1、立体几何,第八章,第7讲 立体几何中的向量方法(一),【考纲导学】 1理解直线的方向向量及平面的法向量 2能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系 3能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理,栏目导航,课前 基础诊断,1(2017年临沂模拟)若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则( ) Al Bl Cl Dl与相交 【答案】B,4在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_,1用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面
2、内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线平行，只需证明直线的方向向量共线即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外 2用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)： (1)直线的方向向量是唯一确定的( ) (2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合( ) (4)若空间向量a垂直于平面的法向量，则a所在直线与平面平行( ) 【答案】(1) (2) (3) (4),课堂 考点突破,利用空间向量证
3、明平行问题,(2017年北京房山区模拟)如图所示，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD，且PAAD2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点 求证：(1)PB平面EFH； (2)PD平面AHF.,【规律方法】用向量证明平行的方法 (1)线线平行：证明两直线的方向向量共线 (2)线面平行：证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 (3)面面平行：证明两平面的法向量为共线向量； 转化为线面平行、线线平行问题,【跟踪训练】 1如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段
4、PA，PD，CD的中点求证：PB平面EFG. 【证明】PAD是直角三角形，PAAD2，PAAD 又平面PAD平面ABCD，且ABCD为正方形， AB，AP，AD两两垂直 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0),利用空间向量证明垂直问题,如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD证明： (1)PABD； (2)平面PAD平面PAB,【证明】(1)取BC的中点O，连接PO
5、. 平面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形，PO底面ABCD 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示,【规律方法】用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 (3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示,【跟踪训练】 2如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点求证：AB1平面A1BD 【证明】如图所示，取BC
6、的中点O，连接AO. ABC为正三角形，AOBC 平面ABC平面BCC1B1，AO平面ABC， AO平面BCC1B1.,利用空间向量解决探索性问题,(2017年合肥调研)如图所示，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD (1)求证：BDAA1； (2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由,【规律方法】立体几何开放性问题求解方法 (1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论 (2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据
7、题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在,【跟踪训练】 3如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02) (1)当1时，求证：直线BC1平面EFPQ； (2)是否存在，使平面EFPQ平面PQMN？若存在，求出的值；若不存在，说明理由,【解析】(1)证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.,课后 感悟提升,2种思路用向量方法证明平行与垂直的思路 用向量知识证明立体几何问题
8、有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；根据运算结果的几何意义来解释相关问题,1种联系空间向量与立体几何的联系 用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线l1l2，只需证明向量ab(l1，l2的方向向量分别为a，b，R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外,1(2017年天津)如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2. (1)求证：MN平面BDE； (2)求二面角CEMN的正弦值；,配 套 训 练,完,谢 谢 观 看,
