1、第 1 页 共 12 页知识点梳理一、立体几何1多面体的结构特征(1)棱柱Error!(2)棱锥Error!(3)棱台 棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面 之间的部分2旋转体的形成几何体 旋转图形 旋转轴圆柱 矩形 任一边所在的直线圆锥 直角三角形 一条直角边所在的直线圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线球 半圆 直径所在的直线3直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x 轴、y轴的夹角为 45(或 135)，z轴与 x轴和 y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观
2、图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半4三视图(1)几何体的三视图包括正(主 )视图、侧(左) 视图、俯视图，分别是从几何体的 正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线5圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧 2rlS 圆锥侧 rlS 圆台侧 (rr)l6空间几何体的表面积与体积公式第 2 页 共 12 页名称几何体 表面积 体积柱体(棱柱和圆柱)S 表面积 S 侧 2S 底 VSh锥体(棱锥和圆锥)S
3、 表面积 S 侧 S 底 V Sh13台体(棱台和圆台)S 表面积 S 侧 S 上S 下V (S 上 S 下 13)hS上 S下球 S4R 2 V R343二、点线面的位置关系1四个公理公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2空间直线的位置关系(1)位置关系的分类：Error!(2)异面直线所成的角：定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的锐
4、角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角 (或夹角)范围： .(0，2(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系图形语言 符号语言 公共点相交 aA 1 个平行 a 0 个直线与平面在平面内 a 无数个第 3 页 共 12 页平行 0 个平面与平面 相交l 无数个4直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)la，a，l，l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“
5、线面平行线线平行”)l，l，b ，lb5平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)a ，b ，abP ，a ，b，性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a ，b ，ab6直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线 l 与平面 内的任意一条 直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：第 4 页 共 12 页文字语言 图形语言 符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直Err
6、or! l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行Error!ab7平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直Error!性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面Error!l三、直线与方程1直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0. (2)倾斜角的范围为0，) 2直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 ktan_，倾斜角是 90的直线没有斜率
7、(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点 P1(x1，y 1)，P 2(x2， y2)(x1x 2)的直线的斜率公式为 k .y2 y1x2 x1 y1 y2x1 x23直线方程名称 几何条件 方 程 局限性点斜式 过点(x 0，y 0)，斜率为kyy 0k(x x0)不含垂直于 x 轴的直线斜截式 斜率为 k，纵截距为 b ykx b不含垂直于 x 轴的直线两点式过两点(x 1，y 1)，(x2，y 2)， y y1y2 y1 x x1x2 x1 不包括垂直于坐标轴的直线第 5 页 共 12 页(x1x 2，y 1y 2)截距式在 x 轴、y 轴上的截距分别为a，b(a，b0) 1xa yb不
8、包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ByC 0(A ，B不全为 0)4两直线的位置关系斜截式 一般式方程yk 1xb 1yk 2xb 2A1x B1yC 10(A B 0)21 21A2x B2yC 20(A B 0)2 2相交 k1k 2A1B2A 2B10(当 A2B2 0时 ，记 为 A1A2 B1B2)垂直k1 或1k2k1k2 1A1A2B 1B20(当 B1B2 0时 ，记 为 A1B1A2B2 1)平行k1k 2且 b1b 2Error!或 Error!(当 A2B2C2 0时 ，记 为 A1A2 B1B2 C1C2)5两直线的交点设两条直线的方程是 l1：A 1xB 1y
9、C 10，l 2：A 2xB 2yC 20，两条直线的交点坐标就是方程组Error!的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立6几种距离(1)两点间的距离：平面上的两点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)间的距离公式d(A，B) |AB| .x1 x22 y1 y22(2)点到直线的距离：点 P(x1，y 1)到直线 l：Ax ByC0 的距离 d .|Ax1 By1 C|A2 B2(3)两条平行线间的距离：两条平行线 AxBy C 10 与 AxBy C 20 间的距离 d .|C1 C2|A2 B2四、圆
10、与方程第 6 页 共 12 页1圆的定义及方程定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa) 2(y b) 2r 2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y 2DxEyF0(D2E 24F0)圆心： ，( D2， E2)半径：12D2 E2 4F2点与圆的位置关系点 M(x0，y 0)与圆 (xa) 2(y b)2r 2 的位置关系：(1)若 M(x0，y 0)在圆外，则(x 0a) 2( y0b) 2r2.(2)若 M(x0，y 0)在圆上，则(x 0a) 2( y0b) 2r 2.(3)若 M(x0，y 0)在圆内，则(x 0a) 2( y0b) 2b0)x2a
11、2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2图形范围 ax a by b bx b ay a对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心：(0,0)顶点A1(a,0)，A 2(a,0)B1(0，b)，B 2(0，b)A1(0，a)，A 2(0，a)B1(b,0)，B 2(b,0)轴长轴 A1A2 的长为 2a短轴 B1B2 的长为 2b焦距 |F1F2|2c离心率 e ，e(0,1)ca性质a， b，c的关系c2a 2b 23双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离4双曲线的标准方程和几何性质标准方
12、程 1( a0，b0)x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2图形范围 xa 或 xa，y R xR， ya 或 ya性质 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点第 8 页 共 12 页顶点 A1(a,0)，A 2(a,0) A1(0，a)，A 2(0，a)渐近线 y xbay xab离心率 e ，e (1 ， )，其中 cca a2 b2实虚轴线段 A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长| A1A2|2a；线段 B1B2 叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B2|2b；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长a、b、c 的关系c2a 2b 2(ca0，cb0)5抛物线的定义满
13、足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点 F 距离与到定直线 l 的距离相等；(3)定点不在定直线上6抛物线的标准方程和几何性质y22px( p0) y22px( p 0) x22py(p0) x22py(p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图形顶点 O(0,0)对称轴 y0 x0焦点 F( ，0)p2F( ，0)p2F(0， )p2F(0， )p2离心率 e1准线方程xp2xp2yp2yp2范围 x 0，yR x 0，yR y 0，xR y0，xR开口方向 向右 向左 向上 向下焦半径( 其中P(x0，y 0) |PF|x 0p2|PF|x 0
14、p2|PF|y 0p2|PF|y 0p27直线与圆锥曲线的位置关系判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 AxBy C 0( A，B 不同时第 9 页 共 12 页为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量y)的一元方程即Error! 消去 y，得 ax2bx c0.(1)当 a0 时，设一元二次方程 ax2bxc0 的判别式为 ，则 0直线与圆锥曲线 C相交；0 直线与圆锥曲线 C 相切；0，a1) f(x )_(a0 ，a1)f(x)e x f( x)_f(x)log ax(a0，a1，且x0)f(x
15、 ) _(a0，a1，且x0)f(x)ln x f( x)_5导数运算法则(1)f(x)g(x)_ ；(2)f(x)g(x)_ ；(3) _ g(x)0fxgx6复合函数的求导法则：设函数 u(x)在点 x 处有导数 ux(x) ，函数 yf(u)在点x 处的对应点 u 处有导数 yuf (u) ，则复合函数 yf (x)在点 x 处有导数，且y xy uu x，或写作 f x(x)f ( u)(x)7导数和函数单调性的关系：第 12 页 共 12 页(1)若 f(x)0 在(a，b) 上恒成立，则 f(x)在(a，b) 上是_函数，f(x)0 的解集与定义域的交集的对应区间为_区间；(2)若
16、 f(x)0 在(a，b) 上恒成立，则 f(x)在(a，b) 上是_函数，f(x)0 的解集与定义域的交集的对应区间为_区间；(3)若在(a，b) 上，f(x )0，且 f(x)在( a，b)的任何子区间内都不恒等于零f (x)在(a，b)上为_函数，若在(a，b )上，f ( x)0，且 f( x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零f(x )在(a，b)上为_函数8函数的极值(1)判断 f(x0)是极值的方法一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时，如果在 x0 附近的左侧_，右侧_，那么 f(x0)是极大值；如果在 x0 附近的左侧_，右侧_，那么 f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求 f(x) ；求方程_的根；检查 f(x) 在方程_的根左右值的符号如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得_；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得_ 9函数的最值(1)函数 f(x)在a ，b上必有最值的条件如果函数 yf(x )的图象在区间a，b 上_，那么它必有最大值和最小值(2)求函数 yf(x )在a，b上的最大值与最小值的步骤：求函数 yf(x )在( a，b)内的_；将函数 yf(x )的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值
