1、1课时分层作业(二十一) 空间的角的计算(建议用时：40 分钟)基础达标练一、填空题1已知 A(0,1,1)， B(2，1,0)， C(3,5,7)， D(1,2,4)，则直线 AB 与直线 CD 所成角的余弦值为_解析 (2，2，1)， (2，3，3)，AB CD cos ， ，AB CD AB CD |AB |CD | 5322 52266直线 AB， CD 所成角的余弦值为 .52266答案 522662在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别为 A1B1， BB1的中点，则异面直线AM 与 CN 所成角的余弦值是_. 【导学号：71392207】解析 依题意
2、，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，M ， C(0,1,0)， N .(1，12， 1) (1， 1， 12) ，AM (0， 12， 1) ，CN (1， 0， 12)cos ， ，AM CN 125252 25故异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 .25答案 2523已知点 E， F 分别在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BB1， CC1上，且B1E2 EB， CF2 FC1，则平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的正切值等于_解析 如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 1，平面 ABC 的法向量为 n1(0,0,1)，平面 AEF 的法向量为n2
3、( x， y， z)所以 A(1,0,0)， E ， F ，(1， 1，13) (0， 1， 23)所以 ， ，AE (0， 1， 13) EF ( 1， 0， 13)则Error! 即Error!取 x1，则 y1， z3，故 n2(1，1,3)，所以 cos n1， n2 ，n1n2|n1|n2| 31111所以平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的平面角 满足 cos ，sin 31111 ，所以 tan .2211 23答案 234已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， AA12 AB，则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于_解析 以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系
4、，如图，设 AA12 AB2，则 D(0,0,0)，C(0,1,0)， B(1,1,0)， C1(0,1,2)，则 (0,1,0)， (1,1,0)， (0,1,2)设平面DC DB DC1 BDC1的法向量为 n( x， y， z)，则 n ， n ，所以有Error!DB DC1 3令 y2，得平面 BDC1的一个法向量为 n(2，2,1)设 CD 与平面 BDC1所成的角为 ，则 sin |cos n， | .DC |nDC n|DC | 23答案 235已知 E， F 分别是棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BC， CC1的中点，则截面AEFD1与底面 ABCD 所成
5、二面角的余弦值是_. 【导学号：71392208】解析 以 D 为坐标原点，以 DA， DC， DD1分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图，则 A(1,0,0)， E ， F ， D1(0,0,1)(12， 1， 0) (0， 1， 12)所以 (1,0,1)， .AD1 AE ( 12， 1， 0)设平面 AEFD1的法向量为 n( x， y， z)，则Error!Error!取 y1，则 n(2,1,2)，而平面 ABCD 的一个法向量为 u(0,0,1)，cos n， u .23答案 236在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别是棱长 AA1和 BB
6、1的中点，则sin C ， _.M D1N 解析 建立如图直角坐标系，设正方体的棱长为 2.可知 C (2，2,1)，M (2,2，1)，cos C ， ，D1N M D1N 194sin C ， .M D1N 459答案 4597. 如图 3229，在四面体 ABCD 中，AB1， AD2 ， BC3， CD2， ABC DCB ，则二面角 ABCD 的大小为3 2_图 3229解析 二面角 ABCD 的大小等于 AB 与 CD 所成角的大小. ，而AD AB BC CD 2 2 2 22| | |cos ， ，即 1214922cos ， ，AD AB CD BC AB CD AB CD
7、AB CD cos ， ， AB 与 CD 所成角为 ，即二面角 ABCD 的大小为 .AB CD 12 3 3答案 38在空间四边形 OABC 中， OB OC， AOB AOC ，则 cos ， 的值为 3 OA BC _解析 ( ) OA BC OA OC OB OA OC OA OB | | |cos | | |cos | |(| | |)0.OA OC 3 OA OB 3 12OA OC OB cos ， 0.OA BC |OA BC |OA |BC |答案 0二、解答题59如图 3230，在四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD， E 为 BD 的中点， G 为 PD 的中点
8、， DAB DCB， EA EB AB1， PA ，连接 CE 并延长交 AD 于 F.32图 3230(1)求证： AD平面 CFG；(2)求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值解 (1)证明：在 ABD 中，因为 E 是 BD 中点，所以 EA EB ED AB1，故 BAD ， ABE AEB ， 2 3因为 DAB DCB，所以 EAB ECB，从而有 FED BEC AEB ， 3所以 FED FEA，故 EF AD， AF FD.因为 PG GD，所以 FG PA.又 PA平面 ABCD，所以 GF AD，故 AD平面 CFG.(2)以点 A 为坐标原点建立如图所示的空间直
9、角坐标系，则 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C， D(0， ，0)， P ，故 ， ， (32， 32， 0) 3 (0， 0， 32) BC (12， 32， 0) CP ( 32， 32， 32) CD .(32， 32， 0)设平面 BCP 的一个法向量 n1(1， y1， z1)，则Error!解得Error!6即 n1 .(1， 33， 23)设平面 DCP 的一个法向量 n2(1， y2， z2)，则Error!解得Error!即 n2 .(1， 3， 2)从而平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值为cos .|n1n2|n1|n2|431698 2410如图 32
10、31，在几何体 ABCDE 中， DA平面 EAB， CB DA， EA AB， M 是 EC 的中点， EA DA AB2 CB.图 3231(1)求证： DM EB；(2)求异面直线 AB 与 CE 所成角的余弦值；(3)求二面角 MBDA 的余弦值. 【导学号：71392209】解 以直线 AE， AB， AD 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，设CB a，则 A(0,0,0)， E(2a,0,0)， B(0,2a,0)， C(0,2a， a)， D(0,0,2a)，所以 M ，(a， a，a2)(1)证明： ， (2 a,2a,0)，DM (a， a， 3a
11、2) EB a(2 a) a2a00，DM EB 7 ，即 DM EB.DM EB (2) (0,2 a,0)， (2 a，2 a， a)，AB CE 设异面直线 AB 与 CE 所成的角为 ，则 cos ，|AB CE |AB |CE | 4a22a3a 23即异面直线 AB 与 CE 所成角的余弦值为 .23(3) DA平面 EAB， AD平面 DAB，平面 DAB平面 EAB. EA平面 EAB，平面 EAB平面 DAB AB，EA AB. EA平面 DAB. (2 a,0,0)是平面 DAB 的一个法向量AE 设平面 MBD 的一个法向量为 n( x， y， z)， ， (0，2 a,
12、2a)，DM (a， a， 3a2) BD 则Error! 即Error!令 z a，则 n ，(a2， a， a)设二面角 MBDA 的平面角为 ，则 cos .AE n|AE |n|a22a3a2 13即二面角 MBDA 的余弦值为 .13能力提升练1如图 3232，在三棱锥 VABC 中，顶点 C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A， B， V 分别在 x， y， z 轴上， D 是线段 AB 的中点，且 AC BC2， VDC .当 时，则异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值是_ 38图 3232解析 由于 AC BC2， D 是 AB 的中点，所以 C(0,0,0)， A(2,0,
13、0)， B(0,2,0)，D(1,1,0)当 时，在 Rt VCD 中， CD ，故 V(0,0， ) 3 2 6所以 (2,0,0)， (1,1， )，AC VD 6所以 cos ， ，AC VD AC VD |AC |VD | 2222 24所以异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值为 .24答案 242如图 3233，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1， CA CC12 CB，则直线BC1与直线 AB1夹角的余弦值为_图 3233解析 不妨令 CB1，则 CA CC12.可得 O(0,0,0)， B(0,0,1)， C1(0,2,0)， A(2,0,0)， B1(0,2,
14、1)， (0,2，1)， (2,2,1)，BC1 AB1 cos ， 0.BC1 AB1 BC1 AB1 |BC1 |AB1 | 4 159 15 55 与 的夹角即为直线 BC1与直线 AB1的夹角，BC1 AB1 直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为 .559答案 553在三棱锥 OABC 中，三条棱 OA， OB， OC 两两垂直，且 OA OB OC， M 是 AB 边的中点，则 OM 与平面 ABC 所成角的正切值是_解析 如图所示，建立空间直角坐标系，设 OA OB OC1，则 A(1,0,0)， B(0,1,0)，C(0,0,1)， M ，故 (1，1,0)， (1,0,1)
15、， .(12， 12， 0) AB AC OM (12， 12， 0)设平面 ABC 的法向量为 n( x， y， z)，则由Error! 得Error!令 x1，得 n(1,1,1)故 cos n， ，OM 1322 63所以 OM 与平面 ABC 所成角的正弦值为 ，其正切值为 .63 2答案 24如图 3234， PA平面 ABC， AC BC， BC ， PA AC1，求二面角 APBC 的余2弦值. 【导学号：71392210】图 3234解 法一：建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz，取 PB 的中点 D，连接 DC，则DC PB，作 AE PB 于 E.则向量 与 的夹角的大小
16、为二面角 APBC 的大小DC EA 10 A(1,0,0)， B(0， ，0)， C(0,0,0)， P(1,0,1)，又 D 为 PB 的中点，2 D .(12， 22， 12)在 Rt PAB 中， ，PEEB AP2AB2 13 E ，(34， 24， 34) ，EA (14， 24， 34) ，DC ( 12， 22， 12) .EA DC 12又| | ，| |1，EA 32 DC cos ，EA DC EA DC |EA |DC |1232 1 33即二面角 APBC 的余弦值为 .33法二：以 C 为坐标原点，直线 CA， CB 分别为 x 轴、 y 轴建立如图所示的空间直角坐
17、标系，则 A(1,0,0)， B(0， ， 0)， C(0,0,0)， P(1,0,1)，2 (0,0，1)， (1， ，1)， (1,0，1)，设平面 PAB 的一个法向PA PB 2 PC 量为 n1( x1， y1， z1)，则 n1 0，PA n1 0，PB 11Error!取 y11，则 x1 ， z10，2 n1( ，1,0)，2设平面 PBC 的一个法向量为 n2( x2， y2， z2)，则 n2 0， n2 0，PB PC Error!取 x21，则 y20， z21， n2(1,0，1)，cos n1， n2 ，二面角 APBC 的余弦值为 .n1n2|n1|n2| 232 33 33
