1、1课时分层作业(十六) 空间向量及其线性运算 共面向量定理(建议用时：40 分钟)基础达标练一、填空题1下列命题中，假命题是_(填序号)若 与 共线，则 A， B， C， D不一定在同一直线上；AB CD 只有零向量的模等于 0；共线的单位向量都相等解析 正确共线的单位向量方向不一定相同，错误答案 2下列结论中，正确的是_(填序号)若 a， b， c共面，则存在实数 x， y，使 a xb yc；若 a， b， c不共面，则不存在实数 x， y，使 a xb yc；若 a， b， c共面， b， c不共线，则存在实数 x， y，使 a xb yc.解析 要注意共面向量定理给出的是一个充要条件所
2、以第个命题正确但定理的应用又有一个前提； b， c是不共线向量，否则即使三个向量 a， b， c共面，也不一定具有线性关系，故不正确，正确答案 3已知 A， B， C三点不共线， O为平面 ABC外一点，若由向量 确OP 15OA 23OB OC 定的点 P与 A， B， C共面，那么 _. 【导学号：71392161】解析 P与 A， B， C共面， ，AP AB AC ( ) ( )，即 (1 )AP OB OA OC OA OP OA OB OA OC OA ，1 1. 1，解得 .OA OB OC 15 23 215答案 2154如图 318，已知空间四边形 ABCD中， a2 c，
3、5 a6 b8 c，对角线AB CD AC， BD的中点分别为 E， F，则 _(用向量 a， b， c表示)EF 2图 318解析 设 G为 BC的中点，连接 EG， FG，则 EF EG GF 12AB 12CD (a2 c) (5a6 b8 c)12 123 a3 b5 c.答案 3 a3 b5 c5如图 319，平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， E， F分别在 B1B和 D1D上，且BE BB1， DF DD1，若 x y z ，则 x y z_.13 23 EF AB AD AA1 图 319解析 ( )EF AF AE AD DF AB BE ， x1， y1， z ， x
4、 y z .AD 23DD1 AB 13BB1 AD AB 13AA1 13 13答案 136如图 3110，在三棱锥 ABCD中，若 BCD是正三角形， E为其重心，则 化简的结果为_AB 12BC 32DE AD 3图 3110解析 E为 BCD的重心， DE DF， .23 DF 32DE AB 12BC 32DE AD AB BF AD 32DE 0.AF AD 32DE DF 32DE 答案 07 i， j， k是三个不共面的向量， i2 j2 k， 2 i j3 k， i3 j5 k，且 A， B， C， D四点共面，则 的值AB BC CD 为_. 【导学号：71392162】解
5、析 若 A， B， C， D四点共面，则向量 ， ， 共面，故存在不全为零的实数AB BC CD a， b， c，使得 a b c 0，AB BC CD 即 a(i2 j2 k) b(2i j3 k) c( i3 j5 k)0，( a2 b c )i(2 a b3 c)j(2 a3 b5 c)k0. i， j， k不共面，Error!Error!答案 18有四个命题：若 p xa yb，则 p与 a， b共面；若 p与 a， b共面，则 p xa yb；若 x y ，则 P， M， A， B共面；MP MA MB 若 P， M， A， B共面，则 x y .MP MA MB 其中真命题是_(填
6、序号)4解析 由共面向量定理知，正确；若 p与 a， b共面，当 a与 b共线且 p与 a和 b不共线时，就不存在实数组( x， y)使 p xa yb成立，故错误；同理正确，错误答案 二、解答题9如图 3111所示， ABCDA1B1C1D1中， ABCD是平行四边形若 ， 2 ，若 b， c， a，试用 a， b， c表示 .AE 12EC A1F FD AB AD AA1 EF 图 3111解 如图，连接 AF，则 .由已知 ABCD是平行四边形，EF EA AF 故 b c， a c.AC AB AD A1D A1A AD 由已知， 2 ， c (c a) (a2 c)，A1F FD
7、AF AD DF AD FD AD 13A1D 13 13又 (b c)， EA 13AC 13 EF EA AF (b c) (a2 c) (a b c)13 13 1310如图 3112所示，已知四边形 ABCD是空间四边形， E， H分别是边 AB， AD的中点， F， G分别是边 BC， CD上的点，且 ， .求证：四边形 EFGH是梯形. CF 23CB CG 23CD 【导学号：71392163】图 3112证明 E， H分别是 AB， AD的中点，5 ， ，AE 12AB AH 12AD 则 EH AH AE 12AD 12AB 12BD ( )12CD CB 12(32CG 3
8、2CF ) ( ) ，34CG CF 34FG 且| | | | |.EH FG EH 34FG FG 又 F不在直线 EH上，四边形 EFGH是梯形能力提升练1平面 内有点 A， B， C， D， E，其中无三点共线， O为空间一点，满足 xOA 12OB y ， 2 x y ，则 x3 y_.OC OD OB OC 13OD OE 解析 由点 A， B， C， D共面得 x y ，又由点 B， C， D， E共面得 2x y ，联12 23立方程组解得 x ， y ，所以 x3 y .16 13 76答案 762已知点 G是 ABC的重心， O是空间任一点，若 ，则OA OB OC OG
9、_.解析 如图，取 AB的中点 D， OG OC CG OC 23CD ( )OC 23 12CA CB 6 ( )( )OC 13 OA OC OB OC .13OA 13OB 13OC 3 .OA OB OC OG 答案 33在下列命题中：若向量 a， b共线，则向量 a， b所在的直线平行；若向量 a， b所在的直线为异面直线，则向量 a， b一定不共面；若三个向量 a， b， c两两共面，则向量 a， b， c共面；已知空间的三个向量 a， b， c，则对于空间的任意一个向量 p，总存在实数 x， y， z使得 p xa yb zc.其中正确命题的个数是_. 【导学号：71392164
10、】解析 a与 b共线， a， b所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量 a， b都共面，故不正确；三个向量 a， b， c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当 a， b， c不共面时，空间任意一向量 p才能表示为 p xa yb zc，故不正确综上可知，四个命题中正确的个数为 0.答案 04.如图 3113所示，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1中，设 a， b， c，在面对AB AC AA1 角线 AC1上和棱 BC上分别取点 M， N，使 k ， k (0 k1)AM AC1 BN BC 图 3113求证： MN平面 ABB1A1.证明 k k( ) kb kc，AM AC1 AA1 AC 又 a k a k(b a)(1 k)a kb，AN AB BN BC (1 k)a kb kb kc(1 k)a kc.MN AN AM 又 a与 c不共线，7 与向量 a， c是共面向量MN MN平面 ABB1A1， MN平面 ABB1A1.
