1、第 1 页（共 19 页）2016-2017 学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1若集合 A=1，0，1，2，B=x|x+10，则 AB= 2函数 f（x）=log 2（1 x）的定义域为 3函数 f（x）=3sin（3x+ ）的最小正周期为 4已知角 的终边过点 P（ 5，12） ，则 cos= 5若幂函数 y=xa（a R）的图象经过点（ 4，2） ，则 a 的值为 6若扇形的弧长为 6cm，圆心角为 2 弧度，则扇形的面积为 cm 27设 ， 是不共线向量， 4 与 k + 共线，则实数 k 的值为 8定义在区间0，5上的函数
2、 y=2sinx 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数为 9若 a=log32，b=2 0.3，c=log 2，则 a，b ，c 的大小关系用“”表示为 10函数 f（ x）=2 x+a2x 是偶函数，则 a 的值为 _11如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，若 =2，则 的值为 12已知函数 f（x ）对任意实数 xR，f（x+2）=f（x）恒成立，且当 x1，1时，f（ x）=2 x+a，若点 P 是该函数图象上一点，则实数 a 的值为 13设函数 f（x ）= 3x2+2，则使得 f（1）f（log 3x）成立的 x 取值范围为 第 2 页（共 19 页）14已知函
3、数 f（x ）= ，其中 m0，若对任意实数 x，都有f（x）f（x+1）成立，则实数 m 的取值范围为 二、解答题（共 6 题，90 分）15已知 =2（1）求 tan；（2）求 cos（ ）cos（ +）的值16已知向量 =（2，1） ， =（3，4） （1）求（ + ）（2 ）的值；（2）求向量 与 + 的夹角17如图，在一张长为 2a 米，宽为 a 米（a2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是 x 米（0x1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积（1）试写出 V（x）的解析式；（2）记 y= ，当 x 为何值时，y 最小？并求出最小值18已知函数 f（x
4、）=Asin（x+） （A 0，0，| ）的最下正周期为，且点 P（ ，2）是该函数图象的一个人最高点（1）求函数 f（x）的解析式；（2）若 x ，0，求函数 y=f（x）的值域；第 3 页（共 19 页）（3）把函数 y=f（x）的图线向右平移 （0 ）个单位，得到函数y=g（x ）在0， 上是单调增函数，求 的取值范围19如图，在ABC 中，已知 CA=1，CB=2 ，ACB=60（1）求| |；（2）已知点 D 是 AB 上一点，满足 = ，点 E 是边 CB 上一点，满足= 当 = 时，求 ；是否存在非零实数 ，使得 ？若存在，求出的 值；若不存在，请说明理由20已知函数 f（x ）
5、=x a，g（x）=a|x |，aR （1）设 F（x）=f（x）g（x） 若 a= ，求函数 y=F（x ）的零点；若函数 y=F（x ）存在零点，求 a 的取值范围（2）设 h（x）=f（x）+g（x） ，x 2，2，若对任意 x1，x 22，2，|h（x 1）h（x 2）|6 恒成立，试求 a 的取值范围第 4 页（共 19 页）2016-2017 学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1若集合 A=1，0，1，2，B=x|x+10，则 AB= 0，1，2 【考点】交集及其运算【分析】先分别求出集合 A，B ，由
6、此利用交集定义能求出 AB【解答】解：集合 A=1，0 ，1，2，B=x|x+10= x|x1，AB=0，1，2故答案为：0，1，22函数 f（x）=log 2（1 x）的定义域为 x |x1 【考点】对数函数的定义域【分析】要使函数 f（x） =log2（1x）有意义，只需对数的真数大于 0，建立不等式解之即可，注意定义域的表示形式【解答】解：要使函数 f（x ）=log 2（1x）有意义则 1x0 即 x1函数 f（x ）=log 2（1x）的定义域为x |x1故答案为：x|x13函数 f（x）=3sin（3x+ ）的最小正周期为 【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】利用利用函数 y=
7、Asin（x+ ）的周期为 ，得出结论第 5 页（共 19 页）【解答】解：函数 f（x） =3sin（3x+ ）的最小正周期为 ，故答案为： 4已知角 的终边过点 P（ 5，12） ，则 cos= 【考点】任意角的三角函数的定义【分析】先求出角 的终边上的点 P（ 5，12）到原点的距离为 r，再利用任意角的三角函数的定义 cos= 求出结果【解答】解：角 的终边上的点 P（ 5，12）到原点的距离为 r=13，由任意角的三角函数的定义得 cos= = 故答案为 5若幂函数 y=xa（a R）的图象经过点（ 4，2） ，则 a 的值为 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】根据幂
8、函数 y=xa 的图象过点（4，2） ，代入数据求出 a 的值【解答】解：幂函数 y=xa（aR ）的图象经过点（ 4，2） ，所以 4a=2，解得 a= 故答案为： 6若扇形的弧长为 6cm，圆心角为 2 弧度，则扇形的面积为 9 cm 2【考点】扇形面积公式【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积【解答】解：因为：扇形的弧长为 6cm，圆心角为 2 弧度，所以：圆的半径为：3，第 6 页（共 19 页）所以：扇形的面积为： 63=9故答案为：97设 ， 是不共线向量， 4 与 k + 共线，则实数 k 的值为 【考点】平行向量与共线向量【分析】e 14e2 与 ke1+e2 共线，
9、则存在实数 ，使得满足共线的充要条件，让它们的对应项的系数相等，得到关于 K 和 的方程，解方程即可【解答】解：e 14e2 与 ke1+e2 共线， ，k=1，=4， ，故答案为 8定义在区间0，5上的函数 y=2sinx 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数为 5 【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象【分析】画出函数 y=2sinx 与 y=cosx 在一个周期0，2 上的图象，即可得出结论【解答】解：画出函数 y=2sinx 与 y=cosx 在一个周期0 ，2 上的图象如图实数：第 7 页（共 19 页）由图可知，在一个周期内，两函数图象在0，上有 1 个交点，在（，2上有 1
10、个交点，所以函数 y=2sinx 与 y=cosx 在区间0，5上图象共有 5 个交点故答案为：59若 a=log32，b=2 0.3，c=log 2，则 a，b ，c 的大小关系用“”表示为 ca b 【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：a=log 32（0，1） ，b=2 0.31，c=log 20，cab故答案为：cab10函数 f（ x）=2 x+a2x 是偶函数，则 a 的值为 1 _【考点】函数奇偶性的判断【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可【解答】解：f（x）=2 x+a2x 是偶函数，f（ x）=f（x） ，即 f（x ）=2
11、x+a2x=2x+a2x，则（2 x2x）=a（2 x2x） ，即 a=1，第 8 页（共 19 页）故答案为：111如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，若 =2，则 的值为 3 【考点】平面向量数量积的运算【分析】建立直角坐标系，设出正方形的边长，利用向量的数量积求出边长，然后求解数量积的值【解答】解：以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，设正方形的边长为2a，则：E （a ，2a） ，B（2a，0） ，D（0，2a）可得： =（a，2a ） ， =（2a， 2a） 若 =2，可得 2a24a2=2，解得 a=1，=（ 1，2） ， =（1，2 ） ，则
12、的值： 1+4=3故答案为：312已知函数 f（x ）对任意实数 xR，f（x+2）=f（x）恒成立，且当 x1，1第 9 页（共 19 页）时，f（ x）=2 x+a，若点 P 是该函数图象上一点，则实数 a 的值为 2 【考点】抽象函数及其应用；函数的图象【分析】求出函数的周期，然后利用点的坐标满足函数的解析式，推出结果即可【解答】解：函数 f（x）对任意实数 xR，f（x+2）=f（x）恒成立，可得函数的周期为：2，f=f（ 1） 且当 x1，1时，f（x ）=2 x+a，点 P 是该函数图象上一点，可得 21+a=8，解得 a=2故答案为：213设函数 f（x ）= 3x2+2，则使得
13、 f（1）f（log 3x）成立的 x 取值范围为 0x 3 或 x3 【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由题意，f（x）=f（x） ，函数是偶函数，x 0 递减，f（1）f （log 3x） ，1|log 3x|，即可得出结论【解答】解：由题意，f（x）=f（x） ，函数是偶函数，x 0 递减f（ 1）f（log 3x）1|log 3x|，0x3 或 x3，使得 f（1）f （log 3x）成立的 x 取值范围为 0x 3 或 x3，故答案为 0x3 或 x314已知函数 f（x ）= ，其中 m0，若对任意实数 x，都有第 10 页（共 19 页）f（x）f（x+1）成立，则实数 m 的
14、取值范围为 （0， ） 【考点】分段函数的应用【分析】由 f（x）的解析式，可得 f（x+1）的解析式，画出 f（x）的图象，向左平移一个单位可得 f（x +1）的图象，由 xm ，f（x）的图象与 xm1 的图象重合，可得 m 的一个值，进而通过图象可得 m 的范围【解答】解：由函数 f（x ）= ，其中 m0，可得 f（ x+1）= ，作出 y=f（x）的简图，向左平移 1 个单位，可得 y=f（x+1） ，由对任意实数 x，都有 f（ x）f（x +1）成立，只要 f（ x）的图象恒在 f（x+1）的图象上，由 xm ，f（x）的图象与 xm 1 的图象重合，可得2m=12m，解得 m=
15、 ，通过图象平移，可得 m 的范围为 0m 故答案为：（0， ） 二、解答题（共 6 题，90 分）15已知 =2（1）求 tan；第 11 页（共 19 页）（2）求 cos（ ）cos（ +）的值【考点】三角函数的化简求值【分析】 （1）直接利用同角三角函数的基本关系，求得 tan 的值（2）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值【解答】解：（1）已知 =2= ，tan=5（2）cos（ ）cos（ +）=sin（cos）= = =16已知向量 =（2，1） ， =（3，4） （1）求（ + ）（2 ）的值；（2）求向量 与 + 的夹角【考点】平面向量数量积的运算；数量积表
16、示两个向量的夹角【分析】 （1）利用向量的坐标求解所求向量的坐标，利用数量积运算法则求解即可（2）利用数量积求解向量的夹角即可【解答】解：（1）向量 =（2，1） ， =（3，4） （ + ）=（1，3） ， （2 ）=（ 7，6） 所以（ + ）（2 ）= 718=25（2） + =（1，3） ，cos ， + = = = 向量 与 + 的夹角为 13517如图，在一张长为 2a 米，宽为 a 米（a2）的矩形铁皮的四个角上，各剪第 12 页（共 19 页）去一个边长是 x 米（0x1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积（1）试写出 V（x）的解析式；（2）记 y
17、= ，当 x 为何值时，y 最小？并求出最小值【考点】函数模型的选择与应用【分析】 （1）利用小反弹的体积公式，写出 V（x ）的解析式；（2）记 y= ，利用配方法，即可得到当 x 为何值时，y 最小，并求出最小值【解答】解：（1）由题意，V（x ）=（2a2x） （a2x）x（0x1） ；（2）y= =（2a 2x） （a 2x）= ，a 2 ，0 x1，x=1 时，y 最小，最小值为 2（a 1） （a 2） 18已知函数 f（x ）=Asin（x+） （A 0，0，| ）的最下正周期为，且点 P（ ，2）是该函数图象的一个人最高点（1）求函数 f（x）的解析式；（2）若 x ，0，求函
18、数 y=f（x）的值域；（3）把函数 y=f（x）的图线向右平移 （0 ）个单位，得到函数y=g（x ）在0， 上是单调增函数，求 的取值范围【考点】函数 y=Asin（x+ ）的图象变换【分析】 （1）由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由特殊点的坐标求出 的值，可得函数的解析式第 13 页（共 19 页）（2）由 x 的范围可求 2x+ ， ，利用正弦函数的性质可求其值域（3）利用三角函数平移变换规律可求 g（x）=2sin（2x2 + ） ，利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得 ，k Z，结合范围 0 ，可求 的取值范围【解答】解：（1）由题意可得，A=2， =
19、，=2再根据函数的图象经过点 M（ ，2） ，可得 2sin（2 +）=2，结合| ，可得 = ，f（ x）=2sin（2x+ ） （2）x ，0，2x+ ， ，sin （2x+ ） 1， ，可得：f（x ）=2sin（2x+ ）2，1（3）把函数 y=f（x）的图线向右平移 （0 ）个单位，得到函数 y=g（x）=2sin2（x ）+ =2sin（2x 2+ ） ，令 2k 2x2 + 2k+ ，k Z，解得：k+ xk + ，k Z，可得函数的单调递增区间为：k+ ，k+ ，k Z，函数 y=g（x）在0， 上是单调增函数，第 14 页（共 19 页） ，解得： ，kZ ，0 ，当 k=0
20、 时， ， 19如图，在ABC 中，已知 CA=1，CB=2 ，ACB=60（1）求| |；（2）已知点 D 是 AB 上一点，满足 = ，点 E 是边 CB 上一点，满足= 当 = 时，求 ；是否存在非零实数 ，使得 ？若存在，求出的 值；若不存在，请说明理由【考点】平面向量数量积的运算【分析】 （1）利用余弦定理求出 AB 的长即得| |；（2）= 时，D、E 分别是 BC，AB 的中点，求出 、 的数量积即可；假设存在非零实数 ，使得 ，利用 、 分别表示出 和 ，求出 =0 时的 值即可【解答】解：（1）ABC 中，CA=1，CB=2 ，ACB=60，由余弦定理得，第 15 页（共 1
21、9 页）AB2=CA2+CB22CACBcosACB=12+22212cos60=3，AB= ，即| |= ；（2）= 时， = ， = ，D、E 分别是 BC，AB 的中点， = + = + ，= （ + ） ， =（ + ） （ + ）= + + += 12+ 12cos120+ 21cos60+ 22= ；假设存在非零实数 ，使得 ，由 = ，得 =（ ） ， = + = +（ ）= +（1 ） ；又 = ， = + =（ ）+（ ）= （1 ） ； =（ 1） +（1 ） 2 （1 ）=4（1）+（1） 2（1 ）=32+2=0，解得 = 或 =0（不合题意，舍去） ；即存在非零实数
22、= ，使得 第 16 页（共 19 页）20已知函数 f（x ）=x a，g（x）=a|x |，aR （1）设 F（x）=f（x）g（x） 若 a= ，求函数 y=F（x ）的零点；若函数 y=F（x ）存在零点，求 a 的取值范围（2）设 h（x）=f（x）+g（x） ，x 2，2，若对任意 x1，x 22，2，|h（x 1）h（x 2）|6 恒成立，试求 a 的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理【分析】 （1）设 F（x）=f（x ） g（x） 若 a= ，由 F（x）=0 ，即可求得 F（x ）的零点；若函数 y=F（x ）存在零点，则 xa=a|x|，等号两端构造两个函
23、数，当 a0 时，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得满足题意的 a 的取值范围的一部分；同理可得当 a0 时的情况，最后取并即可求得 a 的取值范围（2）h（x）=f（x）+g（x） ，x 2，2，对任意 x1，x 22，2，|h（x 1）h（x 2）|6 恒成立h（x 1） maxh（x 2） min6，分 a1、 1a 1、a1 三类讨论，即可求得 a 的取值范围【解答】解：（1）F（x）=f（x ） g（x）=xa a|x|，若 a= ，则由 F（x）=x |x| =0 得： |x|=x ，当 x0 时，解得：x=1；当 x0 时，解得：x= （舍去） ；综上可知，a= 时，函数
24、y=F（x ）的零点为 1；若函数 y=F（x ）存在零点，则 xa=a|x|，当 a0 时，作图如下：第 17 页（共 19 页）由图可知，当 0a1 时，折线 y=a|x|与直线 y=xa 有交点，即函数 y=F（x ）存在零点；同理可得，当1a0 时，求数 y=F（x）存在零点；又当 a=0 时，y=x 与 y=0 有交点（ 0，0） ，函数 y=F（x）存在零点；综上所述，a 的取值范围为（1，1） （2）h（x）=f（x）+g（x）=x a+a|x|，x 2， 2，当2x0 时，h（x）=（1a）xa；当 0x2 时，h（x）=（1+a）xa；又对任意 x1，x 22，2，|h （x
25、 1）h （x 2）|6 恒成立，则 h（x 1） maxh（x 2） min6，当 a1 时， 1a0，1 +a0 ，h （x）= （1 a）xa 在区间2，0）上单调递增；h（x）=（1+ a）xa 在区间0，2上单调递减（当 a=1 时，h （x）=a） ；h（x） max=h（0）=a，又 h（2）=a2，h （2）=2+a ，h（x 2） min=h（2）=a2，a （ a2）=22a 6，解得 a 2，综上，2a 1；第 18 页（共 19 页）当1a 1 时，1 a0， 1a0，h（x）=（1a ）xa 在区间2，0）上单调递增，且 h（x）=（ 1+a）xa 在区间0，2上也单调递增，h（x） max=h（2）=2+a，h（x 2） min=h（2）=a2 ，由 a+2（a2） =46 恒成立，即 1a1 适合题意；当 a1 时，1a 0，1+a0，h（x）=（1a）xa 在区间 2，0）上单调递减（当 a=1 时，h（x）= a） ，h（x）= （1+a）xa 在区间 0，2上单调递增；h（x） min=h（0）= a；又 h（2）=2+aa2=h（2） ，h（x） max=h（2）=2+a，2+a （a）=2+2a6 ，解得 a2，又 a1，1a2 ；综上所述，2a2第 19 页（共 19 页）2017 年 2 月 21 日
