1、系列4部分 选修4-4 坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系,【教材基础回顾】 1.伸缩变换 _其中点P(x,y)对应到点P(x,y).,2.极坐标系与点的极坐标 在如图极坐标系中,点O是_,射线Ox是_,为 _(通常取逆时针方向),为_(表示极点O与 点M的距离),点M的极坐标是_.,极点,极轴,极角,极径,M(,),3.直角坐标与极坐标的互化 设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别 为(x,y)和(,),则,cos ,sin ,x2+y2,【金榜状元笔记】 1.明辨两个坐标 伸缩变换关系式点(x,y)在原曲线上,点(x,y)在变换 后的曲线上,因此点(x,y)的坐标满足原来的曲线
2、方程, 点(x,y)的坐标满足变换后的曲线方程.,2.极坐标方程与直角坐标方程互化 (1)公式代入:直角坐标方程化为极坐标方程公式x=cos 及y=sin 直接代入并化简. (2)整体代换:极坐标方程化为直角坐标方程,变形构造形如cos ,sin ,2的形式,进行整体代换.,【教材母题变式】 1.在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换 后, 曲线C变为曲线2x2+8y2=1,求曲线C的方程. 【解析】把 代入曲线2x2+8y2=1,可得 2(5x)2+8(3y)2=1,化为50x2+72y2=1,即为曲线C的方程.,2.已知点M的直角坐标是(-1, ),求点M的极坐标. 【解析】因为点M的直角坐标
3、是(-1, ), 所以 所以= 所以点M的极坐标为,3.在极坐标系中,求过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程. 【解析】在直角坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是x=1,其极坐标方程为cos =1.,4.已知直线l的极坐标方程为2sin 求点 到直线l的距离. 【解析】直线l的极坐标方程为2sin 对应的直角坐标方程为:y-x=1, 点A的极坐标为 它的直角坐标为(2,-2). 点A到直线l的距离为:,【母题变式溯源】,考向一 伸缩变换 【典例1】在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的 图形经过伸缩变换 后的图形. (1)5x+2y=0.(2)x2+y2=1.,【解析】伸缩变换
4、 (1)若5x+2y=0,则5(2x)+2(3y)=0, 所以5x+2y=0经过伸缩变换后的方程为5x+3y=0, 为一条直线.,(2)若x2+y2=1,则(2x)2+(3y)2=1, 则x2+y2=1经过伸缩变换后的方程为4x2+9y2=1,为椭圆.,【一题多变】经过伸缩变换 后,曲线C变 为本例(2)中变换前的曲线,求曲线C的方程. 【解析】把 代入方程x2+y2=1,得 25x2+9y2=1, 所以曲线C的方程为25x2+9y2=1.,【技法点拨】 伸缩变换后方程的求法 平面上的曲线y=f(x)在变换: 的作用 下的变换方程的求法是将 代入y=f(x),得,整理之后得到y=h(x),即为
5、所求变换之 后的方程. 提醒:应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x,y) 与变换后的坐标(x,y).,【同源异考金榜原创】 1.求曲线x2+y2=1经过: 变换后得到的新曲 线的方程. 世纪金榜导学号37680331,【解析】曲线x2+y2=1经过: 变换后,即将 代入圆的方程. 可得 即所求新曲线方程为:,2.在同一坐标系中,求将曲线y= sin 3x变为曲线 y=sin x的伸缩变换公式. 【解析】将曲线y= sin 3x经过伸缩变换变为 y=sin x即y=sin x, 设伸缩变换公式是,把伸缩变换关系式代入式得:y=sin x与的 系数对应相等得到: 变换公式为:,考向二 极坐标
6、与直角坐标的互化 【典例2】在极坐标系下,已知圆O:=cos +sin 和直线l: 世纪金榜导学号37680332,(1)求圆O和直线l的直角坐标方程. (2)当(0,)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.,【解析】(1)圆O:=cos +sin , 即2=cos +sin , 圆O的直角坐标方程为:x2+y2=x+y, 即x2+y2-x-y=0, 直线l: 即sin -cos =1,则直线l的直角坐标方程为:y-x=1, 即x-y+1=0.,(2)由 故直线l与圆O公共点 的一个极坐标为,【误区警示】1.极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式.2.在极坐标系下,点的极坐标不唯一性易忽
7、视.如极坐标(,)(,+2k)(kZ),(-, +2k)(kZ)表示同一点的坐标.,【技法点拨】 1.极坐标方程与直角坐标方程的互化 (1)直角坐标方程化为极坐标方程:将公式x=cos 及y=sin 直接代入直角坐标方程并化简即可.,(2)极坐标方程化为直角坐标方程:通过变形,构造出形如cos ,sin ,2的形式,再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形技巧.,2.极角的确定 由tan 确定角时,应根据点P所在象限取最小正角. (1)当x0时,角才能由tan = 按上述方法确定. (2)当x=0时,tan 没有意义,这时可分三种情况处理: 当x=0,y=
8、0时,可取任何值;当x=0,y0时,可取= 当x=0,y0时,可取=,【同源异考金榜原创】 1.在极坐标系中,直线cos - sin -1=0 与圆=2cos 交于A,B两点,求|AB|.,【解析】因为x=cos ,y=sin , 所以直线的直角坐标方程为x- y-1=0. 因为=2cos , 所以2(sin 2+cos 2)=2cos , 所以x2+y2=2x.,所以圆的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1. 因为圆心(1,0)在直线x- y-1=0上, 所以AB为圆的直径,所以|AB|=2.,2.已知若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴 为极轴建立极坐标系,求线段y=1-x(0x1)
9、的极坐 标方程. 【解析】因为y=1-x(0x1),所以sin =1- cos (0cos 1);所以所求的极坐标方程 为=,考向三 极坐标方程的应用高频考点,【典例3】(2017全国卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =4. 世纪金榜导学号37680333,(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足 |OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程. (2)设点A的极坐标为 点B在曲线C2上,求OAB 面积的最大值.,【解析】(1)设P的极坐标为(,)(0),M的 极坐标为(0,)(00),由题设知|OP|=
10、, |OM|=0,由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程 =4cos (0),因此C2的直角坐标方程为 (x-2)2+y2=4(x0).,(2)设点B的极坐标为(B,)(B0),由题设知 |OA|=2,B=4cos ,于是OAB的面积 S= Bsin AOB=4cos 当= 时,S取得最大值2+ 所以OAB面积的最大值为2+,【技法点拨】 判断位置关系和求最值问题的方法 (1)已知极坐标方程讨论位置关系时,可以先化为直角坐标方程,化陌生为熟悉再进行解答.,(2)已知极坐标方程解答最值问题时,通常可转化为三角函数模型求最值问题,比直角坐标系中求最值的运算量小. 提醒:在曲线的方程进行互化时,一
11、定要注意变量的范围,注意转化的等价性.,【同源异考金榜原创】 命题点1 位置关系问题 1.在极坐标系中,判断直线4cos (- )+1=0与 圆=2sin 的公共点的个数.,【解析】直线方程可化为2sin + cos +1=0,即 x+2y+1=0,圆为x2+(y-1)2=1,因为圆心到 直线的距离d= 1,所以有两个交点.,命题点2 弦长问题 2.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x- )2+(y+1)2 =9,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C的极坐标方程. (2)直线OP:= (R)与圆C交于点M,N,求线段MN的 长.,【解题指南】(1)利用直角坐标方程化极
12、坐标方程的方法,求圆C的极坐标方程. (2)利用|MN|=|1-2|,求线段MN的长.,【解析】(1)(x- )2+(y+1)2=9可化为 x2+y2-2 x+2y-5=0, 故其极坐标方程为 2-2 cos +2sin -5=0.,(2)将= 代入2-2 cos +2sin -5=0, 得2-2-5=0, 所以1+2=2,12=-5, 所以|MN|=|1-2|=,命题点3 最值问题 3.在极坐标系中,点A在圆C:2-2cos -4sin +4=0上,点P的坐标为(1,0),求|AP|的最小值 【解析】圆C:x2+y2-2x-4y+4=0(x-1)2+(y-2)2=1, 所以|AP|min=|
13、PC|-r=2-1=1.,4.在极坐标系中,已知点 点P是曲线sin 2 =4cos 上任意一点,设点P到直线cos +1=0的距 离为d,求|PA|+d的最小值,【解析】点 化为直角坐标为(0,1).曲线 sin 2=4cos ,即2sin 2=4cos ,可得 直角坐标方程:y2=4x.焦点F(1,0). 直线cos +1=0化为直角坐标方程:x+1=0. 由抛物线的定义可得:d=|PF|.,所以|PA|+d=|PA|+|PF| |AF|= 则|PA|+d的最小值为,核心素养系列（六十） 数学建模极坐标方程中的核心素养建立有关曲线的极坐标方程,研究解析几何中位置关系、交点坐标、弦长和最值问
14、题.,【典例】(2015全国卷)在直角坐标系xOy中,直线 C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程. (2)若直线C3的极坐标方程为= (R),设C2与C3 的交点为M,N,求C2MN的面积.,【解析】(1)因为x=cos ,y=sin , 所以C1的极坐标方程为cos =-2, C2的极坐标方程为 2-2cos -4sin +4=0.,(2)将= 代入2-2cos -4sin +4=0, 得2-3 +4=0,解得1=2 ,2= .故1- 2= ,即|MN|= .由于C2的半径为1,所以C2MN 的面积为 .,
