八年级三角形讲义.docx-道客多多

2、些定理？请课后回去自己翻书看！二、课前小测1. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，B= D求证：ADBC（用两种不同的方法证明）证明一：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，B+C=180 ，A+D=180又B=D，A= C，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC；证明二：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，A+ D=180又B=D，A+ B=180 ，第 2 页共 18 页ADBC2、已知：如图，中，于 D。求证：。ABCABC， DCB2AA 1 2 D B C E 3 分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一A半

3、，再证与的关系。DCB证明：过点 A 作于 E，CA所以（等腰三角形的三线合一性质）21因为 90又，所以BCD90C所以（直角三角形两锐角互余）3所以（同角的余角相等）1即 2A说明：1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线；2. 对线段之间的倍半关系，常采用 “截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“ 倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出的等角等。DCB三、典例分析题型一全等三角形的判定（综合题）专题一三角形全等的判定例 1-1 （2015

4、昆明）如图，点 B、E、C、F 在同一条直线上， A=D ，B= DEF，BE=CF求证：AC=DF （虽然简单，但是易错！）第 3 页共 18 页【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】根据 BE=CF，求出 BC=EF，根据 AAS 推出 ABCDEF，根据全等三角形的性质推出即可【解答】证明：BE=CF（已知），BE+EC=EC+CF，即 BC=EF，在ABC 和DEF 中，ABCDEF（AAS），AC=DF（全等三角形对应边相等）【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出ABCDEF，注意：全等三角形的对应边相等变式训练 1-

5、1：（2011 玉溪）如图，点 B、C、D、E 在同一条直线上，已知 AB=FC，AD=FE，BC=DE，探索AB 与 FC 的位置关系？并说明理由【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】探究型【分析】AB 与 CF 的位置关系为平行，理由：由 BC=DE，根据等式性质在等号两边同时加上 CD，得到BD=CE，又 AB=FC，AD=FE，根据 SSS 可得三角形 ABD 与三角形 FCE 全等，由全等三角形的对应角相等可得一对同位角相等，根据同位角相等，两直线平行即可得证【解答】解：AB 与 FC 位置关系是：ABFC，理由为：证明：BC=DE（已知），BC+CD=DE+CD（等

6、式的基本性质），即 BD=CE，在ABD 和 FCE 中，ABDFCE （SSS），B=FCE（全等三角形的对应角相等），ABFC（同位角相等，两直线平行）【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，判定两三角形全等的方法有：SSS；SAS；ASA ；AAS 及 HL（直角三角形），证明三角形全等，不仅要注意文字条件，还需从图形中捕捉公共角、公共边等图形条件，本题不是直接求证三角形全等，而是探究两直线的位置关系，此时要联系三角形全等的性质，分析出先证哪两个三角形全等，再进一步推出对应角的相等，然后由平行线的判定方法即可得证例 1-2（2013 秋东莞校级期中）如图，

7、A 、D 、F、B 在同一直线上，AD=BF，AE=BC，A=B ，求证：EFCD第 4 页共 18 页【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定菁优网版权所有【专题】证明题【分析】根据已知条件得出AEFBCD，即可得出AFE= BDC，再根据内错角相等两直线平行，即可证明EFCD【解答】证明：AD=BF，AD+EF=BF+EF，AF=BD，在ACB 和DEF 中，ACBDEF（SAS），AFE=BDC，EFCD 【点评】本题考查了两直线平行的判定方法，内错角相等，两直线平行，解决本题的关键是证明ACBDEF，得到AFE= BDC ，即可解答变式训练 1-2：（2015 高新区一模）如图

8、，在 AFD 和CEB 中，点 A、E、F、C 在同一直线上，AE=CF，BEDF，ADBC求证：AD=BC【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】根据 BEDF，ADBC ，得到BEC= DFA ，A=C，根据 AE=CF，得到 AF=CE，根据 ASA 证出ADFCBE 即可【解答】证明：BEDF， ADBC ，BEC=DFA，A=C，AE=CF，AE+EF=CF+EF，即 AF=CE，在ADF 和 CBE 中，第 5 页共 18 页ADF CBE（ASA），AD=BC【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，判定两三角形全等的方法有：SA

9、S、ASA、AAS 、SSS专题二全等三角形的判定与性质例 2【2012襄阳】如图，在ABC 中，ABAC，AD BC 于点 D，将ADC 绕点 A 顺时针旋转，使 AC 与 AB 重合，点 D 落在点 E 处，AE 的延长线交 CB 的延长线于点 M，EB 的延长线交 AD 的延长线于点 N.求证：AMAN .证明：如图所示， 7654 321NME DB CAAEB 由ADC 旋转而得，AEB ADC.31，6CABAC， ADBC，21，7C.32，6745，ABM ABN又ABAB，AMB ANBAMAN 变式训练：【2012泸州】如图，ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上一点，

10、以 CD 为边作等边三角形 CDE，使点E、A 在直线 DC 的同侧，连接 AE求证：AEBC证明：ABC 和EDC 是等边三角形，BCADCE60BCAACDDCEACD，即BCD ACE在DBC 和EAC 中，BCAC，BCDACE，DC EC，DBCEAC（SAS） DBCEAC又DBCACB60，ACBEACNMEDB CA第 6 页共 18 页AEBC备选：（2013东营）（1）如图（1），已知：在ABC 中，BAC=90，AB=AC，直线 m 经过点 A，BD直线m，CE直线 m，垂足分别为点 D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC 中

11、，AB=AC，D 、A、E 三点都在直线 m 上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论 DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点 F为BAC 平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，连接 BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF 的形状【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）根据 BD直线 m，CE 直线 m 得BDA=CEA=90，而BAC=90

12、，根据等角的余角相等得CAE=ABD，然后根据“AAS”可判断 ADBCEA ，则 AE=BD，AD=CE，于是 DE=AE+AD=BD+CE；（2）与（1）的证明方法一样；（3）由前面的结论得到ADBCEA，则 BD=AE，DBA=CAE，根据等边三角形的性质得ABF=CAF=60 ，则DBA+ABF=CAE+ CAF，则 DBF=FAE，利用“SAS”可判断DBFEAF，所以 DF=EF，BFD=AFE，于是DFE=DFA+AFE= DFA+BFD=60，根据等边三角形的判定方法可得到 DEF 为等边三角形【解答】证明：（1）BD直线 m，CE 直线 m，BDA=CEA=90，BAC=90

13、，BAD+CAE=90，BAD+ABD=90，CAE=ABD，在ADB 和CEA 中，ADBCEA（AAS ），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+ CAE=180，第 7 页共 18 页CAE=ABD，在ADB 和CEA 中，ADBCEA（AAS ），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（3）DEF 是等边三角形由（2）知，ADBCEA，BD=AE，DBA=CAE，ABF 和ACF 均为等边三角形，ABF=CAF=60 ，DBA+ABF=CAE+CAF，DBF=FAE，BF=AF在DBF 和 EAF

14、中，DBF EAF（SAS），DF=EF，BFD=AFE，DFE=DFA+AFE= DFA+BFD=60，DEF 为等边三角形【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、 “SAS”、 “ASA”、 “AAS”；全等三角形的对应边相等也考查了等边三角形的判定与性质点评【温馨提示】1两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等2有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等3 “HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等【方法技巧】1应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边

15、和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（2）对应顶点所对应的边是对应边；（3）公共边（角）是对应边（角）；（4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若ABCDEF，说明 A 与 D，B 与 E，C 与 F 是对应点，则ABC 与DEF 是对应角，边 AC 与边 DF 是对应边2判定两个三角形全等的解题思路：第 8 页共 18 页SAASAS找夹角已知两边找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边

16、一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边题型二特殊三角形（综合题）例 1、（2008 乌鲁木齐）在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，如图，并写下了四个等式：AB=DC，BE=CE ，B= C，BAE=CDE要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED 是等腰三角形请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由（写出一种即可）【考点】等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】开放型【分析】要证明AED 是等腰三角形，既可证明 AE=AD，也可证明EAD=ADE，所以根据这两种途径就可以找到

17、所需要的条件，当然要利用这些首先证明三角形全等，利用对应边相等或对应角相等就可以得到 AE=AD 或EAD=ADE【解答】解：已知：（或，或，或）证明：在ABE 和DCE 中，，ABEDCE，AE=DE，即AED 是等腰三角形【点评】本题考查了等腰三角形的判定及全等三角形的判定及性质；此题既要求熟练掌握全等三角形的判定，也要求熟练掌握等腰三角形的判定，三角形全等的证明是正确解答本题的关键变式 1 （2015中山校级三模）如图，ABCD 是一张矩形纸片， AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形 ABCD 的边 AB上取一点 M，在 CD 上取一点 N，将纸片沿 MN 折叠，使 MB 与 DN

18、交于点 K，得到MNK（1）若1=70，求MKN 的度数；（2）当折痕 MN 与对角线 AC 重合时，试求 MNK 的面积（3）MNK 的面积能否小于 0.5？若能，求出此时1 的度数；若不能，试说明理由第 9 页共 18 页【考点】翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出KNM，KMN 的度数，根据三角形内角和即可求解；（2）当折痕 MN 与对角线 AC 重合时，此时 AKC 为等腰三角形，设 MK=AK=CK=x，则 DK=5x，在 RtADK中，根据勾股定理得：AD 2+DK2=AK2，即 12+（5 x） 2=x2，求得 x=2.6，所以 M

19、K=AK=CK=2.6，根据三角形面积公式即可解答；（3）不能，过 M 点作 MEDN，垂足为 E，通过证明 NK1，由三角形面积公式可得MNK 的面积不可能小于0.5【解答】解：（1）四边形 ABCD 是矩形，AMDN，KNM=1 ，KMN=1 ，KNM=KMN，1=70 ，KNM=KMN=70，MKN=40；（2）如图 1，折痕即为 AC，此时AKC 为等腰三角形，设 MK=AK=CK=x，则 DK=5x，在 RtADK 中，根据勾股定理得：AD 2+DK2=AK2，即 12+（5 x） 2=x2，解得：x=2.6，MK=AK=CK=2.6，MNK 的面积的为 1.3（3）不能，如图 2，

20、理由如下：过 M 点作 AEDN，垂足为点 E，则 ME=AD=1，由（1）知，KNM= KMN，MK=NK，又MKME，ME=AD=1 ，MK1，第 10 页共 18 页又，即MNK 面积的最小值为，不可能小于 0.5【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理，解决本题的关键是利用翻折变换的性质得到相等的角，掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想例 2：如图,已知正方形 ABCD 中,EAF=45,求证：EF=BE+DF.证明：（1）延长 CB 到 G，使 GB=DF，连接 AG（如图）AB=AD， ABG=D=90，GB=DF，ABGADF （SAS ），3=2，AG=AF，B

21、AD=90，EAF=45，1+2=45，GAE=1+3=45=EAF，AE=AE，GAE=EAF，AG=AF，AGE AFE（SAS），GB+BE=EF，DF+BE=EF；变式2 1190 .:;2218 , . 130 , 2ABCDAEFBCDEAFBDEFBDBADCEFBEAFB 如图 ,在四边形中，，（）若，、分别是边、上的点，且求证（）若，、分别是边、上的点，且中的结论是否仍然成立？不用证明（）若，、分别是边、延长线上的点，且中的结论是

22、否仍然成立？若 .成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明证明：（1）延长 EB 到 G，使 BG=DF，连接 AG第 11 页共 18 页ABG=ABC=D=90，AB=AD，ABGADF AG=AF， 1=21+3=2+3= EAF= BAD1GAE =EAF又 AE=AE，AEG AEFEG=EFEG=BE+BGEF=BE+FD（2）（1）中的结论 EF=BE+FD 仍然成立（3）结论 EF=BE+FD 不成立，应当是 EF=BE-FD证明：在 BE 上截取 BG，使 BG=DF，连接 AGB+ADC

23、=180 ，ADF+ADC=180，B=ADFAB=AD，ABGADF BAG=DAF，AG=AFBAG+EAD= DAF+ EAD=EAF= BAD12GAE=EAFAE=AE，AEG AEFEG=EFEG=BE-BGEF=BE-FD课堂总结第 12 页共 18 页全等三角形判定方法总结：一、全等三角形的定义（能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形）；（容易忽略）二、在全等三角形中找对应边和对应角1、公共边是对应边；2、对应角的对边是对应边；3、公共角是对应角；4、对顶角是对应角；5、对应边的对角是对应角。三、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。全等三角形的周长相等、面积

24、相等全等三角形的对应线段都相等四、判定三角形全等的方法：基本事实：SAS,ASA,SSS, 定理 AAS,判定直角三角形全等的方法：基本事实：SAS,ASA,SSS, 定理 AAS, HL五、证明题的思考思路：拿到证明题首先看是证明什么的，比如是要证明线段相等，那就要看这两条线段在哪两个三角形中，结合图形看一看这两个三角形是否全等，结合全等证明的依据看全等条件可够，不够的条件能否从其他已知条件中得到；再结合已知条件看从给的已知条件能得到什么，两头一凑，基本上证明思路就出来了。六、证明角相等的依据1、由角平分线得角相等； 2、同角或等角的余角相等3、同角或等角的补角相等3、由平行线得角相等或角

25、的互补；4、三角形内角和是 180 度；5、全等三角形的对应角相等；6、三角形的外角等于与它不相邻的两内角和；七、证明线段相等的依据全等三角形的对应边相等八、证明角不等的依据三角形的外角大于与它不相邻的任一内角九、证明线段不等的依据三角形两边之和大于第三边课后作业第 13 页共 18 页1如图，已知ABC 中，ABC=45，AC=4，H 是高 AD 和 BE 的交点，则线段 BH 的长度为（）A B4 C D56231B 解析：ABC=45，ADBC ，AD=BD ，ADC=BDH，AHE=BHD=CADCBDHBH =AC=4故选 B2 （2014 荆州）如图，在第 1 个A 1BC 中

26、，B=30，A 1B=CB；在边 A1B 上任取一点 D，延长 CA1 到 A2，使 A1A2=A1D，得到第 2 个 A1A2D；在边 A2D 上任取一点 E，延长 A1A2 到 A3，使 A2A3=A2E，得到第 3 个A2A3E，按此做法继续下去，则第 n 个三角形中以 An 为顶点的内角度数是（）A （） n75 B （） n165 C （） n175 D （） n85【考点】等腰三角形的性质菁优网版权所有【专题】规律型【分析】先根据等腰三角形的性质求出BA 1C 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出DA 2A1，EA 3A2 及FA 4A3 的度数，找出

27、规律即可得出第 n 个三角形中以 An 为顶点的内角度数【解答】解：在CBA 1 中，B=30 ，A 1B=CB，BA 1C= =75，A 1A2=A1D，BA 1C 是 A1A2D 的外角，DA 2A1= BA 1C= 75；同理可得，EA 3A2=（） 275，FA 4A3=（） 375，第 n 个三角形中以 An 为顶点的内角度数是（） n175故选：C【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出DA 2A1，EA 3A2 及FA 4A3 的度数，找出规律是解答此题的关键3、（ 2014 春东营区校级期末）一个三角形的三边为 2、5、x，另一个三角形的三

28、边为 y、2、6，若这两个三角形全等，则 x+y= 11 【考点】全等三角形的性质菁优网版权所有【分析】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案【解答】解：这两个三角形全等，两个三角形中都有 2长度为 2 的是对应边，x 应是另一个三角形中的边 6同理可得 y=5第 14 页共 18 页x+y=11故填 11【点评】本题考查了全等三角形的性质及对应边的找法；根据两个三角形中都有 2 找对对应边是解决本题的关键4、（2012 海曙区模拟）如图是由四个大小不等的、顶角为 120的等腰三角形拼接而成已知三角形 ABC 面积为 100，三角形 ACD 面积为 32，三角形 ABF 的

29、面积为 37组成图形的四个等腰三角形中，最小的一个面积为 9.61 【考点】等腰三角形的性质；三角形的面积；三角形内角和定理菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】设ABC 的高为 h，由已知三角形 ABC 面积为 100，求得 h2= ，再分别求出 BF，CM 的长，然后可得 MN 的长，再根据勾股定理求出NME 的高，然后求得三角形 MNE 的关系式，将代入即可【解答】解：设ABC 的高为 h，由已知三角形 ABC 面积为 100，可得 h2= ，设 SABF 的高为 x，则 x= ，由 sin60= ，得 BF=BN= ，同理可得 CM= ，MN=2 h ，NME 的高为（2 h ）

30、，SMNE= （2 h ）（2 h ），将代入得 SMNE=9.61故答案为：9.61【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质，三角形面积，勾股定理的理解和掌握，此题步骤繁琐，计算时数值精确，没有一处保留，此题难度较大，稍有疏忽，就可能导致错误，属于难题5、（ 2012珠海）如图，在ABC 中，AB=AC，AD 是高， AM 是ABC 外角CAE 的平分线（1）用尺规作图方法，作ADC 的平分线 DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设 DN 与 AM 交于点 F，判断ADF 的形状（只写结果）第 15 页共 18 页【考点】等腰三角形的判定与性质；作图基本作图菁优网版权所有

31、【专题】作图题【分析】（1）以 D 为圆心，以任意长为半径画弧，交 AD 于 G，交 DC 于 H，分别以 G、H 为圆心，以大于 GH为半径画弧，两弧交于 N，作射线 DN，交 AM 于 F（2）求出BAD=CAD，求出 FAD= 180=90，求出 CDF=AFD=ADF，推出 AD=AF，即可得出答案【解答】解：（1）如图所示：（2）ADF 的形状是等腰直角三角形，理由是：AB=AC，ADBC，BAD=CAD，AF 平分EAC，EAF=FAC，FAD= FAC+DAC= EAC+ BAC= 180=90，即ADF 是直角三角形，AB=AC，B=ACB，EAC=2EAF=B+ACB，EA

32、F=B，AFBC，AFD= FDC，DF 平分ADC，ADF= FDC=AFD，AD=AF，即直角三角形 ADF 是等腰直角三角形【点评】本题考查了作图基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养学生的动手操作能力和推理能力，第 16 页共 18 页题目比较典型，难度也适中6、（2016 春太仓市期末）已知：MON=40 ，OE 平分MON，点 A、B 、C 分别是射线 OM、OE 、ON 上的动点（A、B、C 不与点 O 重合），连接 AC 交射线 OE 于点 D设OAC=x （1）如图 1，若 ABON，则ABO 的度数是 20 ；当BAD= ABD 时，x= 120 ；当BAD

33、=BDA 时，x= 60 （2）如图 2，若 ABOM，则是否存在这样的 x 的值，使得ADB 中有两个相等的角？若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由【考点】三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形内角和定理菁优网版权所有【专题】计算题【分析】利用角平分线的性质求出ABO 的度数是关键，分类讨论的思想【解答】解：（1）MON=40，OE 平分MONAOB=BON=20ABONABO=20BAD= ABDBAD=20AOB +ABO+OAB=180OAC=120BAD=BDA，ABO=20BAD=80AOB+ABO+OAB=180OAC=60 故答案为：20 120，60（2）当点

34、 D 在线段 OB 上时，若BAD=ABD，则 x=20若BAD=BDA，则 x=35若ADB=ABD，则 x=50当点 D 在射线 BE 上时，因为ABE=110，且三角形的内角和为 180，所以只有BAD=BDA，此时 x=125综上可知，存在这样的 x 的值，使得ADB 中有两个相等的角，且 x=20、35、50、125【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于 180，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和7 、（2014德州）问题背景：如图 1：在四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=120 ，B=ADC=90E，F 分别是 B

35、C，CD 上的点且EAF=60探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G使 DG=BE连结 AG，先证明ABEADG ，再证明AEFAGF ，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ；第 17 页共 18 页探索延伸：如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+D=180E，F 分别是 BC，CD 上的点，且EAF= BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东 70的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令

36、后，舰艇甲向正东方向以 60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50的方向以 80 海里/小时的速度前进.1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F 处，且两舰艇之间的夹角为 70，试求此时两舰艇之间的距离【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题；探究型【分析】问题背景：根据全等三角形对应边相等解答；探索延伸：延长 FD 到 G，使 DG=BE，连接 AG，根据同角的补角相等求出B= ADG，然后利用“边角边”证明ABE 和ADG 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AE=AG，BAE=DAG ，再求出EAF=GAF，然后利用“边角边”证明AEF 和GAF

37、全等，根据全等三角形对应边相等可得 EF=GF，然后求解即可；实际应用：连接 EF，延长 AE、BF 相交于点 C，然后求出EOF= AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可【解答】解：问题背景：EF=BE+DF ；探索延伸：EF=BE +DF 仍然成立证明如下：如图，延长 FD 到 G，使 DG=BE，连接 AG，B+ADC=180，ADC+ADG=180 ，B=ADG，在ABE 和ADG 中，ABEADG（SAS），AE=AG，BAE=DAG，EAF= BAD，GAF= DAG +DAF= BAE+DAF=BAD EAF=EAF，EAF=GAF，在AEF 和GAF

38、中，第 18 页共 18 页，AEFGAF （SAS ），EF=FG，FG=DG+DF=BE +DF，EF=BE+DF；实际应用：如图，连接 EF，延长 AE、BF 相交于点 C，AOB=30+90+（90 70）=140，EOF=70，EOF= AOB，又OA=OB，OAC+OBC=（90 30）+（70+50）=180，符合探索延伸中的条件，结论 EF=AE+BF 成立，即 EF=1.5（60+80）=210 海里答：此时两舰艇之间的距离是 210 海里【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点

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