以 f（ x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增12017浙江高考函数 y f(x)的导函数 y f( x)的图象如图所示，则函数 y f(x)的图象可能是( )
15、【答案】D【解析】观察导函数 f( x)的图象可知， f( x)的函数值从左到右依次为小于 0，大于 0，小于 0，大于 0，对应函数 f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增 观察选项可知，排除 A，C.如图所示， f( x)有 3 个零点，从左到右依次设为 x1， x2， x3，且 x1， x3是极小值点， x2是极大值点，且 x20，故选项 D 正确故选 D.2、2017北京高考已知函数 f(x)e xcosx x.(1)求曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线方程；(2)求函数 f(x)在区间 上的最大值和最小值0， 2【2016 高考四川文科】已知 a函数 3()12fx
16、的极小值点，则 a=( )(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2【答案】D【解析】 2312fxx，令 0fx得 2或 x，易得 fx在2,上单调递减，在 ,上单调递增，故 的极小值点为 2，即 a，故选 D.【2016 高考新课标 1 文数】 （本小题满分 12 分）已知函数 2e1xfx(I)讨论 fx的单调性；(II)若 有两个零点,求 a的取值范围.【答案】见解析(II) 0,【解析】单调递减. 若 e2a，则 ln1a，故当 ,1ln2,xa时， 0fx，当1,lnx时， 0fx，所以 f在 单调递增，在 1,ln2a单调递减.（） （）设 a，则由（）知， fx在 ,1单调递
17、减，在 ,单调递增.又 e12ff， ，取 b 满足 b0 且 ln2a，则 231fba，所以 fx有两个零点.（）设 a=0，则 exfx，所以 f只有一个零点.（iii）设 a0，若 2，则由（）知， x在 1,单调递增.又当 1x时， fx0，故 fx不存在两个零点；若 e2a，则由（）知， fx在,ln2单调递减，在 ln,a单调递增.又当 x时 f0，故 不存在两个零点.综上，a 的取值范围为 ,.【2016 高考新课标文数】设函数 ()ln1fx（I）讨论 ()fx的单调性；（II）证明当 1,)时， 1lnx；（III）设 1c，证明当 (0,1)x时， (1)xc.【答案】
18、（）当 时， f单调递增；当 时， ()f单调递减；（）见解析；（）见解析【解析】【2016 高考山东文数】(本小题满分 13 分)设 f(x)=xlnxax2+(2a1)x， a R.()令 g(x)=f(x)，求 g(x)的单调区间；()已知 f(x)在 x=1 处取得极大值.求实数 a 的取值范围.【答案】()当 0a时，函数 单调递增区间为 0,；当 时，函数 gx单调递增区间为 1,2a，单调递减区间为 1,2a. ()12a.【解析】（）由 ln2,fxax 当 1,x时， 0fx， fx单调递增.所以 f在 x=1 处取得极小值，不合题意.当 02a时， 1，由()知 fx在 1
19、0,2a（ ） 内单调递增，可得当当 ,x时， 0fx， ,（ ） 时， fx，所以 f在(0,1)内单调递减，在 （ ） 内单调递增，所以 x在 x=1 处取得极小值，不合题意.当 12a时，即 1a时， fx在(0,1)内单调递增，在 1,内单调递减，所以当 0,x时， 0， f单调递减，不合题意. 当 12a时，即 10a ，当 1,2xa（ ） 时， 0fx， fx单调递增,当 ,x时， fx， f单调递减，所以 f(x)在 x=1 处取得极大值，合题意.综上可知，实数 a 的取值范围为 12a.【2016 高考天津文数】 （本小题满分 14 分）设函数 bxf3)(， R，其中 b,
20、（）求 的单调区间；（）若 )(xf存在极值点 0x，且 )(01xff，其中 01x，求证： 021x；（）设 0a，函数 |)(|g，求证： g在区间 ,上的最大值不小于 4.【答案】 （）递减区间为 3,a，递增区间为 3(,)a， (,).（）详见解析（）详见解析【解析】 x3(,)a3(,)a3a(,)f00(单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以 ()fx的单调递减区间为 3(,)a，单调递增区间为 3(,)a， (,).（）证明：因为 )fx存在极值点，所以由（）知 0a且 x.由题意，得 20()30fxa，即 23ax，进而 b，又 30000082(2)82 ()
21、fxxxabxf，且 02x，由题意及（）知，存在唯一实数 1满足 1()ff，且 1，因此 1，所以 10+=x.（）证明：设 ()gx在区间 ,上的最大值为 M， max,y表示 x， 两数的最大值，下面分三种情况讨论：（1）当 3a时， 31aa，由（） 知， ()fx在区间 1,上单调递减，所以 ()fx在区间 ,上的取值范围为 (),1f，因此，ma|1|()|ax|1|Mfbamx|1|,|ab23(1)()afff， 23(1)()aff，所以 fx在区间 1,上的取值范围为 ,f，因此，ma|()|ax|1|Mfbamx|1|,|ab1|4b.综上所述，当 0时， ()gx在区
22、间 ,上的最大值不小于 4.【2015 高考福建，文 12】 “对任意 (0)2， sincokx”是“ 1k”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当 1k时， sincosin2kxx，构造函数 ()sin2kfxx，则【2015 高考湖南，文 8】设函数 ()ln1)l()fxx，则 ()f是( )A、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B、奇函数，且在（0,1）上是减函数C、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D、偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A【解析】函数 ()ln1)l()fxx，函数的定义域为（-1，1）
23、，函数()ln1fxf所以函数是奇函数 211fxx ，在（0,1）上0，所以 ()fx在(0,1)上单调递增，故选 A.【2015 高考安徽，文 21】已知函数 )0,()(2rarxf（）求 )(xf的定义域，并讨论 f的单调性；（）若 40ra，求 )(xf在 ),0内的极值.【答案】 （）递增区间是（- r,r）;递减区间为（-，- r）和（ r，+） ；（）极大值为 100；无极小值.【解析】 （）由题意可知 rx 所求的定义域为 r， ， .）在 （ ,0)(xf内无极小值； 综上， ）在 （ ,)(f内极大值为 100，无极小值.【2015 高考北京，文 19】 （本小题满分 1
24、3 分）设函数 2lnxfk， 0（I）求 fx的单调区间和极值；（II）证明：若 f存在零点，则 fx在区间 1,e上仅有一个零点【答案】 （I）单调递减区间是 (0,)k，单调递增区间是 (,)k；极小值 (1ln)()2kf；（II）证明详见解析.【解析】 （）由2lnxfk， （ 0）得2()kfxx.由 ()0fx解得 k.与 在区间 (,)上的情况如下：【2015 高考湖北，文 21】设函数 ()fx， g的定义域均为 R，且 ()fx是奇函数， ()gx是偶函数，()exfxg，其中 e 为自然对数的底数. （）求 ()f， 的解析式，并证明：当 0时， ()0fx， ()1g；
25、（）设 0a， 1b，证明：当 x时， ()1)agbx.【答案】 （） ()e)2xf， (e2x.证明：当 0时， e1x， 0e1x，故()0.fx又由基本不等式，有 1()e)e12xxg，即 ()1.gx （）由（）得 1()e)(2xx xf g 2e1e()(e)(2xx xf当 0时， ()1fag等价于 )()1fa fbgx等价于().fxbx于是设函数 ()hxcxgc，由，有()(hgcfc).f当 0时， （1）若 0c，由，得 ()0hx，故 ()在 0,)上为增函数，从而 (0，即 ()x，故成立.（2）若 1c，由，得 x，故 ()hx在 0,)上为减函数，从而
26、 h，即 ()()fxg，故成立.综合，得 (1)(1fxagbg.设函数 ()()1hxfcxgcx，由，有 ()()(1)hxgcxfc(1).cg当 0x时， （1）若 0c，由，得 ()0hx，故 ()x在 0,)上为增函数，从而 ()0hx，即 ()()fcgx，故成立 （2）若 1c，由 ，得 (h，故 ()x在 ,上为减函数，从而 0hx，即 ()()fcgx，故成立综合，得 ()11fxagb【2015 高考山东，文 20】设函数 . 已知曲线 在点()=(+)， ()=2 =()(1,)f处的切线与直线 平行.2-=0（）求 a的值；（）是否存在自然数 k，使得方程 ()fxg在 (,1)k内存在唯一的根？如果存在，求出 k；如果不存在，请说明理由；（）设函数 ()min(),xf（ ,minpq表示， ,中的较小值） ，求 mx的最大值.【答案】 （I） 1a ；(II) 1k ；(III) 24e.【解析】 （I）由题意知，曲线 在点 (,1)f处的切线斜率为 2，所以 (1)2f，=()， ()0hx，所以当 (1,)时， ()hx单调递增.所以 k时，方程 fg在 (,1)k内存在唯一的根.（III）由（II）知，方程 )x在 2内存在唯一的根 0x，且 0(,)x时，
