1、1不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.一、不等关系1不等式的概念（1）现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系（2）用数学符号“ ”“ ”“ ”“ ”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式2两个实数大小的比较（1）作差法：设 a， b R，则 ， a0， b0，则 ab ， a
2、b ；0 ； ab， bc ；(单向性)可加性： aba cb c；(双向性) ab， cd ；(单向性)d可乘性： ；(单向性) ab， cb0， cd0 ；(单向性)ab乘方法则： ；(单向性),1nN开方法则： ab0 (n N， n2)(单向性)注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递.（2）可乘性中，要特别注意“乘数 c”的符号.4必记结论（1） ab， ab0 .1b（2） ab0,0b0， m0，则 ； (bm0)； (bm0)b二、一元二次不等式及其解法1一元二次不等式的概念我 们 把 只 含 有 一 个 未 知 数 ， 并 且 未
3、知 数 的 最 高 次 数 是 2 的 不 等 式 称 为 一 元 二 次 不 等 式 ， 有 下 列 三 种形 式 ：（1）一般式： ；2(0)yaxbc（2）顶点式： ；224()a（3）两根式： .12)0yax2三个“二次”之间的关系判别式 24bac000的图象2(0)yaxbc一元二次方程的根20()axbca有两相异实根 12,()x有两相等实根 12bxa没有实数根一元二次不等式的解集20()axbca12(,)(,)x|2bxaR一元二次不等式的解集20()axbca12(,)x3一元二次不等式的解法由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步
4、骤如下：（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即或 ；20()axbca20()xbca（2）计算：求出相应的一元二次方程（ ）的根，有三种情况：2(0)xc；,（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；（4）求解：利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程，如图.4一元二次不等式恒成立问题（1） 恒成立的充要条件是： 且 20()axbca0a240()bacxR（2） 恒成立的充要条件是： 且 （3） 恒成立的充要条件是： 且 2()xc2()cx（4） 恒成立的充要条件是： 且 0aba0a40baR（
5、5） 恒成立的充要条件是： 且 或 且 2xcc2()cx（6） 恒成立的充要条件是： 且 或 且 考向一 比较大小比较大小的常用方法：（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与 1 的大小，得出结论注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.（3）介值比较法：介值比较法的理论根据是：若 ab,bc,则 ac，其中 b 是 a 与 c 的中介值. 介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.（4）利用单调
6、性比较大小.（5）函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.典例 1 若 ， ， ，试比较 ， ， 的大小.=22+1 =2+2=3 典例 2 已知 01,所以 b0,求证: .2ba考向二 求范围的问题求范围的问题需用到不等式的性质，熟记不等式性质中的条件与结论是基础，灵活运用是关键.在使用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的前提条件，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数、两个不等式相乘、一个不等式两端同时求 n 次方时，一定要注意其成立的前提条件，如果忽视前提条件就可能出现错误.求范围的一般思路是：（1）借助
7、性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.典例 3 设实数 x， y 满足 ， ，则 的取值范围是_.21x23xy47【答案】 2,7典例 4 若二次函数 y f(x)的图象过原点，且 ， ，求 f(2)的取值范围.)12(f314f【解析】方法一：二次函数 y f(x)的图象过原点，可设 .20()xab易知 ， .1fab112f则 .243)()1(fff ， ， .1462()10f【名师点睛】同向不等式只能相加，不能相减.2已知正数 满足 ，则 的
8、最小值为,2035xy142yxzA1 B 34C D 6 12考向三 一元二次不等式的解法1解不含参数的一元二次不等式的方法：（1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.（2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得.（3）若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法.2在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏” ，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨
9、论：若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根( 0),一根( =0),无根( 0 ()0【解析】 （1）当 时， ,=2 ()0225+20可得 ，(21)(2)0,122的解集为 .()0 12,23不等式 的解集为2+60A B(2,3) (3,2)C D(,3)(2,+) (,2)(3,+)4已知 是偶函数， 是奇函数，且 = () () ()+()2+2（1）求 和 的解析式；()()（2）设 (其中 )，解不等式 ()=2+33 ()0（2
10、）若关于 x 的不等式 的解集是(-1,4)，求实数 a,c 的值.()0【解析】（1）当 时, ,=19()=32+(6)+19所以 ,(1)=3+(6)+19=2+6+16,即 , (1)0 26161 （2）若不等式的解集为 ，求实数 的取值范围.【解析】（1）由不等式 的解集为 ，可知 和-1 是一元20kx|1 0123+A B14 10C14 D10考向五 一元二次不等式的应用对于分式不等式和高次不等式，它们都可以转化为一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解.1分式不等式的解法若 与 是关于 的多项式，则不等式 (或1，即 a2a，则所求不等式的解集为 2|xa若 a0 或
11、a1，原不等式可化为 x20 23xk设 ，则 ，=211,3 2tk又 ，当且仅当 即 时取得最大值 ，21tt=2 =2 24 ，即实数 的取值范围为 .24 4，典例 12 已知函数 .21fxmx（1）若对于 xR， f(x), C D 5已知 的大小关系为1 , ,6设集合 ,则=|2+20,=|04 =A B2,4 0,1C D1,4 0,27已知 ，则 的取值范围是15,13abab2abA B6,4 2,14C D20 608若不等式 对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是24axxxaA B (,) (,2)(,)C D2 9已知下列四个条件: ; ; ; ,能推出 成立的
12、有0 0 0 01abA1 个 B2 个C3 个 D4 个10若关于 的不等式 的解集不是空集，则实数 的取值范围是 23xaA2，) B(，6C6,2 D(，62，)11已知不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是2+5+0 |20A B|1213 C D|2 |30 的解集为 R，则 k 的取值范围为_.2kx20已知 ， ， ，试比较 与 的大小0abcd0eeacbd21已知 , 3 x+y ,求 9x+y 的取值范围.12xy1222解下列不等式：（1） ；224（2） .+23223已知不等式 的解集为 .2+0 |10 3+2 |（1）求 ， 的值； （2）解不等式 ( 为常数)
13、.0cxab25 （1）解关于 的不等式 a ； 20(0)（2）已知不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围.(223)2(3)10,222ababab原不等式得证.方法二: ab0, 0, 0,2ab ,22()1左 边右 边原不等式得证. 2【答案】C3 【答案】B【解析】由题意易得： ，即 ， ，2+60 (3,2)4【解析】（1）由题意得 = ，fxg2x即 = ，fxg2联立得 = ， = x（2）由题意得 ，即 ，()02+40 40考点冲关1【答案】D2 【答案】B【解析】01, ac,选 B4.2060.670.6log3 【答案】D【解析】 ，等价为 ，且222515
14、 5301 1xx x 2530x，得 ，且 .故选 D.034 【答案】A【解析】 (1)2=0， ， 由 +2+1=0，得 =12， =+1+2=(+12)2+340， ，综上，可得 .故选 A5【答案】 6【答案】B【解析】因为 ,=2+20=|21,=|04所以 .=|017 【答案】C【解析】设 ，32abxyab易得 ， ，1x5y ，故选 C.2,1028 【答案】C 【解析】 ，04)2()(,4222 xaxxax当 ，即 时，不等式恒成立，符合题意.0a当 时，要使不等式恒成立，需 ，解得 .202a所以 的取值范围为 .a2,(9【答案】C【解析】中,因为 ,所以 ,因此
15、能推出 成立;0ba10ba1ab中,因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,因此正确;0ab0ab1a中,因为 ,所以 ,所以不正确;1中,因为 ,所以 ,所以正确;0abab故选 C10【答案】D【解析】因为关于 的不等式 的解集不是空集，所以 ，解得 23 2430a或 ，所以实数 的取值范围是 .故选 D.6 2 (,6,)211 【答案】A12 【答案】C【解析】由题意可知： 恒成立，2+2+10当 时，不等式不一定成立；=0当 时，应有 ，且 ，解得 .0 0 =2240 1综上可得， m 的取值范围是 m1.选 C.13 【答案】 xy【解析】由于 为不相等的正数， ，则,ab22,4a
16、babxy24abyx，所以 .204xy14【答案】 (0,1【解析】由题意得,不等式可化为 ,所以不等式的解集为 .11=1 0 (0,115【答案】 (24,8)【解析】由题意可得 ,当 时, ;43 0 3 0,1) |3 0 的解集为 R，而21kxx2+x+1= + 0，( k1) x2+(k1) x+20 的解集为 R.(+12)234当 k=1 时，20 恒成立，因此 k=1 满足条件.当 k0 时，可得 ，解得 10 21304x20 =(,+)因为 ,所以 ,即 . 2 2所以实数 的取值范围是 . 24【解析】（1）由 ，可得 ，即 1 和 b 为方程2(2 3 6)2 2 3 20的两根，所以 ，即 .2 3 2=012ba=1,=225 【解析】 （1） ，方程 的两根为 或 .0 2=0 =0=1当 时， ，此时不等式的解集为 .010 |1当 时， ，此时不等式的解集为 .010 |10（2）当 时， 或 .223=0 =1 =3当 时， 符合题意；=3 10当 时不符合题意，所以 .=1 =3当 时， 需满足 ，解得 .2230 220430m153综上可得， 的取值范围是 . |15326【解析】(1) 时, ，=1 ()=2+1
