1、2.4.3 导数与函数的零点及 参数范围,-2-,考向一,考向二,考向三,判断、证明或讨论函数零点个数 解题策略一 应用单调性、零点存在性定理、数形结合判断 例1设函数f(x)=e2x-aln x. (1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数;,难点突破 (1)讨论f(x)零点的个数要依据f(x)的单调性,应用零点存在性定理进行判断.,-3-,考向一,考向二,考向三,-4-,考向一,考向二,考向三,(2)证明:由(1),可设f(x)在(0,+)的唯一零点为x0,当x(0,x0)时,f(x)0. 故f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0,+)单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最
2、小值为f(x0).,解题心得研究函数零点或方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,并借助函数的大致图象判断函数零点或方程根的情况.,-5-,考向一,考向二,考向三,对点训练1已知函数f(x)=(x2-3x+3)ex. (1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在-2,t(t-2)上为单调函数;,解:(1)f(x)=(x2-3x+3)ex+(2x-3)ex=x(x-1)ex, 由f(x)0,得x1或x0; 由f(x)0,得0x1. 所以f(x)在(-,0和1,+)内单调递增,在(0,1)内单调递减. 若使f(x)在-2,t上为单调函数,则需-2t0, 即t的取值范
3、围为(-2,0.,-6-,考向一,考向二,考向三,-7-,考向一,考向二,考向三,解题策略二 分类讨论法 例2已知函数f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-ln x. (1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线; (2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数. 难点突破 (1)设切点(x0,0),依题意f(x0)=0,f(x0)=0,得关于a,x0的方程组解之. (2)为确定出h(x)对自变量x0分类讨论;确定出h(x)后对参数a分类讨论h(x)零点的个数,h(x)零点的个数的确定要依据h(x)的单调性和零点存在性定理
4、.,-8-,考向一,考向二,考向三,解:(1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0,f(x0)=0,(2)当x(1,+)时,g(x)=-ln x0,从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,+)无零点.,当x(0,1)时,g(x)=-ln x0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数.,-9-,考向一,考向二,考向三,()若a-3或a0,则f(x)=3x2+a在(0,1)无零点,故f(x)在(0,1)单调.,-10-,考向一,考向二,考向三,解题心得1.如果函数中没有参数,一阶导数求出函数的极值点,判断极值点大于0小于0的情况,进而判断函
5、数零点的个数. 2.如果函数中含有参数,往往一阶导数的正负不好判断,这时先对参数进行分类,再判断导数的符号,如果分类也不好判断,那么需要对一阶导函数进行求导,在判断二阶导数的正负时,也可能需要分类.,-11-,考向一,考向二,考向三,(1)当a=-1时,求函数f(x)的最小值; (2)当a1时,讨论函数f(x)的零点个数.,解:(1)函数f(x)的定义域为x|x0.,-12-,考向一,考向二,考向三,当a0时,若x(0,1),则f(x)0,f(x)为增函数.,由于x0(从右侧趋近0)时,f(x)+; x+时,f(x)+,所以f(x)有两个零点.,-13-,考向一,考向二,考向三,当00,f(x
6、)为增函数; x(a,1)时,f(x)0,f(x)为增函数. 所以f(x)在x=a处取极大值,f(x)在x=1处取极小值.,当0a1时,f(a)0,即在x(0,1)时,f(x)0. 而f(x)在x(1,+)时为增函数,且x+时,f(x)+, 所以此时f(x)有一个零点.,所以f(x)为增函数. 且x0(从右侧趋近于0)时,f(x)-;x+时,f(x)+.所以f(x)有一个零点.,-14-,考向一,考向二,考向三,-15-,考向一,考向二,考向三,已知零点个数求参数范围 解题策略一 最小值法,(1)讨论f(x)的增减性; (2)若g(x)=f(x)+ mx在(1,+)上没有零点,求实数m的取值范
7、围. 难点突破 g(x)在(1,+)上没有零点g(x)0在(1,+)上恒成立分离出参数mh(x)mh(x)max.,-16-,考向一,考向二,考向三,-17-,考向一,考向二,考向三,-18-,考向一,考向二,考向三,解题心得在已知函数y=f(x)有几个零点求f(x)中参数t的值或范围问题,经常从f(x)中分离出参数t=g(x),然后用求导的方法求出g(x)的最值,再根据题意求出参数t的值或范围.,-19-,考向一,考向二,考向三,对点训练3已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(aR). (1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程; (2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在
8、上有两个零点,求实数m的取值范围.,切线的斜率k=f(1)=2,则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.,当1xe时,g(x)0. 故g(x)在x=1处取得极大值g(1)=m-1.,-20-,考向一,考向二,考向三,-21-,考向一,考向二,考向三,解题策略二 分类讨论法 例4已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 难点突破 (2)由(1)得a0及a0时f(x)的单调性,依据f(x)的单调性研究其零点,由a0,f(x)在(-,+)单调递减,f(x)至多有一个零点;由a0时f(x)的单调性,易求f(x
9、)的最小值,当f(x)min0才会有两个零点.,-22-,考向一,考向二,考向三,解:(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1). ()若a0,则f(x)0,则由f(x)=0得x=-ln a. 当x(-,-ln a)时,f(x)0,所以f(x)在(-,-ln a)单调递减,在(-ln a,+)单调递增. (2)()若a0,由(1)知,f(x)至多有一个零点. ()若a0,由(1)知,当x=-ln a时,f(x)取得最小值,即f(-ln a)0,故f(x)没有零点;,-23-,考向一,考向二,考向三,又f(-2)=ae-4+(a-2
10、)e-2+2-2e-2+20,故f(x)在(-,-ln a)有一个零点.,综上,a的取值范围为(0,1).,解题心得在已知函数零点个数的情况下,求参数的范围问题,通常采用分类讨论法,依据题目中的函数解析式的构成,将参数分类,在参数的小范围内研究函数零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各个小范围并在一起,即为所求参数范围.,-24-,考向一,考向二,考向三,对点训练4(2018全国,理21)已知函数f(x)=ex-ax2. (1)若a=1,证明:当x0时,f(x)1; (2)若f(x)在(0,+)只有一个零点,求a.,解:(1)当a=1时,f(x)1等价于(x2+1)e-x-10. 设函数
11、g(x)=(x2+1)e-x-1, 则g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x. 当x1时,g(x)0,所以g(x)在(0,+)单调递减.而g(0)=0,故当x0时,g(x)0,即f(x)1.,-25-,考向一,考向二,考向三,(2)设函数h(x)=1-ax2e-x. f(x)在(0,+)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+)只有一个零点. (i)当a0时,h(x)0,h(x)没有零点; (ii)当a0时,h(x)=ax(x-2)e-x. 当x(0,2)时,h(x)0. 所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+)单调递增.,-26-,考向一,考向二,考向三,故h(x)在
12、(2,4a)有一个零点. 因此h(x)在(0,+)有两个零点.,-27-,考向一,考向二,考向三,与函数零点有关的证明问题 解题策略 等价转换后构造函数证明 例5设函数f(x)=x2-aln x,g(x)=(a-2)x. (1)求函数f(x)的单调区间. (2)若函数F(x)=f(x)-g(x)有两个零点x1,x2, 求满足条件的最小正整数a的值;,-28-,考向一,考向二,考向三,-29-,考向一,考向二,考向三,当a0时,f(x)0在(0,+)上恒成立, 所以f(x)单调递增区间为(0,+),此时f(x)无单调减区间.,-30-,考向一,考向二,考向三,所以存在a0(2,3),h(a0)=
13、0. 当aa0时,h(a)0,所以满足条件的最小正整数a=3.,-31-,考向一,考向二,考向三,证明:不妨设0x1x2,于是 1 2 -(a-2)x1-alnx1= 2 2 -(a-2)x2-alnx2,-32-,考向一,考向二,考向三,解题心得证明与零点有关的不等式,函数的零点本身就是一个条件,即零点对应的函数值为0,证明的思路一般对条件等价转化,构造合适的新函数,利用导数知识探讨该函数的性质(如单调性、极值情况等)再结合函数图象来解决.,因为t0,所以m(t)0,当且仅当t=1时,m(t)=0,所以m(t)在(0,+)上是增函数. 又m(1)=0,所以当t(0,1),m(t)0总成立,所
14、以原题得证.,-33-,考向一,考向二,考向三,对点训练5已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点. (1)求a的取值范围; (2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x22.,(1)解:f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a). ()若a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点. ()若a0,则当x(-,1)时,f(x)0, 所以f(x)在(-,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增.,-34-,考向一,考向二,考向三,()若a0,由f(x)=0得x=1或x=ln(-2a).,故当x(1,+)时,f(x)0, 因此f(x)在(1,+)内单调递增. 又当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.,故当x(1,ln(-2a)时,f(x)0. 因此f(x)在(1,ln(-2a)内单调递减, 在(ln(-2a),+)内单调递增. 又当x1时f(x)0,所以f(x)不存在两个零点. 综上,a的取值范围为(0,+).,-35-,考向一,考向二,考向三,(2)证明:不妨设x1f(2-x2),即f(2-x2)1时,g(x)1时,g(x)0. 从而g(x2)=f(2-x2)0,故x1+x22.,
